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第5單元三角形應用題專項訓練-2024-2025學年數學四年級下冊人教版
1．爺爺給菜地設計籬笆，他想了以下幾種方案，哪種方案設計的籬笆最牢固？為什么？
2．用36厘米長的鐵絲圍成一個等腰三角形，如果這個三角形的底邊長是14厘米，那么每條腰長是多少厘米？
3．如圖，湖邊有A，B，P，Q四個村莊。郵遞員從A村送信到B村，總是走經過Q村的道路，不走經過P村的道路，這是為什么呢？
4．如圖，有4根長度不等的小棒，任選其中3根小棒圍成三角形，可以圍成幾種不同形狀的三角形？
5．下面是一個正六邊形，它的內角和是多少度？每一個內角為多少度？（正六邊形中每個內角的度數都是相等的）
6．黃山市境內名貴古樹較多，某村為加強生態資源保護，賦能鄉村文旅發展，在林業部門指導下，融合周邊環境，給一棵樹齡一千多年的銀杏樹加建一個等腰三角形護欄。已知護欄總長為36米，其中一條邊的長度為8米，算一算另兩條邊分別是多長？
7．已知∠1＝80°，∠2＝48°，∠3、∠4的度數分別是多少？
8．2024“珠海 ‘箏’有你的”香洲區第六屆風箏會于5月1日～5月2日在香爐灣沙灘舉行。各式風箏表演驚艷亮相。淘淘也參與了此次活動，他做了一個等腰三角形的風箏。
（1）如果風箏的周長是32分米，底邊是8分米，那么這個風箏的一條腰長多少分米？
（2）如果這個風箏的一個內角是50°，那么它的另外兩個內角分別是多少度？
9．閱讀與嘗試。我們已經知道了三角形的內角是180°，其實三角形除了內角還有外角。如圖，延長三角形ABC的一條邊BC到點D，∠4就是三角形的一個外角。我們發現：∠4的度數與三角形內角∠1、∠2的度數之和剛好相等，即∠4＝∠1＋∠2，請利用所學的數學知識來說明理由。
10．小明不小心把一塊三角形的玻璃打成了三片（如下圖），現在他要到玻璃店去配一塊形狀完全相同的玻璃，那么最好的辦法是帶哪一塊去？為什么？
11．一個等腰三角形的一個內角是30°，其他兩個內角可能各是多少度？這個三角形按角分類可能是什么三角形？
12．學校舉行做風箏比賽，圖圖做了一個等腰三角形的風箏，它的一個底角是30°。這個風箏的頂角是多少度？
13．爺爺用籬笆圍成了一個長是40分米，寬是20分米的長方形菜地，如果改圍成一個腰長35分米的等腰三角形菜地（籬笆無剩余），這個等腰三角形菜地的底邊長多少分米？
14．小軍用一根鐵絲圍成了一個邊長是16厘米的等邊三角形。如果用這根鐵絲圍成一個正方形，這個正方形面積是多少？
15．一個三角形中，最小的角是20°，最大角的度數是最小角的5倍，這個三角形三個內角的度數各是多少度？按角分這是一個什么三角形？
16．如圖，∠1、∠2、∠3是三角形ABC的三個外角。這三個外角的度數之和是多少？
17．如圖，將一張長方形紙片折起一個角，已知∠2＝70°，你能求出∠1和∠4的度數是多少嗎？
18．下圖長方體的前后兩個面都是正方形，其中A點是邊的中點。三角形ABC是一個什么三角形？用你覺得合適的方法說明。（說明思考過程）
19．用一根鐵絲可以圍成一個邊長是18cm的正方形。如果用這根鐵絲圍成一個腰長是23cm的等腰三角形，則這個等腰三角形的底邊長多少厘米？
20．把一個用一根鐵絲圍成的邊長為6分米的正方形拆開，圍成一個底邊長為10分米的等腰三角形，每條腰長多少分米？
21．如圖，一塊三角形玻璃被打碎了一個角，這個角是多少度？按邊分，這個三角形是什么三角形？
22．如圖，已知∠1＝65°，∠2＝25°，∠3＝55°。求∠5的度數。
23．埃及金字塔的四個側面的形狀都是等腰三角形，每個等腰三角形的頂角約是52°。金字塔每個側面的底角大約是多少度？
24．五角星“☆”具有“勝利”的含義，常出現在軍銜標志上。
（1）觀察如表，并將表格補充完整。
正多邊形 多邊形內角和 每個角的度數
正三角形 180° 60°
正方形 360° 90°
正五邊形

（2）根據正五邊形每個內角的度數，你能推導出圖1中∠1的度數嗎？
（3）圖2是一個標準的五角星，那么∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝（ ）°。
《第5單元三角形應用題專項訓練-2024-2025學年數學四年級下冊人教版》參考答案
1．②；理由見詳解
【分析】三角形具有穩定性，有著穩固、堅定、耐壓的特點，埃及金字塔、鋼軌、三角形框架、起重機、三角形吊臂、屋頂、三角形鋼架、鋼架橋和埃菲爾鐵塔都以三角形形狀建造；四邊形具有易變形的特性，即不穩定性，升降機、晾衣架等都利用了平行四邊形的這種特性。據此解答。
