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湖南省岳陽(yáng)市岳陽(yáng)縣2023-2024學(xué)年七年級(jí)下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題
1．（2024七下·岳陽(yáng)期中）下列方程是二元一次方程的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A、該方程只含有1個(gè)未知數(shù)，不是二元一次方程，故本選項(xiàng)不合題意；
B、該方程中含有2個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)最高次數(shù)是2，故本選項(xiàng)不合題意；
C、該方程只含有1個(gè)未知數(shù)，不是二元一次方程，故本選項(xiàng)不合題意；
D、該方程中含有2個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1，屬于二元一次方程，故本選項(xiàng)符合題意；
故選：D．
【分析】
二元一次方程必須符合以下三個(gè)條件：（1）方程中只含有2個(gè)未知數(shù)；（2）含未知數(shù)項(xiàng)的最高次數(shù)為一次；（3）方程是整式方程．
2．（2024七下·岳陽(yáng)期中）下列各組解中，不是二元一次方程x+2y=5的解的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：A、當(dāng)x=1，y=2時(shí)，x+2y=1+4=5，所以A選項(xiàng)不符合題意；
B、當(dāng)x=6，y= -1時(shí)，x+2y=6-2=4≠5，所以B選項(xiàng)符合題意；
C、當(dāng)x=2，y=1.5時(shí)，x+2y=2+3=5，所以C選項(xiàng)不符合題意；
D、當(dāng)x=9，y= -2時(shí)，x+2y=9-4=5，所以D選項(xiàng)不符合題意．
故答案為：B．
【分析】 如果一個(gè)方程含有兩個(gè)未知數(shù)，并且所含未知項(xiàng)的次數(shù)都為1次，那么這個(gè)整式方程就叫做二元一次方程。根據(jù)二元一次方程的定義對(duì)每個(gè)選項(xiàng)一一判斷求解即可。
3．（2024七下·岳陽(yáng)期中）化簡(jiǎn) 的結(jié)果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】同底數(shù)冪的乘法
【解析】【解答】解：.
故答案為：D.
【分析】利用冪的乘方法則和同底數(shù)冪相乘的法則進(jìn)行計(jì)算.
4．（2024七下·岳陽(yáng)期中）下列運(yùn)算正確的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】同底數(shù)冪的乘法；完全平方公式及運(yùn)用；合并同類(lèi)項(xiàng)法則及應(yīng)用；冪的乘方運(yùn)算
【解析】【解答】解：A、，原式計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；
B、，原式計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；
C、，原式計(jì)算正確，符合題意；
D、，原式計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；
故選：C．
【分析】
A、
B、
C、
D、合并同類(lèi)項(xiàng)，只把系數(shù)相加減，字母與字母的指數(shù)都不變．
5．（2024七下·岳陽(yáng)期中）運(yùn)用乘法公式計(jì)算的正確結(jié)果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】完全平方公式及運(yùn)用
【解析】【解答】解：依題意，，
故選：C．
【分析】
．
6．（2024七下·岳陽(yáng)期中）已知，是方程的一個(gè)解，則m的值為（　　）
A．3 B． C． D．12
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：∵，是方程的一個(gè)解，
∴，
∴，
故選：A．
【分析】
由于二元一次方程的解是使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，把，代入原方程即可求出的值．
7．（2024七下·岳陽(yáng)期中）若是完全平方式，則a的值應(yīng)是（　　）
A． B． C．9 D．
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】完全平方式
【解析】【解答】解：∵是完全平方式，
∴
即
故選：C
【分析】
．
8．（2024七下·岳陽(yáng)期中）下列式子中，不能用平方差公式運(yùn)算的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】完全平方公式及運(yùn)用；平方差公式及應(yīng)用
【解析】【解答】解：A、，故能用平方差公式運(yùn)算，該選項(xiàng)是不符合題意的；
B、，故能用平方差公式運(yùn)算，該選項(xiàng)是不符合題意的；
C、，故能用平方差公式運(yùn)算，該選項(xiàng)是不符合題意的；
D、，運(yùn)用完全平方公式，不能運(yùn)用平方差公式運(yùn)算，該選項(xiàng)是符合題意的.
故答案為：D.
【分析】?jī)蓚€(gè)二項(xiàng)式中有一項(xiàng)完全相同，另一項(xiàng)互為相反數(shù)，這樣的兩個(gè)二項(xiàng)式相乘可以使用平方差公式，據(jù)此一一判斷得出答案.
