資源簡(jiǎn)介

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湖南師大附中2024-2025學(xué)年度高一第二學(xué)期期中考試
請(qǐng)?jiān)诟黝}目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出黑色矩形邊框限定區(qū)域的答案無效
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數(shù)學(xué)答題卡
15.(13分)
16.(15分)
20 cm
姓
貼條形碼區(qū)
準(zhǔn)考證號(hào)
《正面朝上，切勿貼出虛線方框)
13cm
口←此方框?yàn)槿笨伎忌鷺?biāo)記，由監(jiān)考員用2B鉛筆填涂。
正確填涂示例
選擇題（請(qǐng)用2B鉛筆填涂）
1
2345678
9
1011
■
團(tuán)I田團(tuán)團(tuán)團(tuán)
AA
RRRRR B RR
RRR
四
aa四
四四四四四四四四
四四四
◆
非選擇題（請(qǐng)用0.5毫米黑色墨水簽字筆書寫）
12.
13
女
考生請(qǐng)勿在此區(qū)域內(nèi)作答
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17.(15分)
18.(17分)
19.(17分)
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請(qǐng)?jiān)诟黝}目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出黑色矩形邊框限定區(qū)域的答案無效湖南師大附中2024—2025學(xué)年度高一第二學(xué)期期中考試
數(shù)　學(xué)
時(shí)量：120分鐘　　　滿分：150分
得分：______________
一、選擇題(本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．)
1．在復(fù)平面內(nèi)，(1－i)(4＋3i)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知向量a＝(1，2)，b＝(λ，－1)，c＝(μ，－1)，若(a＋c)∥b，則λ＋μ＝
A．－2 B．－1 C．0 D．1
3．已知a，b表示直線，α，β，γ表示平面，則下列結(jié)論中正確的是
A．若a∥α，b∥α，則a∥b B．若a∥b，a∥α，則b∥α
C．若α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，則a∥b D．若a∥β，b∥β，a?α，b?α，則α∥β
4．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知a＝，b＝，A＝45°，則B＝
A．60° B. 120° C. 60°或120° D. 45°或135°
5．在平行四邊形ABCD中，AB＝4，AD＝2，∠A＝60°，＝3，則·＝
A．3 B．2 C. D．1
6．已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)＋f(4－x)＝2，若函數(shù)g(x)＝與f(x)的圖象的交點(diǎn)為(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，則y1＋y2＋…＋ym＝
A. B．m C．2m D．4m
7．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知B＝60°，b＝3，若△ABC為銳角三角形，則c的取值范圍為
A．(0，3) B．(0，3] C．(0，6) D．(3，6)
8．已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2，E，F(xiàn)分別是棱BC，CC1的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在正方形BCC1B1(包括邊界)內(nèi)運(yùn)動(dòng)，若PA1∥平面AEF，則線段PA1的長度的最小值是
A. B．2
C. D．3
二、選擇題(本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．)
9．已知i為虛數(shù)單位，下列說法正確的有
A．i＋i2＋i3＋i4＝0
B．復(fù)數(shù)z＝的共軛復(fù)數(shù)＝－2＋i
C．復(fù)數(shù)z＝3－i的模為10
D．已知復(fù)數(shù)z滿足|z－1|＝|z＋1|，則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為直線
10．下列說法正確的是
A．已知向量a＝(1，1)，b＝(x，2)，且a⊥b，則x＝－2
B．向量a＝(2，3)，b＝(x，2)，則“a，b的夾角為銳角”是“x>－3”的充要條件
C．若2＋＋3＝0，S△AOC，S△ABC分別表示S△AOC，S△ABC的面積，則S△AOC∶S△ABC＝1∶6
D．在△ABC中，向量與滿足(＋)·＝0，且·＝，則△ABC為等邊三角形
11．圓錐SO的底面半徑為r，母線長為l，側(cè)面積為3π， 點(diǎn)C是母線SA上靠近點(diǎn)S的三等分點(diǎn)，M，N是底面圓周上兩點(diǎn)，MA＝NA且∠MAN＝，則
A．當(dāng)3r＝l時(shí)，從點(diǎn)A到點(diǎn)C繞圓錐側(cè)面一周的最小長度為
B．當(dāng)r＝時(shí)，過頂點(diǎn)S和兩母線的截面三角形的面積最大值為
C．當(dāng)l＝3時(shí)，圓錐SO的外接球表面積為
D．存在點(diǎn)D在圓錐SO上，使得直線BD∥平面MCN
三、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分．)
12．已知水平放置的四邊形ABCD按斜二測(cè)畫法畫出的直觀圖A′B′C′D′如圖所示，其中
A′D′∥B′C′，A′D′＝2，B′C′＝4，A′B′＝1，則四邊形ABCD的面積為__________．
13．若將一個(gè)棱長為6的正方體鐵塊磨制成一個(gè)球形零件，則制作的球形零件的最大體積是______．
14．如圖所示，四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，AB∥CD，AB＝AD＝6，設(shè)＝x＋y，且2x＋6y＝3，則四邊形ABCD的對(duì)角線BD的長為____________．
四、解答題(本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．)
15．(13分)如圖，一個(gè)圓臺(tái)型花盆盆口直徑為20 cm，盆底直徑為10 cm，盆壁長(指圓臺(tái)的母線長)13 cm.
