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2024-2025學年內蒙古呼和浩特二中高三（下）質檢數學試卷
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.集合，，若，則實數的取值范圍是( )
A. B. C. D.
2.已知復數滿足，則的虛部為( )
A. B. C. D.
3.函數的部分圖象大致為( )
A. B.
C. D.
4.已知，，，，且數列是等比數列，則“”是“”的( )
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分又不必要條件
5.已知定義在上的函數滿足，當時，，則( )
A. B. C. D.
6.已知函數，且，則實數的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
7.在正三棱臺中，，，與平面所成角為，則該三棱臺的體積為( )
A. B. C. D.
8.已知定義在上的函數滿足，且當時，，若方程有三個不同的實數根，則實數的取值范圍是( )
A. B. C. D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.已知，，，則下列不等式正確的是( )
A. B. C. D.
10.設函數，則( )
A. 當時，的極大值大于
B. 當時，無極值點
C. ，使在上是減函數
D. ，曲線的對稱中心的橫坐標為定值
11.已知函數及其導函數的定義域均為，記，且，，則( )
A. B. 的圖象關于點對稱
C. D.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知向量，的模相等且夾角為，若向量與向量垂直，則實數 ______．
13.若曲線：與曲線：存在公共切線，則的取值范圍是______．
14.已知函數有兩個零點、，且存在唯一的整數，則實數的取值范圍是______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
在中，內角，，所對的邊分別為，，已知．
求角的大小；
若的角平分線與邊相交于點，，，求的周長．
16.本小題分
如圖，在四棱錐中，平面平面，，，且．
證明：平面平面；
求平面與平面夾角的正弦值．
17.本小題分
已知數列滿足：，，．
記，求數列的通項公式；
記數列的前項和為，求．
18.本小題分
已知雙曲線：的右頂點，斜率為的直線交于、兩點，且中點．
求雙曲線的方程；
證明：為直角三角形；
經過點且斜率不為零的直線與雙曲線的兩支分別交于點，若點是點關于軸的對稱點，試問，不論直線的斜率如何變化，直線是否過定點？若過定點，求出定點的坐標；若不過定點，說明理由．
19.本小題分
已知函數．
判斷曲線是否具有對稱性，若是，求出相應的對稱軸或對稱中心，并加以說明；
若在定義域內單調遞增，求的取值范圍；
若函數有兩個零點，，證明：．
參考答案
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15.解：由及正弦定理，
可得，由，
可得，
又因為，所以，
所以，
整理得，
又，所以；
因為，
所以有，
由，，可得，
由余弦定理，有，
結合，可得舍負，
則的周長為．
16.解：證明：由題意，
則，
因為，，
所以，，
因為平面平面，平面平面，
且，平面，
所以平面，因為平面，
所以，且，，平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面；
如圖，以為原點，，所在直線分別為軸，軸，在平面內過點作平面的垂線為軸，建立空間直角坐標系，
則，，，，
所以，，，，
設平面的一個法向量，
則，令，得，
設平面的法向量，
則，令，得，
設平面與平面的夾角為，
則，
所以平面與平面夾角的正弦值為．
17.解：因為，
所以當時，有；當時，有，，
即，
因為，所以，
故數列是首項為，公差為的等差數列，
所以數列的通項公式為．
因為，
所以當時，有；當時，有，，
所以
．
18.解：設，，斜率為的直線交于、兩點，且中點．
則，，
，兩點在雙曲線上，
，由得，
即，，
，即，，
又，，
雙曲線的方程為：．
由已知可得，直線的方程為：，即，
聯立，，
則，，
，
，為直角三角形；
經過點且斜率不為零的直線與雙曲線的兩支分別交于點，設方程為，，
聯立直線與的方程，消去得，
因為直線與的兩支分別交于點，，
設，，
所以，得，
則，，，
因為，所以直線的方程為，
由對稱性可知，若直線過定點，則定點在軸上，
在直線的方程中，令，
得
，
直線過定點，定點坐標為．
19.解：令，
此時，
解得，
所以的定義域為，
因為，
所以具有中心對稱，對稱中心為點，
顯然不為常函數，
所以不具有軸對稱，
所以具有中心對稱，對稱中心為點；
因為，
可得，
若在定義域內單調遞增，
此時在上恒成立，
當時，，當且僅當時，等號成立，
所以，
解得，
則的取值范圍為；
證明：易知，
令，
解得，
此時，函數定義域為，
令，
解得，
設，函數定義域為，
可得，
當時，，單調遞增；
當時，，單調遞減，
所以，
當時，；當時，，
若函數有兩個零點，，
此時直線與函數的圖象有兩個交點，
則，
即，
又因為，
兩式相減得，
兩式相加得，
設，
令，
此時，
因為，
所以，
即，，
設，函數定義域為，
可得，
設，函數定義域為，
可得，
所以在上單調遞增，
此時，
即，單調遞增，
所以，
即，．
故．
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