9．（2024七下·岳陽(yáng)期中）下列各式中，不能用完全平方公式分解因式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：A、，能用完全平方公式分解因式，不符合題意；
B、不能用完全平方公式分解因式，符合題意；
C、，能用完全平方公式分解因式，不符合題意；
D、，能用完全平方公式分解因式，不符合題意；
故選：B．
【分析】
，其中和可以是數(shù)字，也可以是代數(shù)式．
10．（2024七下·岳陽(yáng)期中）問(wèn)題：聰明的你知道代數(shù)式的最小值為多少嗎？解：因?yàn)椋忠驗(yàn)椋裕缘淖钚≈禐?．請(qǐng)用上述方法，解決代數(shù)式的最小值為（　　）
A．3 B． C．6 D．
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】配方法的應(yīng)用
【解析】【解答】解：依題意，，
∵，
∴，
∴所以的最小值為，
故選：B．
【分析】
利用完全平方公式的非負(fù)性，可把一個(gè)二次三項(xiàng)式表示成一個(gè)完全平方式與一個(gè)常數(shù)和的形式，其關(guān)鍵是把常數(shù)項(xiàng)拆成兩個(gè)常數(shù)，并使其中一個(gè)常數(shù)恰好與前面的二次項(xiàng)與一次項(xiàng)能湊成一個(gè)完全平方公式．
11．（2024七下·岳陽(yáng)期中）請(qǐng)你寫(xiě)出一個(gè)以為解的一個(gè)二元一次方程組：　 　
【答案】（答案不唯一）
【知識(shí)點(diǎn)】列二元一次方程組
【解析】【解答】解：由題意得，滿(mǎn)足題意得方程組可以為，
故答案為：（答案不唯一）．
【分析】
由二元一次方程組的解的概念，只需要寫(xiě)出兩個(gè)解為的二元一次方程即可．
12．（2024七下·岳陽(yáng)期中）方程2x﹣y＝7，用含x的代數(shù)式表示y為 　 　．
【答案】y＝2x﹣7
【知識(shí)點(diǎn)】代入消元法解二元一次方程組
【解析】【解答】解：方程2x﹣y＝7，
移項(xiàng)得：﹣y＝－2x＋7，
系數(shù)化為1得：y＝2x﹣7．
故答案為：y＝2x﹣7．
【分析】
把x看作常數(shù)解關(guān)于y的一元一次方程即可．
13．（2024七下·岳陽(yáng)期中）計(jì)算：　 　．
【答案】2
【知識(shí)點(diǎn)】?jī)绲某朔竭\(yùn)算；同底數(shù)冪乘法的逆用；積的乘方運(yùn)算的逆用
【解析】【解答】解：
．
故答案為：2．
【分析】
先利用冪的乘方運(yùn)算的逆運(yùn)算把變成，再利用同底數(shù)冪的乘法的逆運(yùn)算把變成的形式，再利用積的乘方的逆運(yùn)算即可．
14．（2024七下·岳陽(yáng)期中）計(jì)算：　 　．
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】整式的混合運(yùn)算
【解析】【解答】解：
，
故答案為：．
【分析】
整式的混合運(yùn)算順序是先乘方，再乘除，最后加減；運(yùn)算時(shí)要準(zhǔn)確應(yīng)用乘法分配律，并對(duì)展開(kāi)的結(jié)果合并同類(lèi)項(xiàng)．
15．（2024七下·岳陽(yáng)期中）若多項(xiàng)式是完全平方式，則k的值為　 　．
【答案】或12
【知識(shí)點(diǎn)】完全平方式
【解析】【解答】解：多項(xiàng)式是完全平方式，
∴，
∴，
∴或，
故答案為：或12．
【分析】
完全平方公式的特點(diǎn)是兩數(shù)的平方和加上或減去這兩數(shù)乘積的2倍，因此的值有兩個(gè)，且是一對(duì)相反數(shù)，即的值也有兩個(gè)．
16．（2024七下·岳陽(yáng)期中）已知，，，試比較a，b，c的大小并用“”把它們連接起來(lái)：　 　．
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】?jī)绲某朔竭\(yùn)算
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
故答案為：．
【分析】
由于27是3的立方，9是3的平方，因此可利用冪的乘方的逆運(yùn)算將冪和的底數(shù)都轉(zhuǎn)化成3，再直接比較指數(shù)即可．
17．（2024七下·岳陽(yáng)期中）若，則　 　．
【答案】4
【知識(shí)點(diǎn)】完全平方公式及運(yùn)用；偶次方的非負(fù)性
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案為：4．
【分析】
把常數(shù)項(xiàng)10拆解成1與9的和，則恰好能得到兩個(gè)完全平方公式，由于完全平方式都是非負(fù)數(shù)，則當(dāng)兩個(gè)非負(fù)數(shù)和為0時(shí)每一個(gè)非負(fù)數(shù)都為0，則可分別得出和的值，則可求．