(1)求這個(gè)圓臺(tái)形花盆的體積；
(2)現(xiàn)在為了美化花盆的外觀，決定給花盆的側(cè)面涂上一層油漆，每平方米需要花費(fèi)10元，給這批1萬個(gè)同款花盆全部涂上油漆，預(yù)計(jì)花費(fèi)多少元？(第(2)問中π取3.14)
16．(15分)已知a，b，c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，acos C＋asin C－b－2c＝0.
(1)求A；
(2)若A的角平分線AD長為1，且b＋c＝6，求sin Bsin C的值．
17．(15分)如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為梯形，其中AD∥BC，且AD＝2BC，點(diǎn)E為棱PD的中點(diǎn)．
(1)在圖中作出面PAB和面PCD的交線l，并證明：l∥平面ACE；
(2)若PA＝PB＝PC＝AD＝10，CD＝12，在四棱錐PABCD中，求過點(diǎn)B，E及棱AD的中點(diǎn)的截面周長．
18.(17分)已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)－1(ω>0，0<φ<π)的圖象兩相鄰對(duì)稱軸之間的距離是，若將f(x)的圖象上每個(gè)點(diǎn)先向左平移個(gè)單位長度，再向下平移1個(gè)單位長度，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)g(x)為偶函數(shù)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若對(duì)任意x∈，[f(x)]2－(2＋m)f(x)＋2＋m≤0恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
(3)若函數(shù)h(x)＝2f(x)＋1在區(qū)間[a，b](a，b∈R且a19.(17分) 對(duì)于定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)以及非空數(shù)集S：若對(duì)任意x1，x2∈R，當(dāng)x1－x2∈S時(shí)，都有f(x1)－f(x2)∈S，則稱f(x)是S關(guān)聯(lián)的．
(1)設(shè)f(x)＝2x＋1，寫出符合條件的三個(gè)開區(qū)間(m，n)，使得f(x)是(m，n)關(guān)聯(lián)的；
(2)設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋1，若存在一個(gè)閉區(qū)間[m，n] (m(3)證明：f(x)是[1，2] 關(guān)聯(lián)的等價(jià)于f(x)是[1，2025] 關(guān)聯(lián)的．湖南師大附中2024－2025學(xué)年度高一第二學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)參考答案
一、二、選擇題
題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D B C C A B D A ABD ACD AC
1.D　【解析】由題意，(1－i)(4＋3i)＝7－i，在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(7，－1)，位于第四象限．故選D.
2．B　【解析】因?yàn)閍＝(1，2)，b＝(λ，－1)，c＝(μ，－1)，所以a＋c＝(1＋μ，1)，
因?yàn)?a＋c)∥b，所以－(1＋μ)＝λ，所以λ＋μ＝－1.故選B.
3．C　【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，a∥α，b∥α，直線a，b可能平行，異面或相交，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，a∥b，a∥α，直線b可能平行于平面α或在平面α內(nèi)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理可得a∥b，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，a∥β，b∥β，a?α，b?α，直線a，b如果不相交，α，β可能相交，故D錯(cuò)誤．故選C.
