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第一章 數列 單元復習測試卷（A）
一、選擇題
1．已知在等差數列中,,則( )
A.6 B.8 C.7 D.10
2．已知數列2,,,,,…,,…,則該數列的第40項是( )
A. B. C.11 D.5
3．在等差數列中，若，，則( )
A.195 B.196 C.197 D.198
4．已知是等差數列的前n項和，若，，則數列的首項( )
A.3 B.2 C.1 D.
5．數列的通項公式為，該數列的前50項中最大項是( )
A. B. C. D.
6．在等差數列中,,設數列的前n項和為,則( )
A.12 B.99 C.132 D.198
7．設等比數列的前n項和為,若,,則( )
A.20 B.30 C.35 D.40
8．用“作切線”的方法求函數零點時，若數列滿足，則稱該數列為言蹊數列.若函數有兩個零點1和2，數列為言蹊數列.設，已知，的前n項和為，則( )
A.2022 B.2023 C. D.
二、多項選擇題
9．近年來，寶雞市教育局致力于構建“學好上、上好學、學得好”的“寶雞好教育”品牌體系.在關注學生身體健康的同時，也高度重視學生的心理健康，為此特別推出了“和風計劃”.某校積極響應“和風計劃”，為了緩解學生的學習壓力，面向1630名高三學生開展了團建活動.如果將所有參加活動的學生依次按照1，2，3，4，5，6，7，…編上號，并按圖所示的順序排隊，我們將2，3，5，7，10，…位置稱為“拐角”，因為指向它的箭頭與離開它時的箭頭方向發生了改變，那么下面說法正確的有( )
A.站在第20拐角的學生是111號 B.站在第23拐角的學生是137號
C.第133號同學站在拐角位置 D.站在拐角位置的同學共有79名
10．等差數列中，，，若，，則( )
A.有最小值，無最小值 B.有最小值，無最大值
C.無最小值，有最小值 D.無最大值，有最大值
11．古希臘著名的畢達哥拉斯學派把1,3,6,10…這樣的數稱為“三角形數”,而把1,4,9,16…這樣的數稱為“正方形數”.如圖中可以發現,任何一個大于1的“正方形數”都可以看作兩個相鄰“三角形數”之和,下列等式中,符合這一規律的表達式為( )
A. B.
C. D.
三、填空題
12．已知正項等比數列滿足,則其公比___________.
13．等差數列的前n項和為，，，則________.
14．已知正項等比數列的前n項和為，若，，則__________.
四、解答題
15．已知數列滿足，，其中為的前n項和，.
（1）求證：數列為等差數列；
（2）求數列的通項公式.
16．已知數列中,,且,為數列的前n項和,,數列是等比數列,,．
(1)求數列和的通項公式;
(2)若,求數列的前n項和．
17．設正項數列的前n項和為，且.
（1）求數列的通項公式；
（2）記的前n項和為，求證：.
18．已知數列是首項為1的正項數列，且，數列滿足，且.
（1）求數列，的通項公式；
（2）求.
19．從社會效益和經濟效益出發，某地準備投入資金進行生態環境建設，以發展旅游產業.根據規劃，本年度投入800萬元，以后每年投入將比上年減少，本年度當地旅游業收入估計為400萬元，由于該項建設對旅游的促進作用，預計今后的旅游業收入每年會比上年增加.
（1）設n年內（本年度為第1年）總投入為萬元，旅游業總收入為萬元，寫出，的表達式；
（2）至少經過多少年，旅游的總收入能超過總投入？（取）
第一章 數列 單元復習測試卷（A）
（參考答案）
1．答案：D
解析：因為,所以.
故選:D.
2．答案：C
解析：依題意,所給數列的通項公式為,
所以該數列的第40項.
故選：C.
3．答案：C
解析：設等差數列的首項為，
公差為d，則
解得
所以，
所以.