18．（2024七下·岳陽(yáng)期中）在對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解時(shí)，M同學(xué)看錯(cuò)了b，分解為；N同學(xué)看錯(cuò)了a，分解為．（兩人后面因式分解沒(méi)有錯(cuò)誤），則　 　，　 　．
【答案】6；9
【知識(shí)點(diǎn)】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：依題意，由甲的結(jié)果得：，
由乙的結(jié)果得：，
可得，，
故答案為：．
【分析】
由于相同字母的兩個(gè)一次二項(xiàng)式的積等于二次三項(xiàng)式，即；因此對(duì)于M同學(xué)而言，一次項(xiàng)系數(shù)a是正確的，即a的值是2與4的和；同理，對(duì)于N同學(xué)而言，常數(shù)項(xiàng)b是正確的，即b的值是與的乘積9．
19．（2024七下·岳陽(yáng)期中）解方程組
（1）（用代入法）；
（2）（用加減法）．
【答案】（1）解：由①得：，
把③代入②得：，解得，
把代入③得：，
∴方程組的解為；
（2）解：得：，
把代入①得：，解得，
∴方程組的解為．
【知識(shí)點(diǎn)】代入消元法解二元一次方程組；加減消元法解二元一次方程組
【解析】【分析】
（1）解二元一次方程組時(shí)，當(dāng)其中一個(gè)方程中某一未知數(shù)恰好用另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式時(shí)，可直接利用代入消元法求解；
（2）解二元一次方程組時(shí)，當(dāng)其中一個(gè)方程中某一未知數(shù)的系數(shù)恰好是另一個(gè)方程中對(duì)應(yīng)未知數(shù)系數(shù)的整數(shù)倍時(shí)，可給另一個(gè)方程擴(kuò)大適當(dāng)?shù)谋稊?shù)再應(yīng)用加減消元法求解．
20．（2024七下·岳陽(yáng)期中）因式分解
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：；
（2）解：．
【知識(shí)點(diǎn)】因式分解﹣提公因式法；因式分解-完全平方公式
【解析】【分析】本題考查了提取公因式以及公式法進(jìn)行因式分解，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．
（1）進(jìn)行提取公因式，即可作答．
（2）運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行分解因式，即可作答．
21．（2024七下·岳陽(yáng)期中）計(jì)算（第1小題用簡(jiǎn)便方法計(jì)算，第2小題先化簡(jiǎn)再求值）
（1）；
（2），其中，．
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
，
把，代入，可得，
原式
．
【知識(shí)點(diǎn)】平方差公式及應(yīng)用；利用整式的混合運(yùn)算化簡(jiǎn)求值
【解析】【分析】
（1）由于603和597可轉(zhuǎn)化成600與3的和與差，可直接利用平方差公式進(jìn)行簡(jiǎn)化運(yùn)算；
（2）先利用整式的混合運(yùn)算法則對(duì)整式進(jìn)行化簡(jiǎn)，化簡(jiǎn)時(shí)先準(zhǔn)確運(yùn)用多項(xiàng)式的乘法及乘法分配律，并對(duì)結(jié)果中出現(xiàn)的同類(lèi)項(xiàng)進(jìn)行合并，最后再代入字母的值進(jìn)行計(jì)算．
22．（2024七下·岳陽(yáng)期中）我們知道多項(xiàng)式的乘法可以利用圖形的面積進(jìn)行解釋?zhuān)缇湍苡脠D1圖形的面積表示．
（1）請(qǐng)你寫(xiě)出圖2所表示的一個(gè)等式：______
（2）請(qǐng)你畫(huà)出一個(gè)圖形，使它的面積能表示：．
【答案】（1）
（2）解：∵∴
如圖所示：
【知識(shí)點(diǎn)】多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式
【解析】【解答】
（1）
解：依題意，∵大正方形的面積等于每個(gè)部分的面積之和，
∴，
即；
【分析】
（1）觀察圖形，運(yùn)用等面積法建立等式即可．
（2）同上，運(yùn)用等面積法建立等式，再進(jìn)行作圖即可．
23．（2024七下·岳陽(yáng)期中）已知，，求：
（1）的值；
（2）的值；
（3）的值．
【答案】（1）解：∵，∴原式；
（2）解：∵，，∴原式；
（3）解：∵，，∴原式．
【知識(shí)點(diǎn)】同底數(shù)冪乘法的逆用；冪的乘方的逆運(yùn)算
【解析】【分析】
（1）應(yīng)用同底數(shù)乘法的逆運(yùn)算即可，即：；
（2）應(yīng)用冪的乘方的逆運(yùn)算即可，即：；
（3）綜合運(yùn)用冪的乘方的逆運(yùn)算和同底數(shù)乘法的逆運(yùn)算即可．
