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2025年上海市黃浦區高考數學二模試卷
一、單選題：本題共4小題，共18分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.如果兩種證券在一段時間內收益數據的相關系數為，那么表明( )
A. 兩種證券的收益有反向變動的傾向
B. 兩種證券的收益有同向變動的傾向
C. 兩種證券的收益之間存在完全反向的聯動關系，即漲或跌是相反的
D. 兩種證券的收益之間存在完全同向的聯動關系，即同時漲或同時跌
2.如圖，在平行六面體中，設，，若、、組成空間向量的一個基，則可以是( )
A.
B.
C.
D.
3.設，隨機變量取值、、、的概率均為，隨機變量取值、、、的概率也均為，隨機變量取值、、、的概率也均為若記、分別為、的方差，則( )
A.
B.
C.
D. 與的大小關系與、、、的取值有關
4.給定四面體平面滿足：、、、四個點均不在平面上，也不在的同側；若平面與四面體的棱有公共點，則該公共點一定是此棱的中點或兩個三等分點之一設、、、四個點到平面的距離分別為，那么的所有不同值的個數組成的集合為( )
A. B. C. D.
二、填空題：本題共12小題，共54分。
5.設，不等式的解集為______．
6.設，集合，，若，則 ______．
7.拋物線的焦點到其頂點的距離為______．
8.在中，若，，，則 ______．
9.為虛數單位，若復數滿足且，則 ______．
10.函數的最大值是______．
11.已知等比數列為嚴格增數列，其前項和為，若，，則該數列的公比為______．
12.已知為常數，圓與圓有公共點，當取到最小值時，的值為______．
13.某商場要懸掛一個棱長為米的正方體物件作為裝飾，如圖，、、、為該正方體的頂點，、、為三根直繩索，且均垂直于屋頂所在平面若平面與平面平行，且點到的距離為米，則直繩索的長度約為______米結果精確到米
14.若從的所有正約數中任取一個數，則這個數是一個完全平方數的概率為______．
15.設為等差數列，其前項和為，若，則滿足的正整數 ______．
16.設、為常數，，若對任意的，函數在區間上恰有個零點，則的取值范圍是______．
三、解答題：本題共5小題，共78分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
17.本小題分
已知．
若，求的值；
是否存在實數，使函數是奇函數？請說明理由．
18.本小題分
在四面體中，，．
若為正三角形，平面平面，求四面體體積；
若，，求二面角的大小．
19.本小題分
一盒子中有大小與質地均相同的個小球，其中白球個，其余為黑球．
當盒中的白球數時，從盒中不放回地隨機取兩次，每次取一個球，用表示事件“第一次取到白球”，用表示事件“第二次取到白球”，求和，并判斷事件與是否相互獨立；
某同學要策劃一個抽獎活動，參與者從盒中一次性隨機取個球，若其中恰有個白球，則獲獎，否則不獲獎，要使參與者獲獎的可能性最大、最小，該同學應該分別如何放置白球的數量？
20.本小題分
橢圓：的左、右焦點分別為、，過點的直線與交于點．
若，點的坐標為，求點到直線的距離；
當時，求滿足的點的個數；
設直線與的另一個交點為，點的橫坐標為，若的離心率，求的取值范圍．
21.本小題分
設是的一個非空子集，函數的定義域為，若在上不是單調函數，且存在常數，使得對任意的成立，則稱函數具有性質，稱為該函數的一個下界．
設，，判斷函數，是否具有性質；
設為常數，，，當且僅當滿足什么條件時，函數，具有性質，且是該函數的一個下界；
設，，，若函數，具有性質，求的取值范圍；當在上述范圍內變化時，若總是該函數的下界，求的取值范圍．
參考答案
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16.
17解：因為，
又，即，
令，
則，整理得，解得或舍去，
可得．
假設存在實數使函數是奇函數，其定義域為，
根據奇函數性質，即，解得，此時，
，
所以是奇函數，
故存在實數，使函數是奇函數．
18.解：由題設為等腰直角三角形，且，，
所以，又為正三角形，
故，
若為的中點，連接，則，
又平面平面，平面平面，
平面，故DE平面，
所以是的高，
則其體積；
由，且，，
又，則，
且，又，
所以二面角的平面角為，
且．
所以二面角大小為．
19.解：根據題意，表示事件“第一次取到白球”，表示事件“第二次取到白球”，
則，，
，，
則，
由于，
，
則，則事件、不相互獨立，
根據題意，從盒子中一次性隨機取個球，設其中恰有個白球的概率為，，
由于，
則有，，
當時，，當時，，
當時，取得最大值，
又由，，則，故是最小值，
因此，當該同學放置個白球時，參與者獲獎的可能性最大；當該同學放置個白球時，參與者獲獎的可能性最小．
20.解：依題意，，，而，
則直線的方程為，即，
所以點到直線的距離．
由，得點在以線段為直徑的圓上，，
聯立，消去得，即，
當時，，，因此點，共個；
當時，，解得，，
因此點，共個，
綜上所述，當時，點的個數為；當時，點的個數為．
設，由，且在線段上，得，
則，解得，
而，由點，在橢圓上，
所以，即，
整理得，即，
由，得，解得，
所以的取值范圍是．
21.解：函數，具有性質，理由如下：
函數，，求導得，
令，得，
所以在上，，單調遞增，
在上，，單調遞減，
所以函數在上不是單調函數，
又因為時，，當且僅當，即時取等號，
所以存在常數，使得對任意的成立了，
所以函數，具有性質．
函數求導得，
令，得，
所以在上，，單調遞增，
在上，，單調遞減，
在上，，單調遞增，
因為函數，具有性質，且是該函數的一個下界，
所以，
，，
當時，在上不是單調函數，且，滿足條件，
所以．
對求導得，
，，
因為，，
所以，
所以，
所以在上單調遞增，不滿足在上不是單調函數這個條件，考慮邊界情況，
當時，，
，在上不單調，
所以在上的值域為，
，，
因為函數在上不是單調函數且具有性質，
所以，
當時，在上的值域為，
所以，
即的取值范圍為
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