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第五章一元函數的導數及其應用檢測卷-2024-2025學年高二數學下學期人教A版（2019）選擇性必修第二冊
一、單選題
1．已知函數在處可導，且，則（ ）
A． B． C． D．2
2．已知，則曲線在點處的切線方程為（ ）
A． B．
C． D．
3．已知函數在上單調遞減，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
4．函數的兩個極值點滿足，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
5．設，則（ ）
A．的極大值為1 B．與有不同的極大值
C．時， D．時，
6．如圖，已知函數的圖象在點處的切線為，則（ ）
A． B． C．1 D．2
7．已知函數及其導數，若存在使得，則稱是的一個“巧值點”，給出下列四個函數：
（1） （2） （3） （4）
其中有“巧值點”的函數的個數是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．函數在上的圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
9．函數，則（ ）
A． B．在上單調遞增
C．沒有零點 D．最大值為2
10．下列函數求導正確的是（ ）
A．已知，則
B．已知，則
C．已知，則
D．已知，則
11．已知函數，其導函數為，則（ ）
A．有兩個極值點
B．有三個互不相同的零點
C．方程有三個不同解，則實數的取值范圍為
D．
三、填空題
12．已知函數，則的最小值為 ．
13．已知函數，若方程有三個相異的實根，則實數的取值范圍為 .
14．已知函數，其導函數的圖象如圖所示，則下列所有真命題序號為： ．
①在區間上嚴格增；②是的極小值點；
③在區間上嚴格增，在區間上嚴格減；④是的極小值點．
四、解答題
15．已知函數及其導函數滿足.
(1)求的解析式；
(2)若的一條切線恰好經過坐標原點，求切線的方程.
16．已知函數.
(1)當時，求曲線在點處的切線方程；
(2)若恒成立，求實數的取值范圍.
17．已知函數，．
(1)當時，證明：在上是增函數；
(2)若，當時，
（i）證明：；
（ii）證明：，．
18．函數.
(1)若曲線在處的切線的方程為，求實數、的值；
(2)若，對任意且，不等式成立，求的最小值.
19．在研制飛機的自動著陸系統時，需要研究飛機的降落曲線.如圖，一架水平飛行的飛機的著陸點為原點O，飛機降落曲線大致為，其中x（單位：m）表示飛機距離著陸點的水平距離，y（單位：m）表示飛機距離著陸點的豎直高度.假設飛機開始降落時的豎直高度為4500m，距離著陸點的水平距離為，飛機在整個降落過程中始終在同一個豎直平面內飛行，且飛機開始降落和落地時的降落曲線均與水平方向的直線相切.
(1)求降落曲線；
(2)若飛機開始降落時的水平速度150m/s，且在整個降落過程中水平速度保持不變，另外，基于安全考慮，飛機在降落過程中的豎直加速度（即y關于降落時間t（單位：s）的導函數的導數）的絕對值不超過，求開始下降點所能允許的最小值.
《第五章一元函數的導數及其應用檢測卷-2024-2025學年高二數學下學期人教A版（2019）選擇性必修第二冊》參考答案
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B B D D C C A ABC ABD
題號 11
答案 ACD
1．D
【分析】利用導數的定義即可求值.
【詳解】由導數的定義知.
故選：D.
2．B
【分析】根據條件和復合函數的導數公式，求，以及，再根據到底幾何意義寫出切線方程.
【詳解】令，則，得，
，，則，
所以曲線在點處的切線方程為，即.
故選：B
3．B
【分析】求導后令導數小于等于零，分離參數再由二次函數性質求解.
【詳解】由得，
由函數單調遞減可得恒成立，
因為，所以，所以，
所以實數的取值范圍是.
故選：B
4．D
【分析】根據極值點為導函數零點，整理變形得，然后令代入后表示出，代入目標式轉化為關于的函數，利用導數求最值即可.
【詳解】由題知，的定義域為，，
因為有兩個極值點，所以，則①，
令，因為，所以，
將代入①整理可得，
所以，
令，則，
設，則，
因為，所以，所以在上單調遞增，
所以，所以在上單調遞增，
所以.
故選：D
5．D
【分析】通過對函數求導，即可判斷函數的單調性，進而可判斷其極大值，可得A錯誤；由可得的解析式，求導判斷其單調性，進而可得極大值與相同，故B錯誤；根據函數的單調性，可判斷C錯誤，D正確.
【詳解】由，得，
令，解得，
當時，，函數單調遞增，
當時，，函數單調遞減，
當時，，函數單調遞增，
所以是函數的極大值點，極大值為，故A錯誤；
由，得，得，
令，解得，
當時，，函數單調遞增，
當時，，函數單調遞減，
當時，，函數單調遞增，
所以是函數的極大值點，極大值為，
與的極大值相同，故B錯誤；
當時，函數單調遞增，
又時，，所以，
而時，，所以，故C錯誤；
當時，，所以，故D正確.
故選：D.
6．C
【分析】根據圖像算出函數在點處的切線，即可求出其在處的函數值與導數取值。
【詳解】由圖象可得，切線過點和，切線斜率為，所以，
又因為切線方程為，則切點坐標為，有，
所以.
故選：C
7．C
【分析】根據題意利用“巧值點”的定義及方程解的情況判斷即可.
【詳解】（1）因為，不存在使得，沒有巧值點；
（2）由，令，即，得或2，有巧值點；
（3）因為，如圖，
由圖象知有解，有巧值點；
（4）因為，滿足，有巧值點.
所以有巧值點的函數有3個.
故選：C．
8．A
【分析】根據函數的奇偶性，求導確定單調性即可判斷.
