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2025年貴州省銅仁市高考數(shù)學(xué)三模試卷
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1.設(shè)集合，，則中元素的個(gè)數(shù)為( )
A. B. C. D.
2.若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，則在上的投影向量為( )
A. B. C. D.
4.在處理一組數(shù)據(jù)時(shí)，若未計(jì)入數(shù)值，計(jì)算所得的平均值為，方差為若將數(shù)值納入分析，則該組數(shù)據(jù)( )
A. 平均數(shù)等于，方差等于 B. 平均數(shù)等于，方差小于
C. 平均數(shù)大于，方差小于 D. 平均數(shù)小于，方差大于
5.隨機(jī)變量，若，則的展開(kāi)式中的系數(shù)為( )
A. B. C. D.
6.在三棱錐中，已知平面，，若該三棱錐的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則該球的體積為( )
A. B. C. D.
7.已知，是雙曲線：的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線與的左、右兩支分別交于、兩點(diǎn)若，且，則的漸近線夾角的正切值為( )
A. B. C. D.
8.已知函數(shù)，用表示，的最大值，記若對(duì)任意，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為( )
A. B. C. D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。
9.已知函數(shù)，則( )
A. 的最小正周期為 B. 是的對(duì)稱軸
C. 在區(qū)間上單調(diào)遞增 D. 是有實(shí)根的充要條件
10.已知圓：，圓：，則( )
A.
B. 若，則圓與圓有且僅有個(gè)公共點(diǎn)
C. 若圓與圓的相交弦長(zhǎng)為，則
D. 當(dāng)時(shí)，若動(dòng)圓與圓外切，同時(shí)與圓內(nèi)切，則點(diǎn)的軌跡方程為
11.已知點(diǎn)在焦點(diǎn)為的拋物線上，其中是各項(xiàng)均不為零的數(shù)列且若，則( )
A. B. 數(shù)列為等差數(shù)列
C. D.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)為，則的單調(diào)減區(qū)間是______．
13.數(shù)列滿足，若，則 ______．
14.一袋中裝有個(gè)紅球，個(gè)黑球，現(xiàn)從中任意取出一球，然后放回并放入個(gè)與取出的球顏色相同的球，再?gòu)拇腥我馊〕鲆磺颍缓蠓呕夭⒃俜湃雮€(gè)與取出的球顏色相同的球，一直重復(fù)相同的操作，則第二次取出的球是黑球的概率為_(kāi)_____；在第一次取出的球是紅球的條件下，第次和第次取出的球都是黑球的概率為_(kāi)_____．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。
15.本小題分
已知在中，，其中內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，．
求角的大??；
若為的中點(diǎn)，且，求的最大值．
16.本小題分
已知函數(shù)．
若，求曲線在處的切線方程；
若函數(shù)有極小值，且極小值不大于，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
17.本小題分
如圖，在三棱柱中，四邊形是棱長(zhǎng)為的菱形，，點(diǎn)是棱上的動(dòng)點(diǎn)，恒成立．
若，分別為線段，的中點(diǎn)，求證：直線平面；
已知三棱柱的體積為，求面與面夾角的余弦值．
18.本小題分
已知橢圓：的離心率為，短軸長(zhǎng)為，過(guò)右焦點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)．
求的標(biāo)準(zhǔn)方程；
已知點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，求面積的取值范圍；
當(dāng)時(shí)，證明：．
19.本小題分
近年來(lái)，睡眠質(zhì)量對(duì)健康的影響備受關(guān)注研究表明，良好的睡眠習(xí)慣可以顯著降低焦慮和抑郁的發(fā)生率，同時(shí)提高免疫力．
某社區(qū)為推廣健康睡眠，開(kāi)展了“早睡一小時(shí)”活動(dòng)，鼓勵(lì)居民每晚提前一小時(shí)入睡下表為活動(dòng)開(kāi)展后近個(gè)月社區(qū)居民的睡眠改善情況統(tǒng)計(jì)．
月份
睡眠質(zhì)量顯著改善人數(shù)
若睡眠質(zhì)量顯著改善人數(shù)與月份變量具有線性相關(guān)關(guān)系月份變量依次為，，，，，請(qǐng)預(yù)測(cè)第個(gè)月睡眠質(zhì)量顯著改善的大約有多少人？
該社區(qū)將參加“早睡一小時(shí)”活動(dòng)的居民分成了甲、乙、丙三組進(jìn)行挑戰(zhàn)賽，其規(guī)則如下：挑戰(zhàn)權(quán)在任何一組，該組都可向另外兩組發(fā)起挑戰(zhàn)，首先由甲組先發(fā)起挑戰(zhàn)，挑戰(zhàn)乙組、丙組的概率均為，若甲組挑戰(zhàn)乙組，則下次挑戰(zhàn)權(quán)在乙組若挑戰(zhàn)權(quán)在乙組，則挑戰(zhàn)甲組、丙組的概率分別為；若挑戰(zhàn)權(quán)在丙組，則挑戰(zhàn)甲組、乙組的概率分別為．
經(jīng)過(guò)次挑戰(zhàn)，求挑戰(zhàn)權(quán)在乙組的次數(shù)的分布列與數(shù)學(xué)期望；
定義：已知數(shù)列，若對(duì)于任意給定的正數(shù)不論它多么小，總存在正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)，則稱數(shù)列為“聚點(diǎn)數(shù)列”，稱為數(shù)列的聚點(diǎn)經(jīng)過(guò)次挑戰(zhàn)后，挑戰(zhàn)權(quán)在甲組的概率為，證明數(shù)列為“聚點(diǎn)數(shù)列”，并求出聚點(diǎn)的值．
附：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，．
參考答案
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14.