24．（2024七下·岳陽(yáng)期中）某中學(xué)七年級(jí)（1）班去體育用品商店買(mǎi)一些籃球和排球，供班上同學(xué)進(jìn)行體育鍛煉時(shí)使用，共買(mǎi)了2個(gè)籃球和6個(gè)排球，花570元，并且每個(gè)排球比籃球便宜25元．
（1）求籃球和排球的單價(jià)各是多少；
（2）商店里搞活動(dòng)，有兩種套餐，①套餐打折：五個(gè)籃球和五個(gè)排球?yàn)橐惶撞停撞痛虬苏郏虎跐M(mǎn)減活動(dòng)：滿(mǎn)999減100，滿(mǎn)1999減200；兩種活動(dòng)不重復(fù)參與，學(xué)校打算購(gòu)買(mǎi)14個(gè)籃球，12個(gè)排球，請(qǐng)問(wèn)如何安排更劃算？
【答案】（1）解：設(shè)籃球單價(jià)為每個(gè) 元，排球單價(jià)為每個(gè) 元，
由題意可得 ，
解方程組得 ，
答：籃球每個(gè)90元，排球每個(gè)65元；
（2）解：若按照①套餐打折購(gòu)買(mǎi)費(fèi)用為： （元 ，
若參加②滿(mǎn)減活動(dòng)購(gòu)買(mǎi)費(fèi)用為： （元 ，
又 ，
所以 （元 ．
而 ，所以選擇套餐①所花費(fèi)用比選擇套餐②所花費(fèi)用低．
答：選用套餐①購(gòu)買(mǎi)更劃算．
【知識(shí)點(diǎn)】二元一次方程組的其他應(yīng)用
【解析】【分析】（1）設(shè)籃球單價(jià)為每個(gè)x元，排球單價(jià)為每個(gè)y 元，根據(jù)題意列出方程組，解方程組求出x，y的值，即可得出答案；
（2）分別求出方案①和方案②購(gòu)買(mǎi)的費(fèi)用，再進(jìn)行比較，即可得出答案.
25．（2024七下·岳陽(yáng)期中）閱讀下列材料：某同學(xué)在計(jì)算時(shí)，把3寫(xiě)成后，發(fā)現(xiàn)可以連續(xù)運(yùn)用平方差公式計(jì)算：．他很受啟發(fā)．后來(lái)在求時(shí)，聯(lián)想到“湊成”平方差公式，改造此法：將乘積式前面乘1，并且把1寫(xiě)成得：．
解答問(wèn)題：
（1）計(jì)算：；
（2）化簡(jiǎn)：．
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：當(dāng)時(shí)，
原式
當(dāng)時(shí)，
原式
．
綜上：當(dāng)時(shí)，原式，當(dāng)時(shí)，原式．
【知識(shí)點(diǎn)】平方差公式及應(yīng)用；探索數(shù)與式的規(guī)律
【解析】【分析】
（1）由于可表示成，此時(shí)恰好與第二個(gè)因式構(gòu)成平方差公式，其結(jié)果與后面的因式又構(gòu)成平方差公式，依次類(lèi)推即可．
（2）進(jìn)行分類(lèi)討論，當(dāng)時(shí)，直接變成同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算；當(dāng)時(shí)，利用湊項(xiàng)法先給算式乘以可利用平方差公式先求出結(jié)果，為保證原式值不變，再給積的結(jié)果除以即可．
26．（2024七下·岳陽(yáng)期中）如圖，大長(zhǎng)方形是由三個(gè)小長(zhǎng)方形和一個(gè)小正方形拼成的．
觀察猜想：請(qǐng)根據(jù)此圖填空：（______）（______）．
說(shuō)理驗(yàn)證：事實(shí)上，我們也可以用如下代數(shù)方法進(jìn)行變形：
（______）（______）（提示：提公因式）（______）（______）．
于是，我們可以利用此方法進(jìn)行多項(xiàng)式的因式分解．
嘗試運(yùn)用：例題：把多項(xiàng)式因式分解．
請(qǐng)利用上述方法將下列多項(xiàng)式因式分解：
（1）；
（2）．
【答案】觀察猜想：，；說(shuō)理驗(yàn)證：，，，；
解：（1）
；
（2）
．
【知識(shí)點(diǎn)】因式分解的應(yīng)用；因式分解﹣十字相乘法；因式分解-分組分解法；猜想與證明
【解析】【解答】解；觀察猜想：由圖可知四個(gè)小長(zhǎng)方形的面積之和等于大長(zhǎng)方形的面積，即，
故答案誒：；
說(shuō)理驗(yàn)證：由題意得，
故答案為：，，，；
【分析】觀察猜想：由圖可知四個(gè)小長(zhǎng)方形的面積之和等于大長(zhǎng)方形的面積，結(jié)合小長(zhǎng)方形的面積公式計(jì)算即可求解；
說(shuō)理驗(yàn)證：先提取公因式x和q分組分解因式，再提取公因式進(jìn)行分解因式即可；
（1）仿照題意分解因式即可求解；
（2）把看作一個(gè)整體，仿照題意分解因式即可求解．
1 / 1湖南省岳陽(yáng)市岳陽(yáng)縣2023-2024學(xué)年七年級(jí)下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題
