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2024-2025學年甘肅省武威六中高三（下）模擬考試
數學試卷
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.已知集合，，則( )
A. B. C. D.
2.橢圓的離心率為( )
A. B. C. D.
3.：一元二次方程有實數根，：，是的條件
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要
4.已知，，則( )
A. B. C. D.
5.若正數，滿足，則的最小值為( )
A. B. C. D.
6.箕舌線是平面曲線的一種，因其狀如舌而得名若箕舌線的部分圖象如圖所示，則的解析式可能為( )
A. B.
C. D.
7.已知等差數列的前項和為，對任意的，均有成立，則的值的取值范圍是( )
A. B.
C. ， D.
8.在三棱錐中，，，，兩兩垂直，且該三棱錐外接球的表面積為，則該三棱錐的體積為( )
A. B. C. D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.已知，則下列不等式正確的是( )
A. B. C. D.
10.如圖，正三棱柱的各棱長均為，點是棱的中點，點滿足，點為的中點，點是棱上靠近點的四等分點，則( )
A. 三棱錐的體積為定值
B. 的最小值為
C. 平面
D. 當時，過點，，的平面截正三棱柱所得圖形的面積為
11.已知函數的定義域為，其導函數為，且，，當時，，則( )
A. 的圖象關于直線對稱 B. 在上單調遞增
C. 是的一個極小值點 D.
三、填空題：本題共3小題，共15分。
12.復數的實部與虛部之和為______．
13.我國古代名著張邱建算經中記載：“今有方錐，下廣二丈，高三丈欲斬末為方亭，令上方六尺問：斬高幾何？”大致意思是：“有一個正四棱錐的下底面邊長為二丈，高為三丈，現從上面截去一段，使之成為正四棱臺，且正四棱臺的上底面邊長為六尺，則截去的正四棱錐的高是多少？”按照上述方法，截得的該正四棱臺的體積為______立方尺注：丈尺．
14.在平面圖形中，與某點連接的線段的數量，稱為該點的度數在平面內有，，，，，，共個點任意三點均不共線，若將這個點用條線段兩兩相連，則的度數為______；若將這個點用條線段兩兩相連，且這個點的度數均大于，則不同的圖形的數量為______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
在中，內角，，對應的邊分別是，，，且．
求；
若的面積是，，求的周長．
16.本小題分
隨著技術的不斷發展，人工智能科技在越來越多的領域發揮著重要的作用某校在寒假里給學生推薦了一套智能輔導系統，學生可自愿選擇是否使用該系統完成假期的作業開學時進行了入學測試，隨機抽取了名學生統計得到如下列聯表：
使用智能輔導系統 未使用智能輔導系統 合計
入學測試成績優秀
入學測試成績不優秀
合計
判斷是否有的把握認為入學測試成績優秀與使用智能輔導系統相關；
若把這名學生按照入學測試成績是否優秀進行分層隨機抽樣，從中抽取人，再從這人中隨機抽取人，記抽取的人中入學測試成績優秀的人數為，求的分布列及數學期望．
附：，其中．
17.本小題分
如圖，在三棱錐中，平面，，．
求點到平面的距離；
設點為線段的中點，求二面角的正弦值．
18.本小題分
已知函數．
若曲線在處的切線的斜率為，求．
已知恰有兩個零點，
求的取值范圍；
證明：．
19.本小題分
設數列的前項和為，已知．
求數列的通項公式；
若數列滿足，數列的前項和為，都有，求的取值范圍．
參考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因為，
由正弦定理得：，
所以，
因為，所以，
所以；
由知，，且，所以，
因為，所以，則，
由余弦定理得：，即，
所以，
所以的周長是．
16.解：
，
沒有的把握認為入學測試成績優秀與使用智能輔導系統相關；
由題意可知，運用分層抽樣抽取人，
則成績優秀的人數為，
成績不優秀的人數為，
由題意可知，所有可能取值為，，，
，
，
，
故的分布列為：
．
17.解：因為平面，又平面，平面，
所以，，
又，由勾股定理得，
又，
所以，故BC，
因為，，，，平面，
所以平面，則為點到平面的距離，
故點到平面的距離為．
在平面內過點作的平行線，則，，，
以為坐標原點，以所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標系，
由勾股定理得：，
則，
，
設平面的法向量為，
則，即，即，
取，則，
設平面的法向量為，
則，即，即，
取，則，
所以，
記二面角的大小為，
則，
故二面角的正弦值為．
18.解：由題意得，
因為曲線在處的切線的斜率為，
所以，得．
由題意得，
若，則，單調遞減，所以在上不可能有兩個零點，
若，則當時，，單調遞減，
當時，，單調遞增，
所以，得，
當趨近時，趨近正無窮；當趨近正無窮時，趨近正無窮，
故的取值范圍為．
證明：由可得，則
兩式相加得，
由，得，
要證，只需證，
設，則，
當時，，單調遞減，
當時，，單調遞增，則，即，
因為，所以，即，
又，所以，
所以，
從而得證．
19.解：一方面：因為，
所以，
所以，
即；
另一方面：又時，有，
即，且，
所以此時；
結合以上兩方面以及等比數列的概念可知數列是首項為，公比為的等比數列，
所以數列的通項公式為；
由可知，
又由題意
，
數列的前項和為
，
又，都有，
故只需，
而關于單調遞增，
所以關于單調遞減，
關于單調遞增，
所以當時，
有，
因此，
即，解得，
綜上所述：的取值范圍為．
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