4．C　【解析】由正弦定理＝，得sin B＝sin A＝×＝，∵a∴B為銳角或鈍角，故B＝60°或120°.故選C.
5．A　【解析】如圖，以{，}為基底，則＝＋＝＋，
＝＋＝－＋，
又2＝16，2＝4，·＝4×2cos 60°＝4，
所以·＝·
＝－2＋·＋2＝－×16＋×4＋4＝3.故選A.
6．B　【解析】由f(x)＋f(4－x)＝2知f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2，1)對(duì)稱，由g(x)＝，則g(4－x)＝，
所以g(x)＋g(4－x)＝＋＝2，
故g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2，1)對(duì)稱，因此f(x)與g(x)圖象交點(diǎn)也關(guān)于點(diǎn)(2，1)對(duì)稱，
設(shè)交點(diǎn)(x1，y1)與(xm，ym)關(guān)于點(diǎn)(2，1)對(duì)稱，
則有y1＋ym＝2，由此可得y1＋y2＋…＋ym＝2×＝m.故選B.
7．D　【解析】△ABC的外接圓O的半徑R＝＝＝3，
如圖所示，AC＝3，AB′是圓的直徑．
當(dāng)B為B′時(shí)，此時(shí)c取到2R＝6，角C為直角，不符合要求，同理c取3時(shí)A為直角．
由圖知，c∈(3，6)．故選：D.
8．A　【解析】由題意，取BB1的中點(diǎn)G，B1C1的中點(diǎn)H，連接A1H，A1G，GH，D1F，AD1，作圖如下：在正方體ABCDA1B1C1D1中，易知EF∥AD1，則A，E，F(xiàn)，D1共面，因?yàn)锳1G∥D1F，A1H∥AE，又A1G?平面AEFD1，D1F?平面AEFD1，
∴A1G∥平面AEFD1，同理可得：A1H∥平面AEFD1，
∵A1H∩A1G＝A1，∴平面A1GH∥平面AEFD1，
當(dāng)A1P?平面A1GH時(shí)，A1P∥平面AEFD1，
∵正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2，
在Rt△A1B1H中，A1B＋B1H2＝A1H2，解得A1H＝，同理A1G＝，
在Rt△B1GH中，B1G2＋B1H2＝GH2，解得GH＝，
則△A1GH中邊GH上的高h(yuǎn)＝＝，即A1P的最小值為.故選A.
9．ABD　【解析】i＋i2＋i3＋i4＝i－1－i＋1＝0，故A正確；
由z＝＝＝－2－i，得＝－2＋i，故B正確；
復(fù)數(shù)z＝3－i的模為|z|＝＝，故C錯(cuò)誤；
由|z－1|＝|z＋1|，得z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為直線x＝0，故D正確．故選ABD.
10．ACD　【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，向量a＝(1，1)，b＝(x，2)，
由a⊥b，故a·b＝x＋2＝0，故x＝－2，故A選項(xiàng)正確；
對(duì)于B選項(xiàng)，由a，b的夾角為銳角，得cos〈a，b〉>0，且a，b不共線，則
解得x>－3且x≠，所以“a，b的夾角為銳角”是“x>－3”的充分不必要條件，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于C選項(xiàng)，若2＋＋3＝0，S△AOC，S△ABC分別表示△AOC，△ABC的面積，
如圖：設(shè)＝2，＝3，由2＋＋3＝0，得＋＋＝0，
取A′B的中點(diǎn)D，連接OD，則有＋＝2，
所以2＋＝0，即|OC′|＝2|OD|，則點(diǎn)O為△BA′C′的重心．
設(shè)△AOC，△AOB，△BOC的面積分別為x，y，z，
則△A′OC′，△A′OB，△BOC′的面積分別為6x，2y，3z，由重心的性質(zhì)可知6x＝2y＝3z，
所以則S△AOC∶S△ABC＝x∶(x＋y＋z)＝1∶6，故C選項(xiàng)正確；
對(duì)于D選項(xiàng)，在△ABC中，向量與滿足·＝0，且·＝，
如圖，作∠BAC的平分線AE與BC相交于點(diǎn)E，
因?yàn)闉榈膯挝环较蛳蛄浚瑸榈膯挝环较蛳蛄浚裕溅?λ>0)，所以·＝λ·＝0(λ>0)，
所以⊥.即AE⊥BC，所以△ABC為等腰三角形，
又因?yàn)椤ぃ剑絚os B＝，且B∈(0，π)，所以B＝，
即△ABC為等邊三角形，故D選項(xiàng)正確．故選ACD.
