資源簡介

2024-2025學年北京市海淀區第二十中學九年級下學期4月中考模擬
數學試卷
一、選擇題：本題共8小題，每小題3分，共24分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.年，我國共授權發明專利萬件，同比增長將用科學記數法表示應為( )
A. B. C. D.
2.下列幾何體放置在水平面上，其中俯視圖是三角形的幾何體為( )
A. B. C. D.
3.如圖，，，則的大小為( )
A. B. C. D.
4.若，則下列結論正確的是( )
A. B. C. D.
5.關于的方程有實數根，那么的可能值是( )
A. B. C. 或 D. 或
6.先后兩次拋擲同一枚質地均勻的硬幣，則第一次正面向上、第二次反面向上的概率是( )
A. B. C. D.
7.如圖，已知，求作：，使．
作法：以點為圓心，任意長為半徑作，分別交，于點，，連接；
以為圓心，的長為半徑作弧，交于點，連接，；
作射線，即為所求作的角．下列結論正確的是( )
A. 的依據是兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等
B.
C.
D. 是等腰三角形
8.如圖，正方形邊長為，點是正方形內一點，滿足，連接給出下面四個結論：；；的度數最大值為；當時，上述結論中，所有正確結論的序號為( )
A. B. C. D.
二、填空題：本題共8小題，每小題3分，共24分。
9.若在實數范圍內有意義，則實數的取值范圍是 ．
10.分解因式： ．
11.方程的解為 ．
12.在平面直角坐標系中，反比例函數的圖象經過點兩個不同的點和，若，則的值為 ．
13.某學校為了解九年級名學生的課外閱讀情況，從全體學生中隨機抽取了名學生進行調查，并將調查結果繪制成如下的統計表，根據表中信息估計全校每周課外閱讀時間不超過小時的學生有 人．
每周課外閱讀時間小時
人數
14.如圖，是的半徑，是的弦，于點，是的切線，交的延長線于點若，，則線段的長為 ．
15.如圖，在中，點在上，交于點若，則的值為 ．
16.某酒店在客人退房后清潔客房需打掃衛生、整理床鋪、更換客用物品、檢查設備共四個步驟．某清潔小組有甲、乙、丙三名工作人員，工作要求如下：
“打掃衛生”只能由甲完成；每間客房“打掃衛生”完成后，才能進行該客房的其他三個步驟，這三個步驟可由任意工作人員完成并可同時進行；
一個步驟只能由一名工作人員完成，此步驟完成后該工作人員才能進行其他步驟；
每個步驟所需時間如下表所示：
步驟 打掃衛生 整理床鋪 更換客用物品 檢查設備
所需時間分鐘
在不考慮其他因素的前提下，若由甲單獨完成一間客房的清潔工作，需要 分鐘；若由甲、乙、丙合作完成四間客房的清潔工作，則最少需要 分鐘．
三、解答題：本題共12小題，共96分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
17.本小題分
計算：．
18.本小題分
解不等式組：
19.本小題分
已知，求代數式的值．
20.本小題分
如圖，在中，，平分交于點，點在線段上，點在的延長線上，且，連接，，，．
求證：四邊形是菱形；
若，，，求和的長．
21.本小題分
在平面直角坐標系中，函數的圖象經過點和，與過點且平行于軸的直線交于點．
求該函數的表達式及點的坐標；
當時，對于的每一個值，函數的值大于函數的值且小于，直接寫出的取值．
22.本小題分
為了大力支持消費者購買綠色智能家電，滿足人民美好生活需要，北京市商務局發布了北京市加力支持家電以舊換新補貼實施細則，規定：活動期間，北京市居民購買電視、冰箱、洗衣機等大類家電，給予以舊換新補貼．購置一級能效家電，按照新購電器售價的給予補貼；購置二級能效家電，按照新購電器售價的給予補貼．每位消費者每類產品可補貼件，每件補貼金額不超過元．
活動期間，王先生購買了一臺元的一級能效家電，可獲得 元的補貼；
活動期間，王先生購買了一臺二級能效的電視機和一臺一級能效的冰箱，共獲得以舊換新補貼元，已知電視機的售價比冰箱售價的倍還多元．求電視機和冰箱的售價各是多少元？
23.本小題分
某校九年級兩個班要舉行韻律操比賽．兩個班各選擇名選手，統計了他們的身高單位：，數據整理如下：
班
班
每班名選手身高的平均數、中位數、眾數如表：
班級 平均數 中位數 眾數
班
班
根據以上信息，回答下列問題：
寫出表中的值；
如果某班選手的身高的方差越小，則認為該班選手的身高越整齊．據此推斷：在班和班的選手中，身高比較整齊的是 班填“”或“”；
班的位首發選手的身高分別為，，，，，如果班已經選出位首發選手，身高分別為，，，，要使得班位首發選手的平均身高不低于班位首發選手的平均身高，且方差盡可能小，則選出的另外兩名選手的身高分別是 和 ．
24.本小題分
如圖，是的直徑，弧弧，與交于點，的切線交的延長線于點．
求證：；
連接并延長，交的延長線于點若為的中點，的半徑為，求的長．
25.本小題分
由于慣性的作用，行駛中的汽車在剎車后還要繼續向前滑行一段距離才能停止，這段距離稱為“剎車距離”某公司設計了一款新型汽車，現在對它的剎車性能車速不超過進行測試，測得數據如下表：
車速
剎車距離
以車速為橫坐標，剎車距離為縱坐標，在坐標系中描出表中各組數值所對應的點，并用平滑曲線連接這些點；
由圖表中的信息可知：
該型汽車車速越大，剎車距離越____填“大”或“小”；
若該型汽車某次測試的剎車距離為 ，估計該車的速度約為____；
若該路段實際行車的最高限速為，要求該型汽車的安全車距要大于最高限速時剎車距離的倍，則安全車距應超過____．
26.本小題分
在平面直角坐標系中，，是拋物線上任意兩點．
當時，求拋物線與軸交點的坐標；
若對于，，其中，都有，求的取值范圍．
27.本小題分
已知，點，分別在射線，上，將線段繞點逆時針旋轉得到線段，過點作的垂線交射線于點．
如圖，當點在射線上時，點恰好是的中點，請寫出與之間的關系，并證明；
如圖，若與之間的關系如所求，當點在外部時，作，交射線于點；
依題意補全圖形；
用等式表示線段與的數量關系，并證明．
28.本小題分
在平面直角坐標系中，的半徑為，對于的弦和不在直線上的點，給出如下定義：若，且點關于弦的中點的對稱點在上或其內部，則稱點為弦的“關聯點”．