1．（2024七下·岳陽(yáng)期中）下列方程是二元一次方程的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024七下·岳陽(yáng)期中）下列各組解中，不是二元一次方程x+2y=5的解的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024七下·岳陽(yáng)期中）化簡(jiǎn) 的結(jié)果是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024七下·岳陽(yáng)期中）下列運(yùn)算正確的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2024七下·岳陽(yáng)期中）運(yùn)用乘法公式計(jì)算的正確結(jié)果是（　　）
A． B． C． D．
6．（2024七下·岳陽(yáng)期中）已知，是方程的一個(gè)解，則m的值為（　　）
A．3 B． C． D．12
7．（2024七下·岳陽(yáng)期中）若是完全平方式，則a的值應(yīng)是（　　）
A． B． C．9 D．
8．（2024七下·岳陽(yáng)期中）下列式子中，不能用平方差公式運(yùn)算的是（　　）
A． B． C． D．
9．（2024七下·岳陽(yáng)期中）下列各式中，不能用完全平方公式分解因式的是（　　）
A． B． C． D．
10．（2024七下·岳陽(yáng)期中）問(wèn)題：聰明的你知道代數(shù)式的最小值為多少嗎？解：因?yàn)椋忠驗(yàn)椋裕缘淖钚≈禐?．請(qǐng)用上述方法，解決代數(shù)式的最小值為（　　）
A．3 B． C．6 D．
11．（2024七下·岳陽(yáng)期中）請(qǐng)你寫(xiě)出一個(gè)以為解的一個(gè)二元一次方程組：　 　
12．（2024七下·岳陽(yáng)期中）方程2x﹣y＝7，用含x的代數(shù)式表示y為 　 　．
13．（2024七下·岳陽(yáng)期中）計(jì)算：　 　．
14．（2024七下·岳陽(yáng)期中）計(jì)算：　 　．
15．（2024七下·岳陽(yáng)期中）若多項(xiàng)式是完全平方式，則k的值為　 　．
16．（2024七下·岳陽(yáng)期中）已知，，，試比較a，b，c的大小并用“”把它們連接起來(lái)：　 　．
17．（2024七下·岳陽(yáng)期中）若，則　 　．
18．（2024七下·岳陽(yáng)期中）在對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解時(shí)，M同學(xué)看錯(cuò)了b，分解為；N同學(xué)看錯(cuò)了a，分解為．（兩人后面因式分解沒(méi)有錯(cuò)誤），則　 　，　 　．
19．（2024七下·岳陽(yáng)期中）解方程組
（1）（用代入法）；
（2）（用加減法）．
20．（2024七下·岳陽(yáng)期中）因式分解
（1）；
（2）．
21．（2024七下·岳陽(yáng)期中）計(jì)算（第1小題用簡(jiǎn)便方法計(jì)算，第2小題先化簡(jiǎn)再求值）
（1）；
（2），其中，．
22．（2024七下·岳陽(yáng)期中）我們知道多項(xiàng)式的乘法可以利用圖形的面積進(jìn)行解釋?zhuān)缇湍苡脠D1圖形的面積表示．
（1）請(qǐng)你寫(xiě)出圖2所表示的一個(gè)等式：______
（2）請(qǐng)你畫(huà)出一個(gè)圖形，使它的面積能表示：．
23．（2024七下·岳陽(yáng)期中）已知，，求：
（1）的值；
（2）的值；
（3）的值．
24．（2024七下·岳陽(yáng)期中）某中學(xué)七年級(jí)（1）班去體育用品商店買(mǎi)一些籃球和排球，供班上同學(xué)進(jìn)行體育鍛煉時(shí)使用，共買(mǎi)了2個(gè)籃球和6個(gè)排球，花570元，并且每個(gè)排球比籃球便宜25元．
（1）求籃球和排球的單價(jià)各是多少；
（2）商店里搞活動(dòng)，有兩種套餐，①套餐打折：五個(gè)籃球和五個(gè)排球?yàn)橐惶撞停撞痛虬苏郏虎跐M(mǎn)減活動(dòng)：滿(mǎn)999減100，滿(mǎn)1999減200；兩種活動(dòng)不重復(fù)參與，學(xué)校打算購(gòu)買(mǎi)14個(gè)籃球，12個(gè)排球，請(qǐng)問(wèn)如何安排更劃算？
25．（2024七下·岳陽(yáng)期中）閱讀下列材料：某同學(xué)在計(jì)算時(shí)，把3寫(xiě)成后，發(fā)現(xiàn)可以連續(xù)運(yùn)用平方差公式計(jì)算：．他很受啟發(fā)．后來(lái)在求時(shí)，聯(lián)想到“湊成”平方差公式，改造此法：將乘積式前面乘1，并且把1寫(xiě)成得：．
解答問(wèn)題：
（1）計(jì)算：；
（2）化簡(jiǎn)：．
26．（2024七下·岳陽(yáng)期中）如圖，大長(zhǎng)方形是由三個(gè)小長(zhǎng)方形和一個(gè)小正方形拼成的．
觀察猜想：請(qǐng)根據(jù)此圖填空：（______）（______）．
說(shuō)理驗(yàn)證：事實(shí)上，我們也可以用如下代數(shù)方法進(jìn)行變形：