【詳解】答：方案②設計的籬笆最牢靠。方案①和方案③籬笆中間的形狀是長方形或者平行四邊形，它們都易變形。而方案②籬笆中間的形狀是三角形，三角形具有穩定性，所以方案②設計的籬笆最牢靠。
2．11厘米
【分析】等腰三角形的兩條腰相等，據此用周長減去底邊長求出兩條腰的和，再除以2即可求解。
【詳解】（36－14）÷2
＝22÷2
＝11（厘米）
答：每條腰長時11厘米。
3．見詳解
【分析】如下圖，延長AQ交線段 PB于點E，根據三角形兩邊之和大于第三邊，在三角形APE中，AP＋PE＞AE，在三角形BEQ中，QE＋EB＞BQ ，所以AP＋PE＋QE＋EB＞AQ＋QE＋BQ， 即AP＋PB＞AQ＋BQ，據此解答。
【詳解】AP＋PE＞AE
QE＋EB＞BQ
所以AP＋PE＋QE＋EB＞AE＋BQ
AP＋PB＋QE＞AQ＋QE＋BQ
AP＋PB＞AQ＋BQ
走經過Q村的道路比走經過P村的道路距離更短，所以郵遞員從A 村送信到B村，總是走經過Q村的道路，不走經過P村的道路。
4．3種
【分析】根據題意，三角形三條邊的關系：任意兩邊的長度和大于第三邊，任意兩邊的長度差小于第三邊；據此判斷即可。
【詳解】根據分析可知：
第一種：3＋4＞5，5－3＜4，3厘米、4厘米、5厘米圍成三角形。
第二種：3＋5＞7，7－3＜5，3厘米、5厘米、7厘米圍成三角形。
第三種：4＋5＞7，7－4＜5，4厘米、5厘米、7厘米圍成三角形。
答：可以圍成3種不同形狀的三角形。
5．720°；120°
【分析】
三角形的內角和是180°，正六邊形可以分成4個三角形，求正六邊形的內角和就用180°×4，據此求出正六邊形的內角和。正六邊形中每個內角的度數都是相等的，所以每個內角的度數＝內角和÷6，據此解題。
【詳解】180°×4＝720°
720°÷6＝120°
答：它的內角和是720°，每一個內角為120°。
6．14米；14米
【分析】等腰三角形的兩條邊相等。由題意得，等腰三角形護欄的總長為36米，其中一條邊的長度為8米，可以假設這條邊為腰或底邊，然后算出剩下的邊的長度。最后再根據三角形三邊的關系：任意兩邊之和大于第三邊（較短兩邊之和大于第三邊）來驗證該假設是否成立即可。
【詳解】假設8米的邊為腰，那么另一條腰的長度也為8米。
36－8×2
＝36－16
＝20（米）
8＋8＝16（米），16米＜20米，即這三邊無法圍成三角形。
假設8米的邊為底
（36－8）÷2
＝28÷2
＝14（米），即兩條腰的長度都是14米。
8＋14＝22（米），22米＞14米，即這三邊可以圍成三角形。
答：剩下的兩條邊都是14米。
7．∠3＝52°；∠4＝128°
【分析】三角形的內角和是180°，利用180°減去∠1和∠2的度數即可求出∠3的度數，∠3和∠4合起來是一個180°的平角，利用180°減去∠3的度數就是∠4的度數。
【詳解】∠3＝180°－80°－48°
＝100°－48°
＝52°
∠4＝180°－52°＝128°
答：∠3的度數是52°，∠4的度數是128°。
8．（1）12分米
（2）50°和80°或兩個65°
【分析】（1）三角形周長等于3條邊之和，根據等腰三角形的特征，風箏的周長是32分米，底邊是8分米，那么這個風箏的一條腰長是（32－8）÷2＝12（分米），據此解答即可。
（2）根據等腰三角形的特征，可以假設這個內角分別為底角和頂角，再依據三角形的內角和是180度和等腰三角形的底角相等的特點，即可分別計算出兩種情況下其他內角的度數。
【詳解】（1）（32－8）÷2
＝24÷2
＝12（分米）
答：這個風箏的一條腰長是12分米。
（2）假設這個內角是底角，則另一個底角也是50°。
頂角為：
180°－50°×2
＝180°－100°
＝80°
假設這個內角是頂角，每個底角的度數為：
（180°－50°）÷2
＝130°÷2
＝65°
答：它的另外兩個內角分別是50°和80°或兩個65°。
9．因為，，所以
【分析】三角形的內角和等于180°，平角等于180°，據此解答。
【詳解】根據題意可知，
所以，也就是三角形的一個外角∠4的度數等于與它不相鄰的兩個內角∠1、∠2的度數之和。
10．第③塊；理由見詳解
