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黑龍江省大慶市2025屆高三下學期第三次教學質量檢測數學試卷
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.集合，則
A. B. C. D.
2.在等差數列中，若，則
A. B. C. D.
3.在復平面內，點對應的復數為，則
A. B. C. D.
4.若隨機變量，且，則的最小值為
A. B. C. D.
5.若，則
A. B. C. D.
6.如圖所示，在中，，，點是的中點，點在上，且若，則
A. B. C. D.
7.已知是定義在上的奇函數，是定義在上的偶函數，若函數的值域為，則函數的最大值為
A. B. C. D.
8.某商店店慶，每個在店內消費到一定額度的顧客都可以參與抽獎活動組織方準備了個盲盒，其中有個盲盒內有獎品抽獎規則為：抽獎者從這個盲盒中隨機抽取個盲盒，兌獎后組織方會再補回一個相同的盲盒，充分混合后，再由下一位抽獎者抽獎抽獎者甲先拿起了一個盲盒，在猶豫是否打開時，組織方拿走了一個沒有獎品的盲盒，最終甲選擇了另外一個盲盒打開，記甲中獎的概率為抽獎者乙在選盲盒時不小心碰掉了一個盲盒，并且發現摔裂的盲盒內沒有獎品，隨后乙從剩下的盲盒中選定一個盲盒打開，記乙中獎的概率為，則
A. B.
C. D. 無法確定與的大小關系
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.下列關于函數的說法正確的是
A. 要得到函數的圖象，只需將函數的圖象向右平移個單位
B. 函數的圖象關于對稱
C. 函數在區間上單調遞減
D. 若，且，則
10.在長方體中，已知，，分別為的中點，則
A. 平面
B. 若為對角線上的動點包含端點，則三棱錐的體積為定值
C. 棱錐的外接球的體積為
D. 若點為長方形內一點包含邊界，且平面，則的最小值為
11.過點向曲線引斜率為的切線，切點為，則下列結論正確的是
A. B.
C. D.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.的展開式中的系數為 ．
13.已知定義域為的函數滿足，且，則 ．
14.我國南北朝時期的數學家祖暅提出了用于計算體積的祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異”，它的意思可以描述為：夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果所截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等如圖，陰影部分是由雙曲線與它的漸近線以及直線所圍成的圖形，將此圖形繞軸旋轉一周，得到一個旋轉體，用祖暅原理可求得這個旋轉體的體積為 ．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
記的內角的對邊分別為已知．
求；
若，，求的面積．
16.本小題分
已知函數．
討論的單調性；
當時，，求實數的值．
17.本小題分
如圖，在直角梯形中，，，，已知在平面的同側，，平面平面，
求證：；
若，求直線與平面所成角的正弦值．
18.本小題分
已知橢圓的左、右焦點分別為，離心率，過作，交橢圓于點，且．
求橢圓的方程；
已知是橢圓上關于軸對稱的兩點，點在橢圓上，直線分別交軸于兩點．
證明：；
若點的坐標為，點為平面上一動點不在直線上，記直線的斜率分別為，且滿足判斷動點是否在定直線上？若在定直線上，求出該直線的方程；若不在，請說明理由．
19.本小題分
若數列滿足，則稱數列為項數列，由所有項數列組成集合．
若是項數列，當且僅當時，，求數列的所有項的和；
已知記
求取到最大值時的值；
若是兩個不同的數列，求隨機變量的分布列，并證明：．
參考答案
1.
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5.
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8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：解：已知，
由正弦定理得，即
由余弦定理可知，
又，所以
由，可知．
由正弦定理可知，
所以，
因為，所以，
又，所以，所以又
，
所以的面積為．
16.解：函數定義域為，，
當時，成立，此時在上單調遞減；
當時，因為時，，所以在上單調遞減；
因為時，，所以在上單調遞增．
綜上：當時，在上單調遞減；
當時，在上單調遞減，在上單調遞增．
由得，當時，，
要使不等式成立，只需使不等式成立，
即不等式成立，
令，，則，
令，則；令，則；
所以在上單調遞增，在上單調遞減，
所以，則恒成立，即恒成立，
所以要使成立，必有．
17.解：如圖，取的中點，連接，，
由，得，由，得，
因為，，平面，所以平面，
又平面，所以．
由知，，又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
過作，則平面，又，
以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，
在中，易得，所以，而，所以，
于是，，，，，，
所以，，，
因為，所以，所以
設為平面的法向量，
則，
取，得，
設直線與平面所成角的正弦值為，
所以，，
所以直線與平面所成角的正弦值為
18.解：因為離心率，所以，
所以
由，解得，，
所以橢圓的方程為．
設，，，，則
由，，三點共線可得，
所以，
同理由，，三點共線可得，
所以．，
結合，，故，
所以．
設，直線，
所以，，．
由于，
所以，即，
整理可得，
因為，
，
整理得．
因為不在直線上，
故，因為，
所以，即
所以，即．
由可知，
又，故，故點在定直線上．
19.解：因為是項數列，當且僅當時，，
所以當和時，．
設數列的所有項的和為，
則
，
所以數列的所有項的和為；
，，因為，所以，
所以，
設，，
則，
當，且，，，
當，，
當，且，，
所以取到最大值時，或．
因為數列，為兩個不同的項數列，
所以的可能取值為：，，，，．
當時，數列，中有項取值不同，有項取值相同，
又因為集合中有個項數列，
所以，
所以的分布列為：
因為，
所以

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