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2025年河南省鶴壁高中高考數學十模試卷
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.已知集合，，若，則實數的取值范圍為( )
A. B. C. D.
2.若復數是純虛數，則( )
A. B. C. D.
3.若向量，滿足，且，，則( )
A. B. C. D.
4.設，則( )
A. B. C. D.
5.已知拋物線：的焦點為，準線為，為上一點，過作的垂線，垂足為若，則( )
A. B. C. D.
6.已知函數滿足，，函數，若，則的值可以是( )
A. B. C. D.
7.已知函數，為的最小正周期，且，若在區間上恰有個極值點，則的取值范圍是( )
A. B. C. D.
8.已知函數滿足對任意的，且都有，若，，則( )
A. B. C. D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.至年我國國內生產總值及其增長速度如圖所示，則( )
A. 至年我國國內生產總值逐年增長
B. 至年我國國內生產總值的分位數是億元
C. 至年我國國內生產總值年增長速度的極差是
D. 至年我國國內生產總值年增長速度的平均數大于
10.如圖，菱形的邊長為，，為邊的中點，將沿折起，折疊后點的對應點為，使得平面平面，連接，，則下列說法正確的是( )
A. 點到平面的距離為
B. 與所成角的余弦值為
C. 三棱錐的外接球的體積為
D. 直線與平面所成角的正弦值為
11.函數的導函數和函數都是上偶函數，且，則( )
A. 的圖象關于點對稱 B. 是周期函數
C. D.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知角的終邊經過點，則的值為______
13.高二甲、乙兩位同學計劃端午假期從“韓陽十景”中挑個旅游景點：廉村孤樹、龜湖夕照、南野桑、馬嶼香泉隨機選擇其中一個景點游玩，記事件：甲和乙至少一人選擇廉村孤樹，事件：甲和乙選擇的景點不同，則條件概率 ______．
14.年月日，小米正式開始啟用具備“超橢圓”數學之美的新如圖所示，設計師的靈感來源于曲線：當，，時，下列關于曲線的判斷正確的有______．
曲線關于軸和軸對稱；
曲線所圍成的封閉圖形的面積小于；
曲線上的點到原點的距離的最大值為；
設，直線交曲線于、兩點，則的周長小于 ．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
在中，內角，，所對的邊分別為，，，．
Ⅰ求；
Ⅱ若點在線段上，且，求．
16.本小題分
已知，且．
當時，求證：恒成立；
令，當時，無零點，求的取值范圍．
17.本小題分
如圖所示，三棱柱中，平面平面，，，點為棱的中點，動點滿足．
當時，求證：；
若平面與平面所成角的正切值為，求的值．
18.本小題分
“由樣本估計總體”是統計學中一種重要的思想方法，而我們利用一些樣本去估計某一參數的值時，常采用最大似然估計的方法最大似然估計是由高斯首次提出，費爾希推廣并使之得到廣泛應用的一種估計方法，其原理是從總體中抽出具有個值的采樣，，，，求出似然函數，似然函數表示樣本同時取得，，，的概率，當似然函數取得最大值時參數的取值即為該參數的最大似然估計值．
已知一工廠生產產品的合格率為，每件產品合格與否相互獨立，現從某批次產品中隨機抽取件進行檢測，有件不合格；
估計該批次產品合格率；
若用隨機變量表示產品是否合格，表示不合格，表示合格，求合格率的最大似然估計值，并判斷與中估計值是否相等；
設一次試驗中隨機變量的概率分布如下：
現做次獨立重復試驗，出現了次，出現了次，出現了次，求的最大似然估計值；
泊松分布是一種重要的離散分布，其概率分布為，設一次試驗中隨機變量的取值服從泊松分布，進行次試驗后得到的值分別為，，，，已知的最大似然估計值為，求數列的前項和．
19.本小題分
已知上下頂點分別為，的橢圓經過點為直線上的動點，且不在橢圓上，與橢圓的另一交點為，與橢圓的另一交點為均不與橢圓上下頂點重合．
求橢圓的方程；
證明：直線過定點；
設問中定點為，過點，分別作直線的垂線，垂足分別為，，記，，的面積分別為，，，試問：是否存在常數，使得，，總為等比數列？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．
參考答案
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14.
15.解：Ⅰ因為，
所以由正弦定理可得，即；
根據余弦定理得：，
因為，所以．
Ⅱ設，則，；
在中，由余弦定理可得：；
化簡得：．
在中，由余弦定理可得：；
化簡得：．
聯立化簡得：
在中，由余弦定理可得：；
化簡得：
將代入得：．
16.證明：依題意：當時，，則．
令，則恒成立．在上單調遞增，
，即恒成立，在上單調遞增，
，得證．
解法：，，
當時，在遞增，，，所以存在使，
當，單調遞減，當，單調遞增，
又，
故存在唯一的零點使，
當時，由得，
令，在上恒成立，
在上單調遞增，
，
在上恒成立．故在無零點．
綜上所述：的取值范圍是．
解法：，令，則，
設，則，
令，則，
，恒成立，
在上單調遞減，又，所以恒成立，
，即在上單調遞減，則，
無零點，
即函數與函數的圖象無交點，，
即的取值范圍是．
17.證明：由可得，，
即，即，
如圖：
因為平面平面，平面平面，
所以過作于，則平面，
連接，因為，所以，
，，
在中，，，．
所以，則，，
，
，
當時，，
，
所以；
解：如圖，由得，，兩兩垂直，
故可以為原點，方向為軸，方向為軸，方向為軸，建立如圖所示坐標系：
平面中，，，
，
設平面的法向量為，
則，即，
令，則；
平面中，由可知，，
設，因為，，
所以，可得，
所以，
，
設平面的法向量為，
則，即，
令，則；
由題意，設平面與平面所成角為，且，可得，
，
，，
，解得，
即平面與平面所成角的正切值為時，的值為．
18.解：根據題目：已知一工廠生產產品的合格率為，每件產品合格與否相互獨立，現從某批次產品中隨機抽取件進行檢測，有件不合格；
(ⅰ)由題該批次產品合格率；
(ⅱ)由題意得，似然函數，，
當時，，單調遞增，
當時，，單調遞減，
則當時，取得最大值，即的最大似然估計值為，與(ⅰ)中的估計值相等；
，
令，
則，令，解得，
易知在上單調遞減，
則當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，
則時，取得最大值，所以的最大似然估計值為．
，
設，
則函數與單調性相同，因為為減函數，
令，得，則時，
函數單調遞增；時，函數，單調遞減，
所以為極大值點也及最大值點，
所以為極大值點也及最大值點，
則由題的最大似然估計值為，即．
19.解：因為橢圓：經過點，代入可得，解得，
所以橢圓的方程為；
證明：由題意，直線的斜率一定存在，設，，直線的方程為，
聯立橢圓和直線的方程得，
由韋達定理可得，，
由點斜式可知直線的方程為，直線的方程為，
兩式相比得，因為點在直線上，所以，
又點在橢圓上，所以，變形得，所以，
將直線方程代入得，即，
將韋達定理結果代入得，解得或，
因為，均不與橢圓上下頂點重合，所以舍去，即，
直線的方程為，過定點．
由題意可知，，顯然，在直線的兩側，不妨設，
則，，，
設存在常數，使得，，為等比數列，則，
即，
由可知，，
代入化簡可得，
由知聯立后的方程，
所以，解得，
所以存在，使得，，總為等比數列．
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