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第四章數列檢測卷-2024-2025學年高二數學下學期人教A版（2019）選擇性必修第二冊
一、單選題
1．已知數列中，，，，則（ ）
A．4 B．2
C． D．
2．已知是各項均為整數的遞增數列，且，若，則的最大值為（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．任取一個正整數，若是奇數，就將該數乘3再加上1；若是偶數，就將該數除以2.反復進行上述兩種運算，經過有限次步驟后，必進入循環圈.這就是數學史上著名的“冰雹猜想”（又稱“角谷猜想”等）.已知滿足：，，則（ ）
A．4720 B．4722 C．4723 D．4725
4．設等差數列和的前項和分別是和，若， 求（ ）
A． B． C．1 D．
5．若等差數列滿足，則（ ）
A．2025 B． C． D．
6．若數列滿足，則稱為“對奇數列”.已知為“對奇數列”，且，則（ ）
A． B． C． D．
7．已知 Sn是數列{an}的前n項和，且 則（ ）
A．是等比數列 B．數列是等比數列
C． D．
8．用數學歸納法證明：，第二步從到，等式左邊應添加的項是（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
9．已知，若數列不是遞增數列，則下列數值中的可能取值為（ ）
A．1 B． C． D．
10．若公差為2的等差數列的前項和為，且，則（ ）
A． B． C． D．
11．已知數列的前項和為，且滿足，，，則下列說法正確的有（ ）
A．數列為等比數列 B．數列為等差數列
C． D．
三、填空題
12．已知數列滿足，，則 .
13．某演出團選出155名演員站成排進行演出.已知最后面一排的人數為20，從最后面一排開始，每一排人數比前面一排人數多1人，則 ，最前面一排的人數為 .
14．已知數列的前項和 ，設為數列的前項和，若對任意的，不等式 恒成立，則實數的取值范圍為 .
四、解答題
15．已知數列的前項之積為，且．求數列和的通項公式；
16．已知數列的前n項和．
(1)求數列的通項公式；
(2)若，求數列的最大項是該數列的第幾項．
17．在①，；②這兩個條件中，請選擇一個合適的條件，補充在下題橫線上（只要求寫序號），并解答該題.
已知數列的各項均為正數，其前項和為，且對任意正整數，有________.
(1)求的通項公式；
(2)設，數列的前項和為，證明：.
18．在數列中，已知，且當為奇數時，；當為偶數時，.
(1)求的通項公式；
(2)求的前項和；
(3)設，若集合中恰好有3個元素，求實數的取值范圍.
19．已知數列{an}滿足 定義 為{an}的特征方程，特征方程的根和數列通項公式的形式密切相關.設特征方程的兩個根為x ，x ，若x ≠x ，則數列{an}的通項公式為 若 則數列{an}的通項公式為 其中A，B均為實數.
(1)若數列{an}滿足 且 求{an}的通項公式；
(2)若數列{an}滿足 且 求{an}的通項公式；
(3)若數列{an}滿足 且 記 為數列{bn}的前n項和，證明：
《第四章數列檢測卷-2024-2025學年高二數學下學期人教A版（2019）選擇性必修第二冊》參考答案
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A D B C B C C BD ACD
題號 11
答案 ACD
1．D
【分析】由數列的遞推公式求出數列前幾項，即可得數列是周期為3的周期數列，由其周期性即可求值.
【詳解】因為，，，
所以，
則，，，，
所以數列是周期為3的周期數列，則.
故選：D.
2．A
【分析】根據數列的項最小，利用列舉法判斷的最大值.
【詳解】要使最大，則數列的項要盡可能的小，注意到，，依此類推，，，
所以的最大值5.
故選：A
3．D
【分析】根據“冰雹猜想”結合遞推關系可知數列是以3為周期的數列，結合周期性即可得結果.
【詳解】由題意可得：,
可知數列是以3為周期的數列，
因為，所以，
故選：D.
4．B
【分析】根據等差數列的求和公式和等差數列的性質求值.
【詳解】因為數列和均為等差數列，
所以.
故選：B
5．C
【分析】根據等差中項的性質，利用倒序相加法，可得答案.
【詳解】由等差數列滿足，
則對于，當時，，
則，
設，則，
兩式相加可得，解得.
故選：C.
6．B
【分析】根據對奇數列的定義可得，化簡可證明是以為首項，3為公比的等比數列，進而可得通項公式.
【詳解】因為為“對奇數列”，則，即，
且，可知數列是以為首項，3為公比的等比數列，
所以.
故選：B.
7．C
【分析】先根據得到的遞推關系式，然后構造一個等比數列寫出的通項公式，再寫出的通項公式即可判斷各選項.
【詳解】由，所以，可得.
因為，所以是以1為首項，2為公比的等比數列，
所以，故不是等比數列，且，
所以當時，，
所以，故不是等比數列，且，
綜上，ABD選項錯誤，C選項正確.
故選：C
8．C
【分析】根據等式左邊的特點，各數是先遞增再遞減，分別寫出和的結論，對照即可求解.