（______）（______）（提示：提公因式）（______）（______）．
于是，我們可以利用此方法進(jìn)行多項(xiàng)式的因式分解．
嘗試運(yùn)用：例題：把多項(xiàng)式因式分解．
請(qǐng)利用上述方法將下列多項(xiàng)式因式分解：
（1）；
（2）．
答案解析部分
1．【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A、該方程只含有1個(gè)未知數(shù)，不是二元一次方程，故本選項(xiàng)不合題意；
B、該方程中含有2個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)最高次數(shù)是2，故本選項(xiàng)不合題意；
C、該方程只含有1個(gè)未知數(shù)，不是二元一次方程，故本選項(xiàng)不合題意；
D、該方程中含有2個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1，屬于二元一次方程，故本選項(xiàng)符合題意；
故選：D．
【分析】
二元一次方程必須符合以下三個(gè)條件：（1）方程中只含有2個(gè)未知數(shù)；（2）含未知數(shù)項(xiàng)的最高次數(shù)為一次；（3）方程是整式方程．
2．【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：A、當(dāng)x=1，y=2時(shí)，x+2y=1+4=5，所以A選項(xiàng)不符合題意；
B、當(dāng)x=6，y= -1時(shí)，x+2y=6-2=4≠5，所以B選項(xiàng)符合題意；
C、當(dāng)x=2，y=1.5時(shí)，x+2y=2+3=5，所以C選項(xiàng)不符合題意；
D、當(dāng)x=9，y= -2時(shí)，x+2y=9-4=5，所以D選項(xiàng)不符合題意．
故答案為：B．
【分析】 如果一個(gè)方程含有兩個(gè)未知數(shù)，并且所含未知項(xiàng)的次數(shù)都為1次，那么這個(gè)整式方程就叫做二元一次方程。根據(jù)二元一次方程的定義對(duì)每個(gè)選項(xiàng)一一判斷求解即可。
3．【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】同底數(shù)冪的乘法
【解析】【解答】解：.
故答案為：D.
【分析】利用冪的乘方法則和同底數(shù)冪相乘的法則進(jìn)行計(jì)算.
4．【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】同底數(shù)冪的乘法；完全平方公式及運(yùn)用；合并同類(lèi)項(xiàng)法則及應(yīng)用；冪的乘方運(yùn)算
【解析】【解答】解：A、，原式計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；
B、，原式計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；
C、，原式計(jì)算正確，符合題意；
D、，原式計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；
故選：C．
【分析】
A、
B、
C、
D、合并同類(lèi)項(xiàng)，只把系數(shù)相加減，字母與字母的指數(shù)都不變．
5．【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】完全平方公式及運(yùn)用
【解析】【解答】解：依題意，，
故選：C．
【分析】
．
6．【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：∵，是方程的一個(gè)解，
∴，
∴，
故選：A．
【分析】
由于二元一次方程的解是使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，把，代入原方程即可求出的值．
7．【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】完全平方式
【解析】【解答】解：∵是完全平方式，
∴
即
故選：C
【分析】
．
8．【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】完全平方公式及運(yùn)用；平方差公式及應(yīng)用
【解析】【解答】解：A、，故能用平方差公式運(yùn)算，該選項(xiàng)是不符合題意的；
B、，故能用平方差公式運(yùn)算，該選項(xiàng)是不符合題意的；
C、，故能用平方差公式運(yùn)算，該選項(xiàng)是不符合題意的；
D、，運(yùn)用完全平方公式，不能運(yùn)用平方差公式運(yùn)算，該選項(xiàng)是符合題意的.
故答案為：D.
【分析】?jī)蓚€(gè)二項(xiàng)式中有一項(xiàng)完全相同，另一項(xiàng)互為相反數(shù)，這樣的兩個(gè)二項(xiàng)式相乘可以使用平方差公式，據(jù)此一一判斷得出答案.
