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數(shù)列專項訓練-2025年高考數(shù)學練習卷
一、單選題
1．數(shù)列滿足，，則（ ）
A． B． C． D．
2．已知數(shù)列的前項和為，且，則（ ）
A． B． C． D．
3．數(shù)列的前100項和（ ）
A． B． C． D．
4．已知為等差數(shù)列，若，則（ ）
A．36 B．48 C．60 D．72
5．若等比數(shù)列滿足，，則數(shù)列的公比等于（ ）
A．或 B．或 C． D．
6．今年高三的“節(jié)”活動引用了漫畫《龍珠》.在原著中卡林塔上的貓仙人種植了一種仙豆，可以幫助主角療傷和增長戰(zhàn)斗力.仙豆共有7顆，從小到大可以增加的戰(zhàn)斗力構成一個遞增的等差數(shù)列.在下一場挑戰(zhàn)前，主角將7顆仙豆全部吃掉，增加21000的戰(zhàn)斗力，擊敗了“比克大魔王”.如果第3小的仙豆可以增加2700的戰(zhàn)斗力，那么最小的仙豆可以增加的戰(zhàn)斗力為（ ）
A．1800 B．2100 C．3600 D．3900
7．已知數(shù)列滿足，若，則數(shù)列的前15項和為（ ）
A． B． C． D．
8．對函數(shù)，若數(shù)列滿足，則稱為牛頓數(shù)列．若函數(shù)，數(shù)列為牛頓數(shù)列，且，，則（ ）
A．20 B． C．30 D．
二、多選題
9．已知數(shù)列滿足，則（ ）
A．數(shù)列為遞增數(shù)列
B．
C．
D．
10．記數(shù)列的前項和為，且，則（ ）
A． B．數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列
C．數(shù)列是公比為4的等比數(shù)列 D．數(shù)列的前2025項和為
11．對于正整數(shù)n，是小于或等于n的正整數(shù)中與n互質的數(shù)的數(shù)目（若兩個正整數(shù)的最大公因數(shù)是1，則稱這兩個正整數(shù)互質）．函數(shù)以其首名研究者歐拉命名，稱為歐拉函數(shù)，例如，（10與1，3，7，9均互質）則（ ）
A．
B．數(shù)列是單調遞增數(shù)列
C．若p為質數(shù)，則數(shù)列為等比數(shù)列
D．數(shù)列的前5項和等于
三、填空題
12．已知等比數(shù)列的首項為1，公比為q，其前n項和為．若，則q的取值范圍為 ．
13．已知數(shù)列的前n項和為，且，則數(shù)列的前n項和 .
14．設是等差數(shù)列的前項和，成等比數(shù)列，等比數(shù)列的首項為，公比為正整數(shù)，均不是常數(shù)列，若是整數(shù)，則 .
四、解答題
15．已知是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且，，．
(1)求和的通項公式；
(2)求數(shù)列的前項和．
16．在數(shù)列中，.
(1)求的通項公式；
(2)若，求數(shù)列的前項和的最大值.
17．已知各項均為正數(shù)的數(shù)列 ，其前n項和為，滿足.
(1)求數(shù)列的通項公式以及 ；
(2)若 ，求
18．已知數(shù)列為等差數(shù)列，且，.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)已知數(shù)列的前項和為，且，求數(shù)列的通項公式；
(3)已知數(shù)列滿足：，求數(shù)列的前項和.
19．國產動畫電影《哪吒之魔童鬧?！窇{借其獨特的藝術魅力與深刻的故事情節(jié)吸引了無數(shù)觀眾的目光，電影中的人物哪吒也深得觀眾喜愛.某公司適時推出20種款式不同的哪吒玩偶隨機購活動，購買規(guī)則及概率如下：每次購買一個，且買到任意一種款式是等可能的.小王特別喜歡20種款式中的一種.
(1)若20種款式的玩偶各有一個.
（?。┣笮⊥醯诙尾刨I到特別喜歡的款式的概率；
（ⅱ）設小王買到特別喜歡的款式所需次數(shù)為X，求X的數(shù)學期望.
(2)若每種款式的玩偶數(shù)量足夠多，每次玩偶被買后公司都會補充被買走的款式.為了滿足客戶的需求，引進了保底機制：在購買前指定一個款式，若前6次未買到指定款式，則第7次必定買到指定款式.設Y為小王買到某指定款式所需的次數(shù)，求Y的數(shù)學期望.
（參考數(shù)據(jù)：，結果保留整數(shù)）
《數(shù)列專項訓練-2025年高考數(shù)學練習卷》參考答案
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D B D C B A B ACD ACD
題號 11
答案 AC
1．C
【分析】解法一：求出數(shù)列前四項的值，分析可知，數(shù)列是以為周期的周期數(shù)列，結合數(shù)列的周期性可求得的值；
解法二：利用迭代法推導出數(shù)列是以為周期的周期數(shù)列，結合數(shù)列的周期性可求得的值.