【分析】三角形的內角和為180°。知道三角形2個內角的度數，直接用180°減去兩個內角的度數即可算出第三個角的度數；由題意得，第①塊玻璃中，只有原來三角形玻璃的一個角，無法確定原來三角形的形狀。第②塊玻璃中，沒有原來三角形玻璃的角，也無法確定原來三角形的形狀。第③塊玻璃中，有原來三角形玻璃的兩個角，延長殘缺的兩條邊即可得到三角形玻璃的第三個角。
【詳解】答：最好的辦法是帶第③塊玻璃去。因為直接延長第③塊玻璃殘缺的兩條邊即可得到原來三角形玻璃的形狀，而其余兩塊玻璃無法得到原來三角形的形狀。
11．角是頂角，其他兩個內角是75°；銳角三角形
角是底角時，頂角為120°；鈍角三角形
【分析】 等腰三角形是指至少有兩邊相等的三角形 ，兩腰的夾角稱為 頂角，腰和底邊的夾角稱為底角，等腰三角形的兩個底角度數相等。三個角都是銳角的三角形是銳角三角形；有一個角是直角的三角形是直角三角形；有一個角是鈍角的三角形是鈍角三角形。根據三角形的內角和等于180°，當30°是頂角時，兩個底角為（180°－30°）÷2＝75°，這個三角形按角分是銳角三角形；當30°是底角時，另一個底角也是30°，頂角為180°－30°－30°＝120°，這個三角形按角分是鈍角三角形，據此解答即可。
【詳解】當30°是頂角時：
（180°－30°）÷2
＝150°÷2
＝75°
其余兩個內角分別是75°和75°。這個三角形按角分是銳角三角形。
當30°是底角時：
180°－30°－30°
＝150°－30°
＝120°
其余兩個內角分別是30°和120°。這個三角形按角分是鈍角三角形。
12．120°
【分析】等腰三角形的兩個底角相等。三角形的內角和是180°。據此解答。
已知一個底角是30°，那么兩個底角的度數和為。
所以頂角的度數列式為。
【詳解】
答：這個風箏的頂角是120°。
13．50分米
【分析】根據題意可知：籬笆的長度就是長方形菜地和等腰三角形菜地的周長；先根據長方形的周長＝（長＋寬）×2，求出長方形菜地的周長，也就是等腰三角形菜地的周長，因為等腰三角形兩腰相等，所以有兩條邊的長度是35分米 ，再用周長減去2個35分米，即得到等腰三角形菜地的底邊長。據此解答。
【詳解】長方形的周長：（40＋20）×2
＝60×2
＝120（分米）
三角形的底：120－35×2
＝120－70
＝50（分米）
答：這個等腰三角形菜地的底邊長50分米。
14．144平方厘米
【分析】由題可知，小軍用一根鐵絲圍成了一個邊長是16厘米的等邊三角形，如果用這根鐵絲圍成一個正方形，則三角形的周長等于正方形的周長；根據等邊三角形三邊相等的特征，求出三角形的周長（即這根鐵絲的長度），也就是正方形的周長，用正方形的周長÷4，求出正方形的邊長；最后根據正方形的面積＝邊長×邊長，即可求出這個正方形的面積；據此解答即可。
【詳解】16×3＝48（厘米）
48÷4＝12（厘米）
12×12＝144（平方厘米）
答：這個正方形的面積是144平方厘米。
15．20°、60°、100°；鈍角三角形
【分析】最小角的度數乘5等于最大角的度數，180°減最小角和最大角的度數等于第三個角的度數，三個角都是銳角的三角形是銳角三角形，有一個角是直角的三角形是直角三角形，有一個角是鈍角的三角形是鈍角三角形，據此即可解答。
【詳解】20°×5＝100°
180°－20°－100°
＝160°－100°
＝60°
三角形中最大角等于100°，是鈍角，所以三角形是鈍角三角形。
答：三角形角三個內角分別是20°、60°、100°，按角分這是一個鈍角三角形。
16．360°
【分析】根據三角形的內角和是180°，平角是180°，先求出∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6六個角的度數和；然后，用度數和減去∠4、∠5、∠6的和，即可求出三個外角的度數之和。
【詳解】
因為平角是180°，
所以，，；
所以∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6六個角的度數和是：
因為三角形的內角和是180°，
所以∠1、∠2、∠3三個角的度數和是180°；
答：這三個外角的度數之和是360°。
17．∠1是55°；∠4是20°
【分析】平角是180°，∠1＝（180°－∠2）÷2；∠3和∠1所在的三角形是直角三角形，直角90°，∠3＝90°－∠1，∠4＝90°－∠3－∠3。
【詳解】（180°－70°）÷2
＝110°÷2
＝55°
90°－55°＝35°
90°－35°－35°＝20°
答：∠1是55°，∠4是20°。
18．
等腰直角三角形；理由見詳解