故選：C
4．答案：B
解析：設等差數列的公差為d，因為，
可得，即，所以，
又因為，可得，
即，聯立解得，.
故選：B.
5．答案：C
解析：因為
所以當，即時，，所以.
當，即時，，所以.
且時，數列為遞減數列，
所以該數列的前50項中最大項是.
故選：C
6．答案：C
解析：,,
.
故選：C.
7．答案：B
解析：由等比數列的前n項和的性質可得,,也成等比數列,所以,則,解得.
8．答案：D
解析：函數有兩個零點1，2
，
,
則由題意得
,
,
,且
,
所以數列是以1為首項,
以2為公比的等比數列,
所以,
,
故選：D.
9．答案：ACD
解析：觀察給出的前幾個拐角位置對應的編號：2，3，5，7，10，13，17，21，26，…
將奇數項的拐角即為，易得：;
偶數序號的拐角即為，由規律可得：
第20拐角的學生編號為：正確；
站在第23拐角的學生編號為：錯誤；
由，解得，也即第133號同學站在第22拐角位置；
由，可得，由，可得，
所以拐角總序號可到第79個，所以站在拐角位置的同學共有79名，正確；
故選：ACD
10．答案：AD
解析：設等差數列的公差為d，
依題意，得，
解得，
，
，
當時，有最小值-25，無最大值，
而，
易得，，，，
且，
當時，，
當時，有最大值，無最小值.
故選：AD.
11．答案：BD
解析：這些三角形數的規律是1,3,6,10,15,21,28,36,45,…,
且正方形數是這串數中相鄰兩數之和,容易得到：,,,,只有BD是對的.
故選：BD.
12．答案：3
解析：依題意可得,,代入原式得.
即,解得或,當時,與題意矛盾舍去,故.
故答案為：3.
13．答案：13
解析：因為為等差數列，
所以，所以，
所以，所以，
故答案為：13.
14．答案：
解析：設首項，公比q，易知，
∴，
由于均為正，∴，
∴.
故答案為：
15．答案：（1）證明見解析
（2）
解析：（1）因為，，
所以，即，
所以，即，所以，
則.
又，
所以是首項為1，公差為1的等差數列.
（2）由（1）知，所以.
當時，，
當時，不滿足上式，
所以數列的通項公式為
16．答案：(1),;
(2)數列的前n項和為.
解析：(1)由已知當,時,,,
所以,
又,
所以,
所以,
所以數列為等差數列,公差為1,
又,所以,
所以當,時,,
又,
所以,,
設等比數列的公比為q,
因為,,
所以,,
所以,所以,
(2)由(1),
所以,
所以數列的前n項和,
所以.
17．答案：（1）
（2）證明見解析
解析：（1）因為，
當時，，又，則，
當時，，，
兩式相減，整理可得，
又為正項數列，即，
所以，所以數列是以為首項，為公差的等差數列，
所以.
（2）由（1）可得，所以，
所以，
兩式相減得
，
所以.
18．答案：（1）數列的通項公式為；數列的通項公式為
（2）
解析：（1）由，
可得，
又數列是首項為1的正項數列，
所以，即，
所以，
所以有，
也滿足，
所以數列的通項公式為.
數列滿足，即，
則有，
所以
，
也滿足，
所以數列的通項公式為.
（2）由（1）知，
設，
則，①
，②
可得
，
所以.
19．答案：（1），
（2）5年
解析：（1）第1年投入為800萬元，第2年投入為萬元，
第n年投入為萬元，
所以n年內的總投入.
第1年旅游業收入為400萬元，
第2年旅游業收入為萬元，
第n年旅游業收入為萬元，
年內的旅游業總收入萬元.
（2）設至少經過n年旅游業的總收入就能超過總投入，
即，即，
化簡得，
設，則不等式等價為，
解得或（舍去）.
即，又，所以.
即經過5年旅游業的總收入就能超過總投入.
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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