11．AC　【解析】如圖所示：因?yàn)镾O的側(cè)面積為3π， 即πrl＝3π，
則rl＝3，對(duì)于A，當(dāng)3r＝l時(shí)，則l＝3，r＝1，所以弧的長為2πr＝2π，側(cè)面展開圖的圓心角∠ASA′＝，故A′C2＝A′S2＋SC2－2A′S·SC·cos∠A′SC
＝32＋12－2×3×1×cos＝13，
即A′C＝，故A正確；
對(duì)于B，當(dāng)r＝時(shí)，l＝2，在△ABS中，AS2＋BS2－AB2＝22＋22－32<0，則∠ASB為鈍角，
過頂點(diǎn)S和兩母線的截面三角形的面積為S＝l2·sin α，
當(dāng)α＝時(shí)，過頂點(diǎn)和兩母線的截面三角形取最大面積S＝l2·sin α＝×22×sin＝2，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，當(dāng)l＝3時(shí)，則r＝1，圓錐SO的外接球的球心一定在SO上，
設(shè)圓錐SO的外接球半徑為R，則R2＝(SO－R)2＋r2，又SO＝＝＝2，
所以R2＝(2－R)2＋1，解得R＝，
所以圓錐SO的外接球表面積為4πR2＝4π×＝，故C正確；
對(duì)于D，若點(diǎn)D∈面SAB，則C，O，B，D共面，
由CO?面MCN知BD∥CO，此時(shí)點(diǎn)D在線段AS的延長線上，不合要求；
若點(diǎn)D?面SAB，則由對(duì)稱性，點(diǎn)D關(guān)于平面SAB的對(duì)稱點(diǎn)E也滿足BE∥平面MCN，
即有平面BDE∥平面MCN，設(shè)DE的中點(diǎn)為F，則C，O，B，F(xiàn)共面SAB，
由CO?面MCN，BF?面BDE知BF∥CO(面面平行性質(zhì))．類似前一種情況，知F在△SAB外，與F為DE的中點(diǎn)矛盾，(F是圓錐水平截面圓上兩點(diǎn)D，E連線的中點(diǎn)，在圓內(nèi)，且F在軸截面SAB上，在△SAB內(nèi)，矛盾)，故D不正確，故選AC.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．6　【解析】根據(jù)斜二測(cè)畫法，原來的高變成了45°方向的線段，且長度是原高的一半，
A′B′＝1，所以原高為AB＝2，
畫出原圖形如圖所示，過點(diǎn)D作DE⊥BC于E，且橫向長度不變，梯形ABCD是直角梯形，則S四邊形ABCD＝＝6.
13．36π　【解析】由題，最大的球形零件是正方體的內(nèi)切球，則內(nèi)切球半徑為3，故球的體積V＝πR3＝36π.
14．4　【解析】在AB延長線上取點(diǎn)N，使AN＝9，取AD的中點(diǎn)M，
又因?yàn)椋絰＋y，所以＝x＋2y，
由2x＋6y＝3，可得x＋2y＝1，所以直線MN過圓心O，
在Rt△MAN中，AN＝9，AM＝3，所以cos ∠MAN＝，
在△ABD中，由余弦定理可得BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos∠BAD＝36＋36－2×6×6×＝48，所以BD＝4.