15.解：由正弦定理為外接圓半徑，
將代入，
可得，
化簡(jiǎn)后得到，即，
根據(jù)余弦定理，把代入可得，
因?yàn)?，所以?br/>在中，根據(jù)余弦定理，
因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，設(shè)，已知，
則，即，
根據(jù)基本不等式當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
將代入，可得，
解得，，滿足條件，所以的最大值為．
16.解：當(dāng)時(shí)，，
，
，，
所以切線方程為，即．
，
當(dāng)時(shí)，，則，在上單調(diào)遞增，無(wú)極值，不符合題意．
當(dāng)時(shí)，令，即，解得．
當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增．
所以在處取得極小值，．
因?yàn)榈臉O小值不大于，即．
令，，對(duì)求導(dǎo)得．
令，解得．
當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞減，
所以在處取得最大值，
且當(dāng)或時(shí)，，
因此對(duì)于，均有，
所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是．
17.解：證明：連接B、，
在三棱柱中，側(cè)面為平行四邊形，
因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，則為與的交點(diǎn)，為棱的中點(diǎn)，
因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以，
又平面，平面，
所以直線平面；
因?yàn)辄c(diǎn)是棱上的動(dòng)點(diǎn)，恒成立，平面，
所以平面，因?yàn)槠矫妫?br/>所以，
因?yàn)槿庵捏w積為，
設(shè)三棱柱的高為，
所以，
因?yàn)樗倪呅问抢忾L(zhǎng)為的菱形，，
所以，
所以，
所以平面，
以為原點(diǎn)，直線為軸，直線為軸，直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，
所以，，，
設(shè)平面的法向量，
則，
取，
所以，
設(shè)平面的法向量，
則，
取，
所以，
設(shè)平面與平面夾角為，
則，
所以平面與平面夾角的余弦值為．
18.解：因?yàn)闄E圓：的短軸長(zhǎng)，所以，
又離心率，且，把代入，得，
再結(jié)合，即，可得，解得，，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
當(dāng)時(shí)，右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，
顯然直線的斜率不為，設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立，消去得，恒成立，
設(shè)，則，，
所以
，
點(diǎn)到直線的距離．
．
令，則，因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，
所以．
當(dāng)直線的斜率為時(shí)，直線的方程為，
此時(shí)，，則，，
則；
當(dāng)直線的斜率不為時(shí)，設(shè)直線的方程為，，，
由知，，
則，
則
，
令，由，則該函數(shù)是開(kāi)口向上的二次函數(shù)，
則，
所以恒成立，
又，則．
綜上所述，．
19.解：，
，
，
，
，
所以回歸直線方程為，
當(dāng)時(shí)，，
即預(yù)測(cè)第個(gè)月睡眠質(zhì)量顯著改善的大約有人；
的可能取值為，，，
，
，
，
所以的分布列為：


；
第次挑戰(zhàn)后挑戰(zhàn)權(quán)在乙，丙組的概率記為，，
當(dāng)時(shí)，，
，
得：，
由得：，
，，
，其中，
是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
所以，，
由聚點(diǎn)數(shù)列的定義知：，
當(dāng)時(shí)，，
所以，對(duì)于任意給定的正數(shù)不論它多么小，總存在正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，，
所以數(shù)列是聚點(diǎn)數(shù)列，且聚點(diǎn)．
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