【詳解】因為，所以，
所以函數為偶函數，圖象關于軸對稱，故排除答案CD，
又，，
設，，則，.
所以在上為增函數，又，
所以在上恒成立，即在上單調遞增，故排除B.
故選：A
9．ABC
【分析】根據導數運算法則求導函數可判斷A正確，結合指數函數性質求解函數單調區間可判斷B正確，結合函數單調性及最小值可知C正確，D錯誤.
【詳解】的定義域為，因為，所以，故A正確；
令得，即，令得，即，
因此在單調遞增，在單調遞減，且，
因此沒有零點，即BC正確，D錯誤.
故選：ABC
10．ABD
【分析】應用基本函數的導數公式及加法和乘法法則、復合函數的導數運算求各項函數的導函數.
【詳解】對于A，已知，則，故正確；
對于B，已知，則，故正確；
對于C，已知，則，故錯誤；
對于D，已知，則，故正確．
故選：ABD
11．ACD
【分析】利用導數分析函數的單調性與極值點，可判斷A選項；解方程可判斷B選項；數形結合可判斷C選項；直接驗證，可判斷D選項.
【詳解】對于A選項，函數的定義域為，，
由可得或，列表如下：
單調遞增 極大值 單調遞減 極小值 單調遞增
所以，函數的遞增區間為、，單調遞減區間為，
所以，函數有兩個極值點，A對；
對于B選項，由得或，
所以，只有兩個不同的零點，B錯；
對于C選項，由A選項可知，函數的極大值為，極小值為，
如下圖所示：
由圖可知，當時，直線與函數的圖象有三個交點，
所以，若方程有三個不同解，則實數的取值范圍為，C對；
對于D選項，由A選項可知，，
則，D對.
故選：ACD.
12．
【分析】利用導數求出函數的單調性，易知函數的極小值即為函數的最小值，代入數值即可得解.
【詳解】由題意，
令得，得，
所以的單調遞增區間是，單調遞減區間是，
所以函數的最小值為.
故答案為：.
13．
【分析】利用導數以及二次函數的性質，可得函數的單調區間，并作圖，根據方程與函數的關系，可得答案.
【詳解】當時，，求導可得，
令，解得，
當時，；當時，，
則函數在上單調遞減，在上單調遞增，
當時，，
易知函數在上單調遞增，在上單調遞減，
可作圖如下：
由方程存在三個根，等價于直線與函數的圖象存在三個交點，
則.
故答案為：.
14．
【分析】已知導函數的圖象，結合圖象可識別導數值的正負，從而判斷函數的單調情況，由變號零點的先負后正或先正后負判斷極小或極大值點即可得解.
【詳解】當時，，此時，函數單調遞減，①錯誤；
時，，函數單調遞減，時，，函數單調遞增，
則是的極小值點，②正確；
時，，函數單調遞增，時，，函數單調遞減，
則是的極大值點，③正確，④錯誤.
故答案為：
15．(1)；
(2).
【分析】（1）利用賦值法求出，，即可得到函數解析式；
（2）設切點為，利用導函數求出切線的斜率，根據直線的點斜式方程寫出切線方程，通過切線過坐標原點，求得，即可得到切線方程.
【詳解】（1）令，得即，
由求導可得，
令，可得，即.
所以，則.
（2）設切點為，因為，所以，
所以切線方程為.
因為切線恰好經過坐標原點，所以，解得.
所以切線方程為，即.
16．(1)
(2)
【分析】（1）利用導數的幾何意義即可得解；
（2）利用導數求得的最小值，從而得到關于的不等式，解之即可得解.
【詳解】（1）當時，，，
故，.
所以曲線在點處的切線方程為，
即.
（2），
因為，所以由，得，
所以當時，，單調遞減；
當時，，單調遞增；
所以，
因為恒成立，所以，解得，
所以實數的取值范圍為.
17．(1)證明見解析
(2)（i）證明見解析；（ii）證明見解析
【分析】（1）求導后構造函數，再求導分析單調性和極值可得；
（2）（i）求導后分析單調性可得；
（ii）令，由對數的運算結合（i）可得，再運用累加法可得.
【詳解】（1）當時，，，
所以，
設，則，
當時，有，所以在區間上單調遞減，
當時，有，所以在區間上單調遞增，
所以，即對任意的恒成立，
所以在為增函數．
（2）（i）因為，所以，，
，有，所以，
所以在單調遞增，故，得證;
（ii）由（i）可知，，即
令，則，，
，
，
，
累加得．
得證.
18．(1)，
(2)12
【分析】（1）通過曲線在某一點的切線的相關知識直接求解；
（2）設，將原表達式化為，構造函數，根據為上的減函數，參變分離求解函數的最值即可.
【詳解】（1）因為，
所以，
因為曲線在處的切線的方程為，
所以，
解得，
（2）因為，所以，
所以函數在上單調遞增，
因為，不妨設，則
因為，
所以，
即恒成立，
設，
若，則是上的常函數，顯然不成立，
若，則是上的減函數，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
又函數在上是增函數，所以（當且僅當時等號成立）．
綜上，，即的最小值為
19．(1)
(2)米.
【分析】（1）對求導，，由解得即可.
（2）求得的解析式，設飛機降落時間為，則，代入函數解析式，求導，結合題意求出的最小值即可.
【詳解】（1）由．求導則，
由題意可知，，即
解得，．
則降落曲線
（2）由（1）可知，，，
設飛機降落時間為，則，
則，，
，
，，
當或時，取最大值，故，
可得．
所以飛機開始下降時距離著陸點水平距離的最小值為米．
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