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2025年上海市楊浦區高考數學二模試卷
一、單選題：本題共4小題，共20分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.中，“”是“”的條件．
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要
2.名同學報名參加社團活動，有個社團可以報名，這些社團招收人數不限，但每位同學只能報名其中個社團，則這位同學可能的報名結果共有種．
A. B. C. D.
3.已知、、是單位圓上的三個點，若，則的最大值為( )
A. B. C. D.
4.設是由個二次函數組成的集合，對于連續的正整數，，，，，存在二次函數可重復，使得，，，，是等差數列，則的最小可能值是( )
A. B. C. D.
二、填空題：本題共12小題，共60分。
5.已知集合，，則 ______．
6.不等式的解集為______．
7.函數的最小正周期是______．
8.已知，則 ．
9.已知，且，則的最大值為______．
10.在的二項展開式中，常數項的值為______．
11.已知復數滿足，其中為虛數單位，則的最小值為______．
12.不等式對一切實數恒成立，則實數的取值范圍為______．
13.植物社團的同學觀察一株植物的生長情況，為了解植物高度單位：厘米與生長期單位：天之間的關系，隨機統計了某天的植物高度，并制作了如下對照表：
生長期
植物高度
由表中數據可得回歸方程中，試預測生長期是天時，植物高度約為______厘米
14.如圖，點、分別是直角三角形的邊、上的點，斜邊與扇形的弧相切，已知，，則陰影部分繞直線旋轉一周所形成的幾何體的體積為______．
15.如圖，阿基米德橢圓規是由基座、帶孔的橫桿、兩條互相垂直的空槽、兩個可動滑塊、組成的一種繪圖工具，橫桿的一端上裝有鉛筆，假設兩條互相垂直的空槽和帶孔的橫桿都足夠長，將滑塊、固定在帶孔的橫桿上，令滑塊在中一條空槽上滑動，滑塊在另一條空槽上滑動，鉛筆隨之運動就能畫出橢圓當、之間的距離為厘米時，若需要畫出一個離心率為的橢圓，則、之間的距離為______厘米．
16.由若干個多邊形所覆蓋的區域，稱為這些多邊形的并集，例如圖中，梯形是與矩形的并集已知是正整數，在平面直角坐標系中，直線的方程為，若直線交軸于點，交軸于點，則、、、的并集，其面積為______．
三、解答題：本題共5小題，共70分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
17.本小題分
已知函數是定義在上的偶函數．
當時，，求時，的表達式；
當時，，若實數滿足，求的取值范圍．
18.本小題分
座落于楊浦濱江的世界技能博物館由百年歷史文化保護建筑改建而成，其中的支柱保留了原有的正八棱柱，既考慮了結構力學優勢，又體現了對歷史建筑的尊重和傳承如圖，、分別為正八棱柱的上下兩個底面的中心，已知，．
求證：；
求點到平面的距離．
19.本小題分
為弘揚中華民族傳統文化、增強民族自豪感，某學校開展中華古詩詞背誦比賽，分為初賽和復賽全校同學都參加了初賽，并隨機抽取一個班級進行初賽成績統計，已知該班級共有位學生，他們的初賽分數的頻率分布直方圖如圖所示：
計算的值，并估計該校這次初賽的平均分數．
初賽分數達到及以上的同學，稱為優秀參賽選手，現從班級中隨機選出位同學，用代表其中的優秀參賽選手人數，求的分布；
為增加比賽的趣味性，復賽規則如下：復賽試題將從題庫中隨機抽取，每位參賽選手將有機會回答填空、選擇和簡答各題；每答對題得分，答錯或不答得分，每位選手可以自行選擇回答問題的順序，若答對一題可繼續答下一題，直到題全部答完；若答錯或不答則比賽結束例如：選手甲可自行按“簡答一填空一選擇”順序答題，甲答對第一題得分，并繼續回答第二題且答錯得分，結束比賽，總分為分．
小楊作為優秀參賽選手，代表班級參加復賽根據他初賽的答題正確頻率，可估計他填空、選擇和簡答的答題正確概率分別為：
題型 填空 選擇 簡答
答題正確概率
若小楊每次答題的結果都相互獨立，那么為盡量在比賽中獲得較高分數，小楊應該采用怎樣的答題順序？請說明理由．
20.本小題分
已知雙曲線的標準方程為，點是雙曲線右支上的一個動點．
求雙曲線的焦點坐標和漸近線方程；
過點分別向兩條漸近線作垂線，垂足為點，，求的值；
若，如圖，過作圓：的切線，切點為，交雙曲線的左支于點，分別交兩條漸近線于點、設，求實數的取值范圍．
21.本小題分
已知函數的導函數為，若函數的定義域為，且不等式對任意成立，則稱函數是“超導函數”．
判斷是否為“超導函數”，并說明理由；
若函數與都是“超導函數”，且對任意，都有、，記，求證：函數是“超導函數”；
已知函數是“超導函數”且，若有且僅有一個實數滿足，求的取值范圍．
參考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.