已知點，．
在點，，中，點 是弦的關聯點，其中 ；
若直線上存在的“關聯點”，則的取值范圍是 ；
若點是的“關聯點”，且，直接寫出弦的最大值和最小值．
參考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.

17.解：
．

18.解：
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式組的解集為．

19.解：，
，
原式
．

20.證明：，平分，
，．
，
四邊形是平行四邊形．
，
四邊形是菱形．
解：，，，
在中，，
．
，
在中，，，
．
四邊形是菱形，
．

21.解：把代入中，
得到方程組
將代入，解得，
該函數表達式為．
過點且平行于軸的直線方程為．
點在直線上，同時也在上，
把代入，得，
點的坐標為；
解：當時，需滿足，
左邊不等式：
整理得：，
，
，
，則，
，即，
右邊不等式：，
整理得：，
，需保證，即時成立．
綜合條件：且，故．

22.解：根據題意，
則可獲得元的補貼；
解：設冰箱的價格為元，則電視機的價格為元．
由題意可得，冰箱可獲得的補貼為或者元，電視機可獲得的補貼為或元，
共獲得以舊換新補貼元，
冰箱和電視機最多有一項補貼為元，
兩項的補貼均不超過元：
解得：，舍去；
冰箱和電視機有一項補貼為元；
，
電視機補貼為元，
此時，，
解得：，符合題意；
，．
答：冰箱的價格為元，則電視機的價格為元．

23.班數據從小到大排列為，，，，，，，，
從中可以看出一共八個數，第四個數據為、第五個數據為，所以這組數據的中位數為：，故；
其中出現的次數最多，所以這組數的眾數為，故；
故答案為：，．
根據方差的定義可以知道，方差越大，一組數據的波動越大，離散程度越大，穩定性也越小，反之亦然．
班的身高分布于，班的身高分布于，
從中可以看出，班的數據較班的數據波動較小，更加穩定，所以班的選手身高比較整齊，
故答案為：．
厘米
設班另外兩名選手的身高分別為厘米，厘米，
則，
，
方差要盡可能小，
則班位首發選手的身高數據應分布于，
即：另外兩名選手的身高分別是和，
故答案為：，．

24.證明：連接，，
弧弧，
，
又，
，
是的切線，
，
；
解：為中點，，
，
在中，，
，
，
，
，
，
在和中，，，
，
，
，
．

25.解：圖象如圖所示，
大；；
．
26.解：當時，，
令，，
解得：，，
求拋物線與軸交點的坐標為和；
，
，
，即，
總成立，
總成立，
時，
，
總成立，即，
，
，
成立即可，
；
時，
，
總成立，即，
成立即可，
，
綜上所述，或．

27.證明：連接，
由題意得：點是的中點，，
，
，
，
，
，
；
解：依題意補全圖形；
，
證明：在射線上取點，使得，取的中點，連接，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，，
是的中點，
，，
，
，
，
，
，
，
．

28.解：點關于弦的中點的對稱點在上或其內部，則稱點為弦的“關聯點”，
反向思考，作出關于點的對稱圓，只要滿足，，在上或內部，均符合題意，

，，
，
，
，
，
點到的距離為，
點在上，
同理經過計算，到的距離為均大于半徑，故不符合題意，
點是弦的關聯點，
連接，
，同理可求，，
，
，
，
，
故答案為：，；
同上作出關于點的對稱圓，連接，

，，，，
同理可求，，，
同理可求，
，
，
，
，
的“關聯點”在優弧上不包括端點，
若直線上存在的“關聯點”，
則直線與優弧上不包括端點有交點，
當直線經過點時，如圖：

把代入得：，
解得：，
，直線與優弧上不包括端點有交點，
當直線與相切時，如圖：

記切點為，連接，記直線與軸交于點，
當時，，
解得：，
，
當，，
，
則，
，
過作軸交直線于點，
則，
由切線得性質得到：
，
點，
代入，
求得：，
，直線與優弧上不包括端點有交點，
綜上所述：時，直線上存在的“關聯點”，
故答案為：；
解：，
點在以為圓心為半徑的圓上，
對于弦，我們固定點，調整點位置即可，
同上作出關于點對稱的，
點是的“關聯點”，
根據關聯點的定義可知：點首先需要在關于點對稱的上或者內部不包括、，
點是的“關聯點”，
以為底邊，作頂角為的等腰，
由圓周角定理可得：，
點又得在以為圓心，為半徑的優弧上，
那么優弧必須與以為圓心為半徑的圓有交點，才符合題意，
當優弧必須與以為圓心為半徑的圓相切時，最小，設切點為點，如圖：

由圓的對稱性可知共線，，
設，則同上可得，
在中，，
，
，
解得：或舍
，
當恰好經過優弧時，此時最大，那么此時點與重合，如圖：

，
，
，
綜上，弦的最大值為，最小值為．

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