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2025年青海省西寧市高考數學模擬試卷（一）
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.已知，，，則( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2.若集合，，則( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，且，則( )
A. B. C. D.
4.“”是“函數在上為增函數”的( )
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充分心要條件 D. 既不充分也不必要條件
5.已知平行六面體的體積為，若將其截去三棱錐，則剩余部分幾何體的體積為( )
A. B. C. D.
6.用紅、黃、藍三種顏色給下圖著色，要求有公共邊的兩塊不著同色在所有著色方案中，著相同色的有( )
A. 種 B. 種
C. 種 D. 種
7.設函數，若在上有且只有個零點，則的取值范圍是( )
A. B. C. D.
8.已知曲線：，過點作該曲線的條弦，這些弦的長度構成一個遞增的等差數列，則該數列公差的取值范圍是( )
A. B. C. D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.經驗表明，一般樹的胸徑樹的主干在地面以上處的直徑越大，樹就越高在研究樹高與胸徑之間的關系時，某同學收集了某種樹的組觀測數據如表：
胸徑
樹高
假設樹高與胸徑滿足的經驗回歸方程為，則( )
A.
B. 當胸徑時，樹高的預測值為
C. 表中的樹高觀測數據的分位數為
D. 當胸徑時，樹高的殘差為
10.定義：已知函數在其定義域上的最大值為，最小值為，若，則稱是“間距函數”，則下列函數是“間距函數”的有( )
A. ， B.
C. ， D. ，
11.在橢圓中，任意兩條互相垂直的切線，其交點都在與橢圓同中心的圓上，稱該圓為橢圓的蒙日圓如圖，“臉譜”圖形可近似看作由半圓和半橢圓組成的曲線半圓的方程為，半橢圓的方程為，下列說法正確的是( )
A. 若點在半圓上，點在半橢圓上，且，則面積的最大值為
B. 曲線上的點到原點的距離的最大值與最小值之和為
C. 若，，在半橢圓上的一個動點，則的最小值為
D. 將半橢圓擴充為橢圓后，橢圓的蒙日圓方程為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知拋物線的焦點為，點為拋物線上的一個動點，點的坐標是，則的最小值為______．
13.已知正方形邊長為，為邊上一點，則的最小值為 ．
14.已知，為正實數，，則的取值范圍是______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
記內角，，的對邊分別為，，，已知，．
求；
若，求的面積．
16.本小題分
隨著網絡的普及與發展，刷“抖音”成為了人們日常生活的一部分某地區隨機抽取了部分歲的“抖音”用戶，調查他們日均刷“抖音”的時間情況，所得數據統計如表．
性別 日均刷“抖音”時間超過小時 日均刷“抖音”時間不超過小時
男性
女性
Ⅰ依據小概率值的獨立性檢驗，能否認為日均刷“抖音”時間的長短與性別有關？
Ⅱ現從被調查的日均刷“抖音”時間超過小時的用戶中，按照性別比例采用分層隨機抽樣的方法抽取名用戶參加抖音知識問答，已知男性用戶、女性用戶順利完成知識問答的概率分別為，，每個人是否順利完成知識問答相互獨立，求在有且僅有人順利完成知識問答的條件下，這人性別不同的概率．
參考公式：，其中．
參考數據：
17.本小題分
已知正四棱柱底面邊長為，點、分別在直線、上，，．
證明：平面；
若三棱錐的體積為，求直線與平面所成角的正弦值．
18.本小題分
已知函數．
若，求函數在點處的切線方程；
若恒成立，求實數的取值范圍；
求證：，．
19.本小題分
設，兩點的坐標分別為，直線，相交于點，且它們的斜率之積為記點的軌跡為曲線．
Ⅰ求曲線的方程；
Ⅱ數列，是正項數列，且數列是公差為的等差數列，點在曲線上，求證：；
Ⅲ過點的直線交曲線于，兩點兩點在軸右側，在線段上取異于，的點，且滿足，證明：點在定直線上．
參考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：在中，，
由余弦定理得，結合，可得．
所以，解得，結合，可得；
由得，
由正弦定理，可得．
所以的面積．
16.解：Ⅰ列聯表如下：
性別 日均刷“抖音”時間超過小時 日均刷“抖音”時間不超過小時 合計
男性
女性
合計
零假設為：日均刷“抖音”時間的長短與性別無關，
則，
故依據小概率值的獨立性檢驗，我們推斷零假設成立，
即日均刷“抖音”時間的長短與性別無關．
Ⅱ由分層隨機抽樣可知，抽取男性用戶人，女性用戶人．
記“有且僅有人順利完成知識問答”為事件，“人性別不同”為事件，
則，
，
故．
17.證明：，
因為，所以，
所以，平面，平面，
所以平面；
解：以為坐標原點，以，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，如圖所示：
則三棱錐的體積，解得，
則，
設平面的法向量為，
則，
取，則，，則平面的一個法向量為，
設直線與平面所成角為，
則，
所以直線與平面所成角的正弦值．
18.
19.解：Ⅰ設，
易知，
即，
整理得，
則曲線的方程為；
Ⅱ證明：易知，都在第一象限，
，
兩式作差并整理得，
因為，
所以，
設的中點為，
可得，
因為曲線的漸近線方程為，
所以，
則；
Ⅲ證明：易知直線的斜率存在，
設直線的方程為，，，，
聯立，消去并整理得，
此時，
由韋達定理得，，
已知，
因為，
可得，
整理得，
因為，，
所以，
解得，
代入直線的方程中，
可得．
故點在定直線上．
第1頁，共1頁

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