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2025年陜西省名校教育聯盟高考數學模擬試卷
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.將復數對應的向量繞原點按順時針方向旋轉，得到的向量為，那么對應的復數是( )
A. B. C. D.
2.已知甲船位于燈塔的北偏東方向，且與相距的處乙船位于燈塔的北偏西方向上的處若兩船相距，則乙船與燈塔之間的距離單位：為( )
A. B. C. D.
3.現有名男生和名女生計劃利用假期到某地景區旅游，由于是旅游的旺季，他們在景區附近訂購了一家酒店的間風格不同的房間，并約定每個房間都要住人，但最多住人，男女不同住一個房間，則女生甲和女生乙恰好住在同一間房的概率是( )
A. B. C. D.
4.若的展開式中常數項為，則的最小值為( )
A. B. C. D.
5.若，則正實數的取值范圍為( )
A. B. C. D.
6.圓錐曲線具有豐富的光學性質，在人教版版選擇性必修第一冊的閱讀與思考中提到了橢圓的光學性質：從橢圓的一個焦點發出的光線，經過橢圓反射后，反射光線交于橢圓的另一個焦點上，如圖如圖，已知為橢圓：的左焦點，為坐標原點，直線為橢圓的任一條切線，為在上的射影，則點的軌跡是( )
A. 圓 B. 橢圓 C. 雙曲性 D. 拋物線
7.已知數列滿足，記數列的前項和為，設集合，對恒成立，則集合的元素個數是( )
A. B. C. D.
8.設，，則滿足條件，的動點的變化范圍圖中陰影部分含邊界是( )
A. B. C. D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.若不等式恒成立，其中為自然對數的底數，則的值可能為( )
A. B. C. D.
10.已知直四棱柱，底面是菱形，，且，為的中點，動點滿足，且，，則下列說法正確( )
A. 當平面時，
B. 當時，的最小值為
C. 若，則的軌跡長度為
D. 當時，若點為三棱錐的外接球的球心，則的取值范圍為
11.從出生之日起，人的體力、情緒、智力呈周期性變化，在前天內，它們的變化規律如圖所示均為可向右無限延伸的正弦型曲線模型：
記智力曲線為，情緒曲線為，體力曲線為，且三條曲線的起點位于坐標系的同一點處，則( )
A. 體力曲線的最小正周期是三個曲線中最小的
B. 第天時，智力曲線與情緒曲線都處于上升期
C. 智力、情緒、體力三條曲線存在無數個公共點
D. 不存在正整數，使得第天時，智力、情緒、體力三條曲線同時處于最高點或最低點
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.數列滿足，則 ．
13.激活函數是神經網絡模型的重要組成部分，是一種添加到人工神經網絡中的函數函數是常用的激活函數之一、其解析式為則對于任意實數，函數至少有一個零點______．
14.已知平面向量，，，滿足，，，，且對任意的實數，均有，則的最小值為______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
為了檢測某種抗病毒疫苗的免疫效果，需要進行動物與人體試驗研究人員將疫苗注射到只小白鼠體內，一段時間后測量小白鼠的某項指標值，按，，，，分組，繪制頻率分布直方圖如圖所示試驗發現小白鼠體內產生抗體的共有只，其中該項指標值不小于的有只假設小白鼠注射疫苗后是否產生抗體相互獨立．
填寫下面的列聯表，并根據列聯表及的獨立性檢驗，判斷能否認為注射疫苗后小白鼠產生抗體與指標值不小于有關單位：只
抗體 指標值 合計
小于 不小于
有抗體
沒有抗體
合計
為檢驗疫苗二次接種的免疫抗體性，對第一次注射疫苗后沒有產生抗體的只小白鼠進行第二次注射疫苗，結果又有只小白鼠產生抗體．
用頻率估計概率，求一只小白鼠注射次疫苗后產生抗體的概率；
以中確定的概率作為人體注射次疫苗后產生抗體的概率，進行人體接種試驗，記個人注射次疫苗后產生抗體的數量為隨機變量試驗后統計數據顯示，當時，取最大值，求．