9．【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：A、，能用完全平方公式分解因式，不符合題意；
B、不能用完全平方公式分解因式，符合題意；
C、，能用完全平方公式分解因式，不符合題意；
D、，能用完全平方公式分解因式，不符合題意；
故選：B．
【分析】
，其中和可以是數(shù)字，也可以是代數(shù)式．
10．【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】配方法的應(yīng)用
【解析】【解答】解：依題意，，
∵，
∴，
∴所以的最小值為，
故選：B．
【分析】
利用完全平方公式的非負(fù)性，可把一個(gè)二次三項(xiàng)式表示成一個(gè)完全平方式與一個(gè)常數(shù)和的形式，其關(guān)鍵是把常數(shù)項(xiàng)拆成兩個(gè)常數(shù)，并使其中一個(gè)常數(shù)恰好與前面的二次項(xiàng)與一次項(xiàng)能湊成一個(gè)完全平方公式．
11．【答案】（答案不唯一）
【知識(shí)點(diǎn)】列二元一次方程組
【解析】【解答】解：由題意得，滿(mǎn)足題意得方程組可以為，
故答案為：（答案不唯一）．
【分析】
由二元一次方程組的解的概念，只需要寫(xiě)出兩個(gè)解為的二元一次方程即可．
12．【答案】y＝2x﹣7
【知識(shí)點(diǎn)】代入消元法解二元一次方程組
【解析】【解答】解：方程2x﹣y＝7，
移項(xiàng)得：﹣y＝－2x＋7，
系數(shù)化為1得：y＝2x﹣7．
故答案為：y＝2x﹣7．
【分析】
把x看作常數(shù)解關(guān)于y的一元一次方程即可．
13．【答案】2
【知識(shí)點(diǎn)】?jī)绲某朔竭\(yùn)算；同底數(shù)冪乘法的逆用；積的乘方運(yùn)算的逆用
【解析】【解答】解：
．
故答案為：2．
【分析】
先利用冪的乘方運(yùn)算的逆運(yùn)算把變成，再利用同底數(shù)冪的乘法的逆運(yùn)算把變成的形式，再利用積的乘方的逆運(yùn)算即可．
14．【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】整式的混合運(yùn)算
【解析】【解答】解：
，
故答案為：．
【分析】
整式的混合運(yùn)算順序是先乘方，再乘除，最后加減；運(yùn)算時(shí)要準(zhǔn)確應(yīng)用乘法分配律，并對(duì)展開(kāi)的結(jié)果合并同類(lèi)項(xiàng)．
15．【答案】或12
【知識(shí)點(diǎn)】完全平方式
【解析】【解答】解：多項(xiàng)式是完全平方式，
∴，
∴，
∴或，
故答案為：或12．
【分析】
完全平方公式的特點(diǎn)是兩數(shù)的平方和加上或減去這兩數(shù)乘積的2倍，因此的值有兩個(gè)，且是一對(duì)相反數(shù)，即的值也有兩個(gè)．
16．【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】?jī)绲某朔竭\(yùn)算
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
故答案為：．
【分析】
由于27是3的立方，9是3的平方，因此可利用冪的乘方的逆運(yùn)算將冪和的底數(shù)都轉(zhuǎn)化成3，再直接比較指數(shù)即可．
17．【答案】4
【知識(shí)點(diǎn)】完全平方公式及運(yùn)用；偶次方的非負(fù)性
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案為：4．
【分析】
把常數(shù)項(xiàng)10拆解成1與9的和，則恰好能得到兩個(gè)完全平方公式，由于完全平方式都是非負(fù)數(shù)，則當(dāng)兩個(gè)非負(fù)數(shù)和為0時(shí)每一個(gè)非負(fù)數(shù)都為0，則可分別得出和的值，則可求．
18．【答案】6；9
【知識(shí)點(diǎn)】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：依題意，由甲的結(jié)果得：，
由乙的結(jié)果得：，
可得，，
故答案為：．
【分析】
由于相同字母的兩個(gè)一次二項(xiàng)式的積等于二次三項(xiàng)式，即；因此對(duì)于M同學(xué)而言，一次項(xiàng)系數(shù)a是正確的，即a的值是2與4的和；同理，對(duì)于N同學(xué)而言，常數(shù)項(xiàng)b是正確的，即b的值是與的乘積9．
19．【答案】（1）解：由①得：，
把③代入②得：，解得，
把代入③得：，
∴方程組的解為；
（2）解：得：，
把代入①得：，解得，
∴方程組的解為．
【知識(shí)點(diǎn)】代入消元法解二元一次方程組；加減消元法解二元一次方程組
【解析】【分析】
（1）解二元一次方程組時(shí)，當(dāng)其中一個(gè)方程中某一未知數(shù)恰好用另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式時(shí)，可直接利用代入消元法求解；
（2）解二元一次方程組時(shí)，當(dāng)其中一個(gè)方程中某一未知數(shù)的系數(shù)恰好是另一個(gè)方程中對(duì)應(yīng)未知數(shù)系數(shù)的整數(shù)倍時(shí)，可給另一個(gè)方程擴(kuò)大適當(dāng)?shù)谋稊?shù)再應(yīng)用加減消元法求解．