四、解答題(本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．)
15．【解析】(1)圓臺(tái)型花盆的上底半徑r1＝10 cm，下底半徑r2＝5 cm，母線長l＝13 cm，
則高h(yuǎn)＝＝＝12 cm，2分
體積V＝h(r＋r1r2＋r)＝×12×(100＋50＋25)＝700 π(cm3)，5分
所以這個(gè)圓臺(tái)形花盆的體積為700π cm3.6分
(2)由(1)知，圓臺(tái)型花盆的側(cè)面積S＝π(r1＋r2)l＝π(10＋5)×13＝195π≈195×3.14＝612.3(cm2)＝0.06123(m2)，10分
則0.06123×10×10000＝6123(元)，12分
所以給1萬個(gè)同款花盆全部涂上油漆預(yù)計(jì)花費(fèi)6123元.13分
16．【解析】(1)acos C＋asin C＝b＋2c，
由正弦定理得：sin Acos C＋sin Asin C＝sin B＋2sin C，2分
∴sin Acos C＋sin Asin C＝sin(A＋C)＋2sin C，即sin Asin C＝cos Asin C＋2sin C，
因?yàn)閟in C≠0，所以sin A－cos A＝2，4分
所以sin＝1，5分
因?yàn)锳∈(0，π)，所以A－＝，故A＝π.7分
(2)由S△ABD＋S△ACD＝S△ABC得，(b＋c)＝bc，
即bc＝b＋c＝6，9分
由余弦定理，a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b＋c)2－bc＝36－6＝30.
解得a＝，11分
由正弦定理，＝＝＝2R＝2，13分
所以sin B·sin C＝＝＝.15分
17．【解析】(1)如圖，延長AB和DC，設(shè)它們的交點(diǎn)為F，連接PF，則直線PF即為所求l. 2分
證明：因?yàn)锳D∥BC且AD＝2BC，所以C為DF的中點(diǎn)，4分
又點(diǎn)E為棱PD的中點(diǎn)，所以CE∥PF，5分
又CE?平面ACE，PF?平面ACE，所以PF∥平面ACE，6分
即l∥平面ACE.7分
(2)設(shè)N為AD的中點(diǎn)，取PC的中點(diǎn)Q，連接EQ，BQ，EN，BN，
因?yàn)镋為PD的中點(diǎn)，Q為PC的中點(diǎn)，所以EQ∥CD.
又因?yàn)锽N∥CD，所以EQ∥BN，
故B，N，E，Q共面，故四邊形BNEQ為所求截面.9分
因?yàn)镻A＝PB＝PC＝AD＝10，CD＝12，
所以EQ＝CD＝6，EN＝PA＝5，BN＝CD＝12，11分
在△PBC中，因?yàn)镻B＝PC＝10，BC＝AD＝5，故cos∠PCB＝＝，
故BQ＝＝，14分
所以截面周長為6＋5＋12＋＝23＋.15分
18．【解析】(1)由＝2×，得ω＝2，1分
則f(x)＝sin(2x＋φ)－1，
則g(x)＝sin－1－1＝sin－2為偶函數(shù)，所以＋φ＝＋kπ， k∈Z，
又0<φ<π，所以φ＝，故f(x)＝sin－1.3分
(2)因?yàn)閤∈，所以2x＋∈，sin∈[0，1]，4分
故－1≤f(x)≤0，－2≤f(x)－1≤－1，
而[f(x)]2－(2＋m)f(x)＋2＋m≤0恒成立，即[f(x)]2－2f(x)＋2≤[f(x)－1]m，
整理可得m≤＋f(x)－1，6分
令t＝f(x)－1，t∈[－2，－1]，
設(shè)n(t)＝＋t，t∈[－2，－1]，
設(shè)t1，t2∈[－2，－1]且t1由于t1－t2<0，t1t2>1，則n(t1)－n(t2)<0，所以n(t1)即n(t)＝＋t在區(qū)間[－2，－1]上單調(diào)遞增，8分
則n(t)min＝n(－2)＝－，故m≤－，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是.9分
(3)由題意知h(x)＝2f(x)＋1＝2sin－1，10分
由h(x)＝0得sin＝，故2x＋＝2kπ＋或2x＋＝2kπ＋，k∈Z，
解得x＝kπ－或x＝kπ＋，k∈Z，故h(x)的零點(diǎn)為kπ－和kπ＋，k∈Z，12分
所以相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的距離為或，13分