參考公式：其中為樣本容量參考數據：
16.本小題分
如圖，圓柱的底面半徑和母線長均為，是底面直徑，點在圓上且，點在母線上，，點是上底面上的一個動點若建系，請以，，為坐標軸建系
求平面與平面的夾角的余弦值；
若，求動點的軌跡形狀和長度；
若點只在上底面上的圓周上運動，求當的面積取得最大值時，點的位置可用坐標表示
17.本小題分
函數與圓錐曲線是我們高中最常見的只是板塊，現進行探究：
化簡，并求方程表示的曲線所圍成的圖形的周長．
已知曲線：，試研究曲線的范圍．
已知拋物線：上一點到焦點的距離為，拋物線上一點的縱坐標為，過點的直線與拋物線交于，兩個不同的點均與點不重合，連接，，若，所成角為直角，求關于直線對稱點．
18.本小題分
教育儲蓄是指個人按國家有關規定在指定銀行開戶、存入規定數額資金，用于教育目的的專項儲蓄，是一種專門為學生支付非義務教育所需教育金的專項儲蓄，儲蓄存款享受免征利息稅的政策若你的父母在你歲生日當天向你的銀行教育儲蓄賬戶存入元，并且每年在你生日當天存入元，連續存年，在你十八歲生日當天一次性取出，假設教育儲蓄存款的年利率為．
在你十八歲生日當天時，一次性取出的金額總數為多少？參考數據：
為了鼓勵學生參與社會實踐，銀行與某企業合作，為參與勤工儉學的學生提供以下三種薪資調整方案每月按天計算：
方案甲：每天工資固定為元方案乙：第天工資元，從第天起每天比前一天多元方案丙：第天工資元，以后每天工資是前一天的倍學生小張計劃勤工儉學個月，試分析小張應如何根據的值選擇薪資方案．
19.本小題分
函數同樣也是高中數學的一大板塊，現進行探究：
已知函數，若，則函數是否存在零點？
已知函數的定義域為，若存在實數，使得對于任意都存在滿足則稱函數為“自均值函數”，其中稱為的“自均值數”
試判斷函數是否為“自均值函數”．
若函數，有且僅有個“自均值數”，求實數的值．
若函數的周期為，圖像的一個對稱中心為，將函數圖像上所有點的橫坐標伸長為原來的倍縱坐標不變，再將所得圖像向右平移個單位長度后得到函數的圖像；
試判斷函數是否為“自均值函數”并說明理由．
是否存在，使得，，按照某種順序成等差數列？若存在，請求出該數列公差絕對值的取值范圍；若不存在，請說明理由．
參考答案
1.
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3.
4.
5.
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8.
9.
10.
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13.
14.
15.解：由題意可得：該項指標值不小于的有只，所以列聯表為：
抗體 指標值 合計
小于 不小于
有抗體
沒有抗體
合計
零假設注射疫苗后小白鼠產生抗體與指標值不小于無關，
根據表中數據可得，
依據小概率值的獨立性檢驗，推斷不成立，即認為注射疫苗后小白鼠產生抗體與指標值不小于有關．
由題意可得：，因為隨機變量，
則，即隨機變量的方差為．
16.解：由題意得，，，
如圖，以為原點建立空間直角坐標系，
因為圓柱的底面半徑和母線長均為，，
所以，，，
則，，
設平面的法向量為，
則，則，
令，解得，，
故平面的法向量為，
易知平面的法向量為，
設平面與平面的夾角為，
則．
設，則，，
因為，所以，則，
化簡得，即，
即動點的軌跡是圓心在原點，半徑為的圓，軌跡長度為．
由已知得，，
由模長公式得，
由題意得圓的方程為，
故設，
設到的距離為，而，
故當最大時，只需要保證最大即可，而，
則，
，
故，
由點到直線的距離公式得，
，
，
令，
則，
由二次函數性質得在上單調遞增，在上單調遞減，
則當時，取得最大值，則值最大，的面積最大，此時，
由同角三角函數的基本關系得，
故．
17.解：表示到和的距離之和為，
那么這是以和為焦點，長軸長度為的橢圓，
那么焦距，，所以，，所以，
所以可化簡為．
根據得：或或或，