【詳解】根據等式左邊的特點，各數是先遞增再遞減，
由于，左邊；
時，左邊，
比較兩式，從而等式左邊應添加的式子是．
故選：C
9．BD
【分析】根據數列的函數特性，利用單調性即可得出結論.
【詳解】若數列是遞增數列，則有，
而因為不是遞增數列，
所以或，解得，故BD正確.
故選：BD
10．ACD
【分析】根據題設條件得到，即可判斷選項A和B的正誤，再求出時，，當時，，即可判斷選項C和D的正誤.
【詳解】設等差數列的首項為，由題有，解得，所以選項A正確，選項B不正確，
又，
由，得到，由，得，由，得到，
所以是數列前項和的最小值，故選項CD正確，
故選：ACD.
11．ACD
【分析】首先根據遞推公式，結合等比數列和等差數列的定義，即可判斷AB，再利用累加法，判斷C，最后根據通項公式求和，判斷D.
【詳解】A.由條件，可知，，
且，則，所以數列為等比數列，故A正確；
B.由條件可知，，，，，，數列的前3項2,5,14不能構成等差數列，
所以數列不是等差數列，故B錯誤；
C.由A可知，，所以時，，
，也適合，故C正確；
D.由C可知，，
所以，故D正確.
故選：ACD
12．
【分析】根據奇數項和偶數項的特征，根據分組求和得，即可得解.
【詳解】由可知：
當為偶數時，，當為奇數時，，
所以，
即
，
由此解得.
故答案為：
13． 10 11
【分析】根據給定信息，利用等差數列前項和公式列出方程求解.
【詳解】依題意，從后往前，每排人數依次排成一列，構成以20為首項，為公差的等差數列，
則，整理得，而，
所以，最前面一排的人數為.
故答案為：10；11
14．
【分析】利用與的關系求出數列的通項公式，再用裂項相消法求得，再根據不等式的恒成立問題以及函數的單調性與最值，求實數的取值范圍.
【詳解】由，，
，
，
則，
由函數在上單調遞減，在上單調遞增，
又時，，時，，
所以當時，取最小值的取值范圍是.
故答案為：.
15．，
【分析】根據題意，利用項與和的關系求得，再利用求得；
【詳解】①，
②，
①-②可得，也滿足上式，
③．
數列的前項之積為當時，，
代入③可得，
．
16．(1)
(2)第項
【分析】（1）根據求通項即可；
（2）根據得到，然后列不等式求最大項即可.
【詳解】（1）當時，，不滿足上式，
當時，，
故數列的通項公式為.
（2）由已知得，
當時，，
則，即，
得， 即，
所以當，的最大項為第7項，
又，
所以數列的最大項是該數列的第項.
17．(1)選①②，答案均為；
(2)證明過程見解析
【分析】（1）選①，根據，得到，為首項和公差均為1的等差數列，得到，根據求出通項公式；選②，，求出為首項和公差均為1的等差數列，得到，根據求出通項公式；
（2）求出，求和得到，并作差得到，得到的最小值為，證明出結論.
【詳解】（1）選①，，，
因為，
所以，
因為數列的各項均為正數，所以，，
所以，
又，，所以為首項和公差均為1的等差數列，
所以，，
所以當時，，當時，，
顯然滿足，
綜上，；
選②，①，當時，，解得，
當時，，
故，
又因為數列的各項均為正數，所以，
故，即，
又，故為首項和公差均為1的等差數列，
所以，解得，
所以當時，，當時，，
顯然滿足，
綜上，；
（2）由（1）知，，，
，
所以，
因為，
所以，
所以為遞增數列，故的最小值為，
所以.
18．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）首先求為奇數時的通項公式，再代入條件求為偶數時的通項公式；
（2）根據（1）的結果，討論為奇數和偶數兩種情況，求；
（3）首先求數列的通項公式，再結合條件，即可求解.
【詳解】（1）由條件可知，，
當為偶數時，，所以數列的奇數項成公比為2的等比數列，
所以，所以為奇數時，，
當為偶數時，，
所以；
（2）當為偶數時，
；
當為奇數時，
，
；
，
所以；
（3），
所以當為奇數時，數列單調遞減，當為偶數時，數列單調遞減，
，，，，
若集合中恰好有3個元素，則.
19．(1)
(2)
(3)證明見解析
【分析】（1）根據題干的條件求出，故，將數值代入即可求得結果.
（2）根據題干的條件求出，故，將數值代入即可求得結果.
（3）根據題干的條件求出，故，將數值代入得到，
再利用防縮法得，再利用分組求和即可證明結論.
【詳解】（1）的特征方程為，解得.
所以的通項公式為.
由題意可得解得
所以的通項公式為.
（2）的特征方程為，解得.
所以的通項公式為.
由題意可得解得
所以的通項公式為.
（3）證明：的特征方程為，解得，
所以的通項公式為.
由題意可得解得
所以的通項公式為.
當時，，滿足.
當時，.
.
綜上，.
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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