【分析】長方體的前后兩個面都是正方形，并且A點是邊的中點，則AD＝BD＝AE＝EC，那么三角形ADB與三角形ACE是完全一樣的等腰直角三角形，所以∠DAB＝∠EAC＝45°，則∠BAC＝平角－45°×2＝90°，有一個角是直角兩腰相等的三角形是等腰直角三角形。
【詳解】
180°－45°×2
＝80°－90°
＝90°
答：三角形ABC是等腰直角三角形。
19．26厘米
【分析】根據正方形的周長＝邊長×4，求出這根鐵絲的長度，再根據等腰三角形的特征，等腰三角形的兩條腰的長度相等，用這根鐵絲的長度減去兩腰的長度，就是底邊的長度，據此作答。
【詳解】鐵絲的長度：18×4＝72（厘米）
72－23×2
＝72－46
＝26（厘米）
答：這個等腰三角形的底邊長26厘米。
20．7分米
【分析】把一個用一根鐵絲圍成的邊長為6分米的正方形，據此根據正方形的周長＝邊長×4，先算出這根鐵絲的長度；當用這根鐵絲圍成一個等腰三角形時，等腰三角形的周長就是這根鐵絲的長度；已知這個三角形的底邊長是10分米，根據等腰三角形的兩腰長度相等，可知等腰三角形的腰長＝（等腰三角形的周長－底邊的長）÷2，代入數據，即可求出等腰三角形的腰長。據此列式計算即可。
【詳解】6×4＝24（分米）
（24－10）÷2
＝14÷2
＝7（分米）
答：每條腰長7分米。
21．60°；等邊三角形
【分析】三角形內角和等于180°，180°減去兩個已知角的度數等于打碎角的度數，再根據三個角的度數判斷三條邊的關系，根據三條邊的相互關系判斷是什么三角形，據此即可解答。
【詳解】180°－60°－60°
＝120°－60°
＝60°
三個角都是60°，所以三條邊都相等，按邊分，這個三角形是等邊三角形。
答：打碎的這個角是60°，按邊分，這個三角形是等邊三角形。
22．35°
【分析】根據三角形內角和為180°，∠2和∠3還有一個角組成一個三角形，用180°－∠2－∠3先求出這個角的度數，根據題意可知，這個角與∠4組成平角，則用180°減去這個角的度數即可求出∠4的度數，再根據∠1和∠4還有∠5組成三角形，用180°－∠1－∠4，即可求出∠5的度數。
【詳解】180°－∠2－∠3＝180°－25°－55°＝155°－55°＝100°；
∠4＝180°－100°＝80°；
∠5＝180°－∠1－∠4＝180°－65°－80°＝115°－80°＝35°。
答：∠5＝35°。
23．64度
【分析】等腰三角形的特征：兩腰相等，兩底角也相等；再根據三角形內角和是180°和一個頂角是52°，先求得兩個底角的度數，進而求得它的一個底角的度數。
【詳解】180°－52°＝128°
128°÷2＝64°
答：金字塔每個側面的底角大約是64度。
【點睛】此題根據等腰三角形的特征和三角形的內角和解決。
24．（1）540°；108°；
（2）36°；
（3）180°
【分析】（1）多邊形的內角和＝（多邊形的邊數－2）×180°，正五邊形有5條邊，5條邊的長度相等，且5個內角也相等，依此計算。
（2）標準的五角星中，每條邊的長度都相等，因此∠1所在的小三角形是等腰三角形，等腰三角形的兩個底角相等，1平角是180°，因此用180°減正五邊形其中一個內角的度數，即可計算出∠6的度數，三角形的內角和是180°，因此用180°減2個∠6的度數即可，依此計算。
（3）由（2）可知，一個標準的五角星的每個角都是36°，所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5的和為5個36°，依此計算。

【詳解】（1）（5－2）×180°
＝3×180°
＝540°
540°÷5＝108°，即填表如下：
正多邊形 多邊形內角和 每個角的度數
正三角形 180° 60°
正方形 360° 90°
正五邊形 540° 108°
（2）180°－108°＝72°
180°－72°－72°＝36°
答：圖1中∠1的度數是36°。
（3）∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5
＝36°＋36°＋36°＋36°＋36°
＝180°
【點睛】解答此題的關鍵是要熟練掌握多邊形的內角和的計算方法，以及應掌握平角的特點。
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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