因此方程表示、、、為頂點的正方形，如下圖所示，
那么正方形邊長為，周長為：．
當時，方程為，
當時，方程為，
所以由兩條射線和組成，如下圖所示，
所以，無最小值，所以的范圍為，．
因為點到焦點的距離為，所以，解得，所以點，
所以，又因為，所以，所以，拋物線方程為，
根據題意知：過點的直線斜率不為，
那么可設直線：，，，
因為直線，所以，所以；
根據得：，
所以根的判別式，根據韋達定理可得，，
因為，所以，
所以
，
所以
化簡得：，所以，
解得：或；
當時，，所以；
設，則，解得：，所以；
當時，，所以，滿足直線；
設，那么，解得：，所以．
綜上所述：或．
18.解：根據題目：若你的父母在你歲生日當天向你的銀行教育儲蓄賬戶存入元，并且每年在你生日當天存入元，
連續存年，在你十八歲生日當天一次性取出，假設教育儲蓄存款的年利率為．
得
，
即在你十八歲生日當天時，一次性取出的金額總數為元．
設小張參與勤工儉學的天數為，，
方案甲領取的報酬為；
方案乙每天的報酬與天數成首項為，公差為的等差數列，
由等差數列的求和公式可得領取的報酬為；
方案丙每天報酬與天數成首項為，公比為的等比數列，
由等比數列的求和公式可得領取的報酬為．
先令，即，解得舍去或，
所以當時，；當時，；
再比較和，當時，，，；
當時，，，；
最后比較和，由函數的增長快慢可得當時，，，；
當時，，，．
綜上，當天時，即個月時選擇方案甲；
當天時，選擇方案丙，即個月時選擇方案丙．
19.解：，，
令，，則．
因為的定義域為，故的零點與的零點相同，
所以下面研究函數在上的零點個數．
由，，得．
當時，在上恒成立，
所以在上單調遞增，
又，故此時有唯一零點；
當時，，
令，得，令，得．
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
所以，
令，則，
令，則，
易得在上單調遞增，在上單調遞減，
又，所以當時，，
當，即時，，
此時有唯一零點；
當，即時，則．
因為，所以在上有唯一的零點．
，
令，則，
所以，由知，，又，
所以在上存在唯一零點，不妨設，
所以在上有唯一的零點，
故在上有兩個零點；
當，即時，且，
由函數零點存在定理可得在上有唯一零點，
故在上各有一個唯一零點．
綜上所述，函數存在零點．
假定函數是“自均值函數”，顯然定義域為，
則存在，對于，存在，有，
即，依題意，函數在上的值域應包含函數在上的值域，
而當時，值域是，當時，的值域是，顯然不包含，
所以函數不是“自均值函數”．
依題意，存在，對于，存在，有，
即，
當時，的值域是，
因此在的值域包含，并且有唯一的值，
當時，在單調遞增，在的值域是，
由，得，
解得，此時的值不唯一，不符合要求，
當時，函數的對稱軸為，
當，即時，在單調遞增，在的值域是，
由，得，
解得，要的值唯一，
當且僅當，即，則，
當，即時，，，
，，
由且得：，此時的值不唯一，不符合要求，
由且得，，要的值唯一，當且僅當，解得，此時．
綜上得：或，
所以函數，有且僅有個“自均值數”，實數的值是或．
因為的周期，所以，
又是的一個對稱中心，所以，，
解得，，因為，所以，
從而，
函數圖像上所有點的橫坐標伸長為原來的倍縱坐標不變后的解析式為：，
從而再將所得圖像向右平移個單位長度后得到函數．
函數不是“自均值函數”，理由如下：
假定函數是“自均值函數”，顯然定義域為，
則存在，對于，存在，有，
即，依題意，函數在上的值域應包含函數在上的值域，
而當時，值域是，當時，的值域是，顯然不包含，
所以函數不是“自均值函數”；
由知，，，
假設存在，使得、、按照某種順序成等差數列，
當時，，則，，
所以，
故，即，
令，，
則，
故在上單調遞增，且在上連續，
故存在唯一的，使得，即成立，
即存在，使得，，或，，成等差數列，
所以公差的絕對值；
又，所以，
即該等差數列公差的絕對值的取值范圍為．
第1頁，共1頁

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