若b－a最小，則a和b都是零點(diǎn)，
此時(shí)在區(qū)間[a，π＋a]，[a，2π＋a]，…，[a，sπ＋a]，(s∈N*)分別恰有3，5，…，2s＋1個(gè)零點(diǎn)，
所以在區(qū)間[a，4π＋a]上恰有9個(gè)零點(diǎn)，從而在區(qū)間(4π＋a，b]上有一個(gè)零點(diǎn)，14分
所以b－a－4π≥，解得b≥a＋4π＋，15分
另一方面，h(x)在區(qū)間上恰有10個(gè)零點(diǎn)，16分
所以b－a的最小值為4π＋＝.17分
19．【解析】(1)由題，對(duì)x1－x2∈(m，n)，f(x1)－f(x2)＝2(x1－x2)∈(m，n)，
此時(shí)若n>0，取x1－x2接近n，需要n>2n，矛盾；
若m<0，取x1－x2接近m，需要m<2m，矛盾；
所以m0與m<0至少有一項(xiàng)不可能成立.2分
∴m，n中有±∞，此時(shí)如有n>0且為實(shí)數(shù)或m<0且為實(shí)數(shù)，類似之前討論知不可能．
∴檢驗(yàn)知開區(qū)間(m，＋∞)(m≥0)；(－∞，n)(n≤0)；(－∞，＋∞)這三類均滿足題意．
所以符合條件的三個(gè)開區(qū)間有(－∞，－1)，(1，＋∞)，(－∞，＋∞)．(答案不唯一)4分
(2)若f(x)＝ax2＋bx＋1是[m，n]關(guān)聯(lián)的，則對(duì)x1－x2∈[m，n]，
f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)(ax1＋ax2＋b)∈[m，n]，
若a≠0，當(dāng)x1－x2≠0，x1－x2∈[m，n]時(shí)，
x1＋x2可取任意實(shí)數(shù)，即有ax1＋ax2＋b可取任意實(shí)數(shù)，
即f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)(ax1＋ax2＋b)可取任意實(shí)數(shù)，矛盾．
∴a＝0，f(x1)－f(x2)＝b(x1－x2).6分
此時(shí)若|b|>1，則x1－x2∈[m，n]時(shí)，b(x1－x2)最大值與最小值的差為|b|(n－m)>n－m，
與b(x1－x2)∈[m，n]矛盾；8分
∴|b|≤1，此時(shí)取[m，n]為[－1，1]，易驗(yàn)x1－x2∈[－1，1]時(shí)，b(x1－x2)∈[－1，1]滿足題意．
綜上，所求f(x)＝bx＋1，其中|b|≤1.10分
(3)一方面，若f(x)是[1，2]關(guān)聯(lián)的，
則對(duì)x1－x2∈[1，2]，1≤f(x1)－f(x2)≤2，
則f(x＋1)－f(x)≥1，f(x＋2)－f(x＋1)≥1，
故f(x＋2)－f(x)≥2，并且f(x＋2)－f(x)≤2，
結(jié)合取等條件有f(x＋1)＝f(x)＋1.13分
即有?y∈Z，f(x－y)＝f(x)－y.
此時(shí)對(duì)x1－x2∈(2，2025]，設(shè)x1－y－x2＝x，其中x∈[1，2]，y∈N，y∈[1，2023]；
則f(x1)－f(x2)＝f(x1－y)＋y－f(x2)；
x1－y－x2∈(1，2]?f(x1－y)－f(x2)∈[1，2]?f(x1)－f(x2)∈[1，2025]，
對(duì)x1－x2∈[1，2]同樣有f(x1)－f(x2)∈[1，2025]，
即f(x)是[1，2025]關(guān)聯(lián)的；15分
另一方面，若f(x)是[1，2025]關(guān)聯(lián)的，
類似之前過程，f(x＋2025)＝f(x)＋[f(x＋1)－f(x)]＋[f(x＋2)－f(x＋1)]＋…＋[f(x＋2025)－f(x＋2024)]≥f(x)＋2025；且f(x＋2025)≤f(x)＋2025；
結(jié)合取等條件有f(x＋1)＝f(x)＋1；即有?y∈Z，f(x－y)＝f(x)－y.
所以對(duì)于x1－x2∈[1，2]，f(x1＋2023)－f(x2)≤2025，即f(x1)－f(x2)≤2；
且顯然有f(x1)－f(x2)≥1，即f(x)是[1，2]關(guān)聯(lián)的．
綜上，原命題證畢.17分

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