【詳解】解法一：因為，，所以，即，同理可得，，
故數(shù)列是以為周期的周期數(shù)列，又，所以.
解法二：由，得，，
故數(shù)列是以為周期的周期數(shù)列，又，所以.
故選：C.
2．D
【分析】根據(jù)與的關系及等比數(shù)列的通項求出的通項，再根據(jù)等比數(shù)列的前項和公式求出，再逐一判斷即可.
【詳解】由，
當時，，
當時，，
所以，
所以數(shù)列從第二項開始是以為首項，為公比的等比數(shù)列，
所以，，
所以，
故ABC錯誤，D正確.
故選：D.
3．B
【分析】利用分組求和法，結合等比、等差數(shù)列的求和公式計算即得.
【詳解】的前100項和為：
.
故選：B
4．D
【分析】由等差中項可知等差數(shù)列連續(xù)三項的和，由此找到所求數(shù)列的和與已知條件的關系，即可得到答案.
【詳解】已知為等差數(shù)列，
．
故選：D．
5．C
【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式求解即可.
【詳解】，
，
所以，
故選：C.
6．B
【分析】將顆仙豆從小到大可以增加的戰(zhàn)斗力看成一個遞增的等差數(shù)列，結合題意可知，，由此可以解出即為答案.
【詳解】由題干可知顆仙豆從小到大可以增加的戰(zhàn)斗力構成一個遞增的等差數(shù)列，
不妨設為，則，顆仙豆可增加的戰(zhàn)斗力之和記為，
由等差數(shù)列的前項和公式可知，
所以數(shù)列的公差，故，
即最小的仙豆可以增加的戰(zhàn)斗力為.
故選：B.
7．A
【分析】根據(jù)的關系求出，然后使用裂項相消法可得.
【詳解】①，
當時，，
當時，②，
①-②得，所以，
顯然也滿足上式，所以，
所以，
記數(shù)列的前項和為，
則.
故選：A
8．B
【分析】根據(jù)題意，求得，得到是等比數(shù)列，求得，再得出結合等差數(shù)列求和即可.
【詳解】因為，所以，則，
又因為，且，所以是首項為，公比的等比數(shù)列，
，，
則，
故選：B.
9．ACD
【分析】對于A選項：構造函數(shù)，求導判斷其單調遞增．由算出，得．假設，可推出，再構造，求導判斷其單調性，得出，所以數(shù)列遞增．
對于B選項：由A選項分析知，所以不存在使．
對于C選項：要證，構造，多次求導判斷單調性，得出，從而證明不等式成立．
對于D選項：由C，取倒數(shù)后構造數(shù)列，再用累加法求和計算證明即可.
【詳解】設，對其求導可得．
因為恒成立，所以在上單調遞增．
已知，則，依次有，,
，設，，對求導得．
當時，，所以，在上單調遞減．
則，即，所以為遞增數(shù)列，A選項正確．
由上述分析可知，所以不存在，使得，B選項錯誤．
要證，即證．
設，，對求導得．
令，求導得，當時，，
所以在上單調遞減．則，
所以在上單調遞增．
所以，即，
所以，，C選項正確.
由選項C知，移項可得，
兩邊同時乘以得.
兩邊同時取倒數(shù)得，移項可得.
因為，所以，即.
利用累加法：
.
已知，則，所以，兩邊同時取倒數(shù)得，
移項可得，選項D正確.
故選：ACD.
10．ACD
【分析】利用給定的前項和求出，再結合等差數(shù)列、等比數(shù)列定義及并項求和法逐項判斷.
【詳解】由，，得，而滿足上式，
因此數(shù)列的通項公式為，
對于A，，A正確；
對于B，，，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，B錯誤；
對于C，，，數(shù)列是公比為4的等比數(shù)列，C正確；
對于D，令，，數(shù)列前2025項和為
，D正確.
故選：ACD
11．AC
【分析】根據(jù)歐拉函數(shù)的定義，即可判斷A，利用列舉特殊項法，即可判斷B，利用歐拉函數(shù)的定義，列舉求，根據(jù)等比數(shù)列的定義，即可判斷C，根據(jù)C的結果，即可判斷D.
