資源簡介

2024-2025學年廣東省茂名一中高三（下）質檢數學試卷（一）（3月份）
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.已知集合，，則( )
A. B. C. D.
2.某小區隨機調查了位業主月份每戶的天然氣使用量，數據如下單位：：，，，，，，，，，估計該小區業主月均用氣量的樣本數據的分位數為( )
A. B. C. D.
3.已知直線、，平面、，給出下列命題：
若，，且，則；若，，且，則；
若，，且，則；若，，且，則．
其中正確的命題是( )
A. B. C. D.
4.已知正項數列，令，則“為等差數列”是“為等比數列”的( )
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分又不必要條件
5.若，，則( )
A. B. C. D.
6.現有，，，，五人站成一排，則，相鄰且，不相鄰的排法種數共有( )
A. B. C. D.
7.已知函數的最大值是( )
A. B. C. D.
8.已知雙曲線的左、右焦點分別是，，過點的直線與雙曲線的右支交于，兩點，若，則雙曲線的離心率的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.復數，滿足，，則( )
A. B. C. D.
10.若等邊三角形的邊長為，，為的中點，且，交于點，則下列說法正確的是( )
A. 當時， B. 若點為的中點，則
C. 為定值 D. 的最小值為
11.已知對于任意非零實數，函數均滿足，，下列結論正確的有( )
A.
B. 關于點中心對稱
C. 關于軸對稱
D.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知，，且，則的最小值為______．
13.已知函數，若方程在區間內有三個實數根，，，且，則等于______．
14.北宋數學家沈括在酒館看見一層層壘起的酒壇，想求這些酒壇的總數，經過反復嘗試，提出如圖所示的由大小相同的小球堆成的一個長方臺形垛積，自上而下，第一層有個小球，第二層有個小球，第三層有個小球，，依此類推，最底層有個小球，共有層，并得出小球總數的公式若，小球總個數為，則該長方臺形垛積的第六層的小球個數為______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
近年來，兒童近視問題日益嚴重，已成為影響兒童健康的重要問題之一，教育部提出了一系列措施，旨在通過學校、家庭和社會的共同努力，減少兒童近視的發生率多項研究表明，每天增加戶外活動時間可以顯著降低兒童近視的發生率為研究近視是否與戶外活動時長有關，某學校數學興趣小組采用簡單隨機抽樣的方法調查了六年級的名學生，其中有名同學的戶外活動時間超過小時；名同學中近視的學生有人，這人中每天戶外活動時間不足小時的有人．
Ⅰ根據所給數據，得到成對樣本數據的分類統計結果，完成以下列聯表，依據小概率值的獨立性檢驗，分析學生患近視與戶外活動時間長短是否有關．
近視人數 未近視人數 合計
戶外活動時間不足小時
戶外活動時間超過小時
合計
Ⅱ用頻率估計概率，從已經近視的學生中采用隨機抽樣的方式選出名學生，利用“物理十藥物”治療方案對該學生進行治療已知“物理藥物”治療方案的治愈數據如下：在已近視的學生中，對每天戶外活動時間超過小時的學生的治愈率為，對每天戶外活動時間不足小時治愈率為，求近視學生被治愈的概率．
參考公式與數據：，其中．
16.本小題分
記的內角，，的對邊分別為，，，已知．
Ⅰ求；
Ⅱ若，，，邊上的中線，相交于點．
求；
求．
17.本小題分
已知函數．
討論的單調性；
若函數有兩個零點，求的范圍．
18.本小題分
已知拋物線：，點在的準線上，過焦點的直線與相交于，兩點，且為正三角形．
求的面積；
取平面外一點使得，設，為，的中點，若，求二面角的余弦值．
19.本小題分
若無窮數列，的各項均為整數，且滿足，則稱，是“和諧數列”．
若，求證：，是“和諧數列”；
若是等比數列，求證：，不是“和諧數列”；
若，，，，，，將的所有不同的值按照從小到大排列，構成數列；將的所有不同的值按照從小到大排列，構成數列，求證：，是“和諧數列”．
參考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：根據題意可知，名學生，其中有名同學的戶外活動時間超過小時，
名同學中近視的學生有人，這人中每天戶外活動時間不足小時的有人，
Ⅰ列聯表如下：
近視人數 未近視人數 合計
戶外活動時間不足小時
戶外活動時間超過小時
合計
零假設為：學生患近視與戶外活動時間長短無關，
根據列聯表中的數據，經計算得到：
，
根據小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即認為學生患近視與戶外活動時間長短有關聯，此推斷犯錯誤的概率不大于；
Ⅱ設事件“使用“物理藥物”治療方案并且治愈”，
事件“該近視同學每天戶外活動時間超過小時”，“該近視同學每天戶外活動時間不足小時”，則
，，且，，
則，
所以該近視學生使用“物理藥物”治療方案被治愈的概率為．
16.解：由正弦定理得，
，
，
，，
，
，，即；
，
；
在中，由余弦定理得，
即，
由題知是的重心，
，，
在中，由余弦定理得．
17.解：由題意可得，
當時，則，在上單調遞增；
當時，令，得，
令，解得，所以在單調遞增，
令，解得，所以在時單調遞減，
綜上所述，當時，在上單調遞增；
當時，在內單調遞減，在單調遞增；
由題意可得：，
令，即，
設，
則，
由，
令，得，令，得，
則在內單調遞減，在內單調遞增，
由題意可知：有兩個零點，則，解得，
若，令，
則，則，
可知在內有且僅有一個零點，
且當趨近于，趨近于，
可知內有且僅有一個零點，
即，符合題意，
綜上所述，的取值范圍為．
18.解：由已知得，準線方程為，
設直線的方程為，，，弦的中點，如圖所示，
聯立，消去并整理得，，
則，，所以，
所以，即，
所以，為等邊三角形，則，
否則時，不妨設，，
則由等邊三角形的對稱性可知的坐標只能是，但，
則設直線的方程為，即，所以點，
又，所以，解得，
所以，
又，故；
由題為正三棱錐，即，，
又正三棱錐各側面三角形都全等，所以，
而，，為，的中點，
從而，
所以，
因此，，，即，，兩兩垂直，故可將三棱錐補成如圖所示的正方體，
以為原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標系，如圖：
因為，所以，顯然，面，
故可取面的一個法向量，
又為的中點，則，且，
設平面的法向量，即，取，則，
由圖可知二面角是銳角，
則二面角的余弦值為．
19.解：證明：當為正偶數時，設，因為，
所以；
當為正奇數時，設，
因為，
所以．
綜上所述，，
因此，所以數列，是“和諧數列”；
證明：由于，因此，，
假設數列，是“和諧數列”，那么存在，使得，
由于數列是等比數列，因此，從而，因此．
由于存在，使得，又因為或，
因此或，
如果，由于，且數列是等比數列且各項均為整數，那么，，
因此公比為，所以，顯然，與假設矛盾；
如果，由于，且數列是等比數列且各項均為整數，
那么，為數列中的相鄰兩項，并且公比為，
因此不是整數，
因此數列中存在不是整數的項，與題意不符．
綜上所述，數列，不是“和諧數列”；
證明：對于任意，必存在，使得，
由于，，，，，，
那么中最大的值為，
最小的值是，共個不同的值，
因此可以取到中的所有整數．
由于，對每一個，存在唯一一組，，，，，，
使得，
若為奇數，令，
則，
其中為中一項，
設為為中一項，設為，所以；
若為偶數，令，則，
其中為中一項，
設為為中一項，設為，所以．
綜上所述，對于，
所以是“和諧數列”．
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