14.
15.
16.
17.解：因為是定義在上的偶函數，
當時，，
則時，，
所以，
即時，；
當時，單調遞增，
又為偶函數，故時，單調遞減，
若實數滿足，則，
解得，即不等式解集為
18.解：證明：如圖，
連接，因為底面為正八邊形，所以，
又正八棱柱側棱底面，底面，
所以，，，平面，
所以平面，
又平面，所以F.
如圖，
連接，，
因為，，
由正八邊形的性質可得，，
為到底面的距離，，
所以，
由勾股定理可得，，
又，所以，
又，所以，
因為，所以，即，
設點到平面的距離為，
則，即，即，解得，
所以點到平面的距離為．
19.解：由頻率分布直方圖中小矩形的面積和為可得：，
解得；該校這次初賽的平均分數為．
初賽分數達到及以上的同學為人，
非優秀為人，由題意可得的可能取值為，，，
，
，
，所以的分布列為：
按照不同題目順序分類討論：填空，選擇，簡答：
得零分的概率：，得一分的概率：，
得兩分的概率：，
得三分的概率：，
期望為分；
因為填空和簡答的正確率相同，所以“簡答，選擇，填空”的期望與之相同；
填空，簡答，選擇：得零分的概率：，
得一分的概率：，
得兩分的概率：，
得三分的概率：，
期望為分；
因為填空和簡答的正確率相同，所以“簡答，填空，選擇”的期望與之相同；
選擇，填空，簡答：得零分的概率：，
得一分的概率：，
得兩分的概率：，
得三分的概率：，
期望為分；
因為填空和簡答的正確率相同，所以“選擇，簡答，填空”的期望與之相同；
所以小楊應采用“選擇，填空，簡答”或“選擇，簡答，填空”的順序．
20.解：雙曲線的標準方程為，
則，
所以雙曲線的焦點坐標為，漸近線方程為；
設，則，
由，
解得，
所以，
由，
解得，
所以，
所以，，
所以
，
即；
設切點，則切線的方程為，且，
由，解得，所以，
設，，，，
由，消去得，
所以；
由，消去得，
所以；
所以，
所以
，
又，
所以，
因為，所以，所以，
所以，
即．
21.解：函數，
求導得，
則，
所以是“超導函數”．
證明：函數，
求導得，
則，
由函數與都是“超導函數”，
得，，
由對任意，都有，，得，
因此，即，
所以函數是“超導函數”．
由函數是“超導函數”，得對任意，，
令，求導得，
函數在上單調遞增，且，
由，
得，
即，
因此，即，
令，
由有且僅有一個實數滿足，
得直線與函數的圖象有且只有個交點，
，當時，；當時，，
函數在上單調遞增，函數值的集合為
在上單調遞減，函數值的集合為
因此當或時，直線與函數的圖象有且只有個交點，
所以的取值范圍或
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