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江蘇省新高考基地學校2025屆高三第二次大聯考
數學試卷
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.已知集合，，則( )
A. B. C. D.
2.在復平面內，若對應的點在第二象限，則對應的點位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.已知向量，向量在上的投影向量，則( )
A. B. C. D.
4.將數列和的公共項從小到大排列得到數列，則下列所給的值中，使得的前項和最小的為( )
A. B. C. D.
5.若是定義在上的增函數，則“”是“”的( )
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
6.已知，若，，，，，，則( )
A. B. C. 或 D. 或
7.設函數的周期為，將的圖象向左平移個單位后關于原點對稱，且在區間內的零點與極值點恰好共有個，則( )
A. B. C. D.
8.已知雙曲線的兩個焦點為，，，是的右支上兩點若，，且，則的離心率為( )
A. B. C. D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.賦分是根據考生原始分數在全體考生中的排名比例進行轉化的，在一次模擬考試中，某班名同學的地理科目的原始分與賦分如下表：
學號
原始分
賦分
記這名同學在這次模擬考試中的地理科目的原始分為數據甲，賦分為數據乙，則( )
A. 甲的平均數小于乙的平均數 B. 甲的中位數小于乙的中位數
C. 甲的極差小于乙的極差 D. 甲的方差小于乙的方差
10.在正四棱錐中，側棱與底面邊長相等，，分別是和的中點，則( )
A. B. 平面 C. D. 平面
11.在直角坐標系中，，，是曲線上一點，則( )
A. B.
C. D.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知函數且是偶函數，則 ．
13.在正三棱臺中，，經過三條側棱中點的平面將正三棱臺分成兩部分若兩部分的體積之差為，則該三棱臺的體積為 ．
14.記的內角，，的對邊分別為，，，為的中點，為邊上一點，設，且，則 的最小值為 ．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
如圖，在正三棱柱中，，分別是和的中點．
證明：平面平面
若，平面與平面夾角的余弦值為，求該三棱柱的體積．
16.本小題分
袋中裝有個紅球和個黑球，第一次隨機取出個小球，若是紅球則放回，否則不放回．
第二次隨機取出個小球，求兩次取出的球顏色相同的概率
第二次隨機取出個小球，記兩次取出紅球的個數為，求的概率分布列及數學期望．
17.本小題分
已知拋物線的焦點為，過點的直線與交于，兩點．
若是，的等比中項，求直線的方程
若是上一點，且直線的斜率為，證明：直線經過定點．
18.本小題分
設，曲線在處的切線方程為．
求，的值
證明：
若存在兩根，，且，證明：．
19.本小題分
在數列中，，記，且．
證明：是等差數列
求數列的前項和
數列的前項組成集合，集合，的元素個數記為設，，若，求的最大值．
參考答案
1.
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4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.證明： 在正三棱柱中，，分別是和的中點．
是等腰三角形， 則．
設的中點為，則，．
四邊形是平行四邊形 ．
是的中點且．
．
又，平面，平面，
平面．
又平面，
平面平面．

以直線，，分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，
則，
，
設平面的一個法向量為，平面一個法向量為，
則，取得
又平面與平面夾角的余弦值為，
，
三棱柱的體積為．
16.解：第一次取紅球概率，放回后第二次取紅球的概率仍為，對應概率為，
第一次取黑球概率，不放回后第二次取黑球的概率為，對應概率為，
顏色相同的概率為．
不可能第二次取球至少紅，故，
第一次取紅放回，第二次取紅：，
第一次取黑不放回，第二次取紅：，
總概率，
第一次取紅放回，第二次取紅黑：，
第一次取黑不放回，第二次取紅：，
總概率，
第一次取紅放回，第二次取紅：，
．
17.解：由題意，
設直線的方程為，
代入可得：，
設，
則．，解得或，
，，
，
因為，
因為是，的等比中項，所以，
則，解得：，舍去，
故直線的方程為．
設，
因為直線的斜率為，
所以，則．
即．
直線的斜率，
直線的方程為：，
即得．
化簡得．
而
因為，，代入上式得，
所以，
所以直線經過定點．
18.解：因為，所以，即，
因為，所以點在直線上，
即，所以．
由知，切線的方程為，
所以要證，即證，
設，
則，
當時，，，遞增
當時，，，遞減，
所以，當且僅當時，等號成立，
所以．
因為，當時，，遞減
當時，，遞增所以
又當趨于負無窮時，，
所以存在兩根，，
有，且，
首先證明：，即證，
因為在上遞減，所以只要證，
即證，
設，，
因為，
所以在上遞增，所以，
所以，
其次證明：，
因為在處的切線為，
由知，，當且僅當時等號成立，
所以，
即，所以，
綜上，．
19.解：由，兩邊平方得，
因為，同理，
兩式相減：，
即，
因為，約去，得，
又，故是以為首項，為公差的等差數列．
由知，
累加法得：，
所以，
則，
前項和：．
數列前項為，，，，，
設對應下標集合，
需滿足對應，
取，此時，
而，滿足條件，
故，即的最大值為．
設，，，且，
因為
都是的元素，所以至少個元素．
因為都為的元素，所以至少個元素，所以至少個元素．
因為，的最小元素為，最大元素為，且任意兩個元素的差的絕對值不小于，元素個數不超過，
所以，所以，即．
取，共個元素，此時，，滿足，所以的最大值為綜上，集合的元素個數的最大值為．

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