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2025年陜西省渭南市高考數學質檢試卷（二）
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.已知集合，，則( )
A. B. C. D.
2.若復數滿足其中是虛數單位，則( )
A. B. C. D.
3.函數的最小正周期為( )
A. B. C. D.
4.已知圓錐的側面展開圖為一個半圓，則該圓錐的母線長與底面半徑的比為( )
A. B. C. D.
5.若雙曲線的焦距為，則( )
A. B. C. D.
6.已知向量滿足，則在上的投影向量為( )
A. B. C. D.
7.函數的最小值為( )
A. B. C. D.
8.若關于的不等式有且只有一個整數解，則實數的取值范圍是( )
A. B. C. D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.下列說法正確的是( )
A. 數據，，，，，，，的平均數為
B. 數據，，，，，，，，，的第百分位數為
C. 若隨機變量，且，則
D. 若隨機變量，且，則
10.如圖，正三棱柱的所有棱長均為，點在棱上運動，點在正三棱柱的表面運動，則下列結論正確的是( )
A. 三棱錐的體積為
B. 若為的中點，則到平面的距離為
C. 的周長的最小值為
D. 若，則點的軌跡的長度為
11.設直線系：，則下列四個命題為真的是( )
A. 中所有直線均經過一個定點
B. 存在定點不在中的任一條直線上
C. 中的直線所能圍成的正三角形面積都相等
D. 對于任意整數，存在正邊形，其所有邊均在中的直線上
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.在中，若，，則的面積為______．
13.若函數，則 ______．
14.如圖所示網格中，要從點出發沿實線走到點，距離最短的走法中，經過點的概率為______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
中藥是中華民族的瑰寶，除用來治病救人外，在調理身體、預防疾病等方面也發揮著重要的作用某研究機構為了解草藥對某疾病的預防效果，隨機調查了名人員，數據如下：
未患病 患病 合計
服用草藥
未服用草藥
合計
依據小概率值的獨立性檢驗，分析草藥對預防該疾病是否有效；
已知草藥對該疾病的治療有效的概率的數據如下：對未服用草藥的患者治療有效的概率為，對服用草藥的患者治療有效的概率為若用頻率估計概率，現從患此疾病的人中隨機抽取人使用草藥進行治療，求治療有效的概率．
附：參考公式：，其中．
參考數據：
16.本小題分
已知等差數列滿足，是關于的方程的兩個根．
Ⅰ求；
Ⅱ求數列的通項公式；
Ⅲ設，求數列的前項和．
17.本小題分
如圖，在四棱錐中，，，，，是棱的中點，．
Ⅰ求證：平面．
Ⅱ求二面角的余弦值．
Ⅲ求直線與平面所成角的正弦值．
18.本小題分
已知函數．
Ⅰ當時，求曲線在處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積．
Ⅱ若函數有兩個零點，求實數的取值范圍．
Ⅲ若不等式恒成立，求實數的取值范圍．
19.本小題分
平面直角坐標系中，已知橢圓：的離心率為，左、右焦點分別是，，以為圓心以為半徑的圓與以為圓心以為半徑的圓相交，且交點在橢圓上．
Ⅰ求橢圓的方程；
Ⅱ設橢圓：，為橢圓上任意一點，過點的直線交橢圓于，兩點，射線交橢圓于點．
求的值；
求面積的最大值．
參考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：零假設為：草藥對預防該疾病無效，根據列聯表中數據，得，因為當假設成立時，，所以根據小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即認為服用草藥對預防該疾病有效，此推斷犯錯誤的概率不大于；
設事件表示“草藥的治療有效”，事件表示“患者未服用草藥”，事件表示“患者已服用草藥”，
則，
，
所以由全概率公式得：，
．
16.解：Ⅰ已知等差數列滿足，是關于的方程的兩個根．
則，
則，，
設等差數列的公差為，
則，
即，
則，
即；
Ⅱ由得：，
則，
即；
Ⅲ由可得：，
則．
17.解：Ⅰ證明：取為中點，連接，，由中位線定理易得：，
，又，，所以，且，
所以四邊形為平行四邊形，則，
又平面，平面，
所以平面；
Ⅱ取的中點為，連接，，由，，，
可得四邊形為矩形，所以，又，又平面平面，
所以即為二面角的平面角，
又，，平面，
所以平面，又平面，
所以，在中，由，，得，又，，
所以，
即二面角的平面角的余弦值為；
Ⅲ以為原點，，分別為軸，軸正向，垂直面向上為軸，建立空間直角坐標系，
則，，，，
所以，，，
設平面的一個法向量為，
則，則，即，
取，可得，
設直線與平面所成的角為，
則，
即直線與平面所成角的正弦值為．
18.解：Ⅰ當時，，所以．
又，所以，則切線方程為．
令得，令得，所以切線與坐標軸圍成三角形的面積為．
Ⅱ由得，顯然不是方程的解，所以．
設函數，，
則，
令，得或，令，得或，
所以在上單調遞增，在和單調遞減，在上單調遞增．
又當時，，，當時，，
當時，，當時，．
所以的大致圖象如圖，
若函數有兩個零點，則直線與函數的圖象有兩個交點，
由圖象可知，或，即的取值范圍為．
Ⅲ由，得，
顯然當時，不等式恒成立．
當時，有恒成立，由可得，
當時，有恒成立，由可得．
綜上，的取值范圍為．
19.解：Ⅰ由題意可知，，可得，
又，，
可得，即有橢圓的方程為；
Ⅱ由Ⅰ知橢圓的方程為，
設，，由題意可知，
，由于，
又，即，
所以，即；
設，，將直線代入橢圓的方程，可得
，由，可得，
則有，，所以，
由直線與軸交于，
則的面積為
，設，則，
將直線代入橢圓的方程，可得，
由可得，
由可得，則在遞增，即有取得最大值，
即有，即，取得最大值，
由知，的面積為，
即面積的最大值為．
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