20．【答案】（1）解：；
（2）解：．
【知識(shí)點(diǎn)】因式分解﹣提公因式法；因式分解-完全平方公式
【解析】【分析】本題考查了提取公因式以及公式法進(jìn)行因式分解，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．
（1）進(jìn)行提取公因式，即可作答．
（2）運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行分解因式，即可作答．
21．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
，
把，代入，可得，
原式
．
【知識(shí)點(diǎn)】平方差公式及應(yīng)用；利用整式的混合運(yùn)算化簡(jiǎn)求值
【解析】【分析】
（1）由于603和597可轉(zhuǎn)化成600與3的和與差，可直接利用平方差公式進(jìn)行簡(jiǎn)化運(yùn)算；
（2）先利用整式的混合運(yùn)算法則對(duì)整式進(jìn)行化簡(jiǎn)，化簡(jiǎn)時(shí)先準(zhǔn)確運(yùn)用多項(xiàng)式的乘法及乘法分配律，并對(duì)結(jié)果中出現(xiàn)的同類(lèi)項(xiàng)進(jìn)行合并，最后再代入字母的值進(jìn)行計(jì)算．
22．【答案】（1）
（2）解：∵∴
如圖所示：
【知識(shí)點(diǎn)】多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式
【解析】【解答】
（1）
解：依題意，∵大正方形的面積等于每個(gè)部分的面積之和，
∴，
即；
【分析】
（1）觀察圖形，運(yùn)用等面積法建立等式即可．
（2）同上，運(yùn)用等面積法建立等式，再進(jìn)行作圖即可．
23．【答案】（1）解：∵，∴原式；
（2）解：∵，，∴原式；
（3）解：∵，，∴原式．
【知識(shí)點(diǎn)】同底數(shù)冪乘法的逆用；冪的乘方的逆運(yùn)算
【解析】【分析】
（1）應(yīng)用同底數(shù)乘法的逆運(yùn)算即可，即：；
（2）應(yīng)用冪的乘方的逆運(yùn)算即可，即：；
（3）綜合運(yùn)用冪的乘方的逆運(yùn)算和同底數(shù)乘法的逆運(yùn)算即可．
24．【答案】（1）解：設(shè)籃球單價(jià)為每個(gè) 元，排球單價(jià)為每個(gè) 元，
由題意可得 ，
解方程組得 ，
答：籃球每個(gè)90元，排球每個(gè)65元；
（2）解：若按照①套餐打折購(gòu)買(mǎi)費(fèi)用為： （元 ，
若參加②滿(mǎn)減活動(dòng)購(gòu)買(mǎi)費(fèi)用為： （元 ，
又 ，
所以 （元 ．
而 ，所以選擇套餐①所花費(fèi)用比選擇套餐②所花費(fèi)用低．
答：選用套餐①購(gòu)買(mǎi)更劃算．
【知識(shí)點(diǎn)】二元一次方程組的其他應(yīng)用
【解析】【分析】（1）設(shè)籃球單價(jià)為每個(gè)x元，排球單價(jià)為每個(gè)y 元，根據(jù)題意列出方程組，解方程組求出x，y的值，即可得出答案；
（2）分別求出方案①和方案②購(gòu)買(mǎi)的費(fèi)用，再進(jìn)行比較，即可得出答案.
25．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：當(dāng)時(shí)，
原式
當(dāng)時(shí)，
原式
．
綜上：當(dāng)時(shí)，原式，當(dāng)時(shí)，原式．
【知識(shí)點(diǎn)】平方差公式及應(yīng)用；探索數(shù)與式的規(guī)律
【解析】【分析】
（1）由于可表示成，此時(shí)恰好與第二個(gè)因式構(gòu)成平方差公式，其結(jié)果與后面的因式又構(gòu)成平方差公式，依次類(lèi)推即可．
（2）進(jìn)行分類(lèi)討論，當(dāng)時(shí)，直接變成同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算；當(dāng)時(shí)，利用湊項(xiàng)法先給算式乘以可利用平方差公式先求出結(jié)果，為保證原式值不變，再給積的結(jié)果除以即可．
26．【答案】觀察猜想：，；說(shuō)理驗(yàn)證：，，，；
解：（1）
；
（2）
．
【知識(shí)點(diǎn)】因式分解的應(yīng)用；因式分解﹣十字相乘法；因式分解-分組分解法；猜想與證明
【解析】【解答】解；觀察猜想：由圖可知四個(gè)小長(zhǎng)方形的面積之和等于大長(zhǎng)方形的面積，即，
故答案誒：；
說(shuō)理驗(yàn)證：由題意得，
故答案為：，，，；
【分析】觀察猜想：由圖可知四個(gè)小長(zhǎng)方形的面積之和等于大長(zhǎng)方形的面積，結(jié)合小長(zhǎng)方形的面積公式計(jì)算即可求解；
說(shuō)理驗(yàn)證：先提取公因式x和q分組分解因式，再提取公因式進(jìn)行分解因式即可；
（1）仿照題意分解因式即可求解；
（2）把看作一個(gè)整體，仿照題意分解因式即可求解．
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