【詳解】A.12與1,5,7,11均互質，所以，17與1,2,3,4,5,…,13,14,15,16均互質，所以，所以，故A正確；
B.7與1,2,3,4,5,6互質，則，9與1,2,4,5,7,8互質，所以，，所以數(shù)列不是單調遞增數(shù)列，故B錯誤；
C.設為質數(shù)，則小于等于的正整數(shù)中與互質的數(shù)為，
即每個數(shù)當中就有一個與不互質，所以互質的數(shù)的數(shù)目為,
故，所以為常數(shù)，
所以數(shù)列為等比數(shù)列，故C正確；
根據(jù)選項C可知，，數(shù)列的前5項和為，故D錯誤.
故選：AC.
12．
【分析】根據(jù)等比數(shù)列的知識化簡已知條件，從而求得正確答案.
【詳解】依題意，，即，
所以.
故答案為：
13．
【分析】由數(shù)列前項和求出數(shù)列通項，從而得到新的數(shù)列通項，然后利用裂項相消求得結果.
【詳解】當時，，
當時，，
當時，，
∴.
∴，
∴.
故答案為：.
14．
【分析】根據(jù)題意成等比數(shù)列，由等差數(shù)列的通項公式可得：，解可得，即可得數(shù)列的通項公式，進而可得，又由等比數(shù)列的通項公式可得：，進而可得，結合為正整數(shù)，且均不是常數(shù)列，分析可得的值，即可得答案.
【詳解】根據(jù)題意，等差數(shù)列中，成等比數(shù)列，
則有，即，
則，則，
等比數(shù)列中，首項為，公比為正整數(shù)，
則，
又是整數(shù)，則是整數(shù)，
又由為正整數(shù)，則的值為.
且不是常數(shù)列
則的值為.
故答案為：
15．(1)，；
(2)
【分析】（1）設出公差和公比，根據(jù)條件得到方程組，求出公差和公比，得到通項公式；
（2），利用錯位相減法求和得到答案.
【詳解】（1）設公差為，公比為，
，故，，
，故，
聯(lián)立，解得或（舍去），
故，；
（2），設數(shù)列的前項和為，
則，①
，②
兩式①-②得，
所以.
16．(1)；
(2)90.
【分析】（1）利用累加法，結合分組求和法及等比數(shù)列前項和公式求解.
（2）求出并判斷單調性，求出所有非負數(shù)項的和即可.
【詳解】（1）依題意，當時，，則
，滿足上式，
所以的通項公式為.
（2）由（1）得，數(shù)列是遞減等差數(shù)列，
由，得，則數(shù)列前10項均為非負數(shù)，從第11項起為負數(shù)，
而，因此數(shù)列前10項和與前9項和相等，都最大，
所以數(shù)列的前項和的最大值為.
17．(1)；
(2)
【分析】（1）由，結合可得答案；
（2）由（1）可得時，，然后當，時，可得，其中為小于的最大整數(shù)，據(jù)此可得當，其中時，可得，最后由分組求和可得答案.
【詳解】（1），
則，因.則兩式相減得：.
又各項均為正數(shù)，則.
又時，，
則是以1為首項，公差為2的等差數(shù)列，
則，；
（2）由（1）時，
則.
則，，
當，設，
注意到
，其中為小于的最大整數(shù).
則當，其中時，
.
則當時，
.
又注意到時，.
則.
【點睛】關鍵點睛：對于較復雜數(shù)列的求和，可適當引入?yún)?shù)，也可適當分組，從而將較復雜數(shù)列轉化為已學習過數(shù)列的組合.
18．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由等差數(shù)列的性質可求出，進而可求得數(shù)列的公差，進而可求得數(shù)列的通項公式；
（2）當時，可求出的值，當時，由得，兩式作差可推導出數(shù)列為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項和公比，可得出數(shù)列的通項公式；
（3）利用錯位相減法可求出.
【詳解】（1）因為數(shù)列為等差數(shù)列，則，可得，
所以，數(shù)列的公差為，
故.
（2）當時，，解得，
當且時，由得，
上述兩個等式作差可得，可得，
所以，數(shù)列是首項和公比均為的等比數(shù)列，故.
（3）由（1）（2）可得，
所以，，
則，
上述兩個等式作差得
，
整理得.
19．(1)（?。?；（ⅱ）
(2)
【分析】（1）（i）根據(jù)條件，利用全概率公式，即可求解；（ii）由題知的可能取值為，利用古典概率公式求出相應取值對應的概率，即可求出分布列，再利用期望的計算公式，即可求解；
（2）根據(jù)條件，求出的分布列，進而求出，再利用錯位相減法，即可求解.
【詳解】（1）（i）設小王第次買到特別喜歡的款式為事件.
則小王第二次才買到特別喜歡的款式的概率為；
（ii）的可能取值為，
則，
所以的分布列為
1 2 19 20
則；
（2）記的可能取值為.
因為前6次（包含第6次）沒有保底，
則，其中，
，
所以的分布列為
1 2 6 7
則.
記，
則，
兩式相減，得
，
所以.
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