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湖北省武漢市2025屆高中畢業生四月調研考試數學試卷
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.已知集合，，則( )
A. B. C. D.
2.數列的通項公式為，為其前項和，則的最小值為( )
A. B. C. D.
3.若向量，滿足，，且，則向量和向量的夾角為( )
A. B. C. D.
4.隨著的流行，各種大模型層出不窮，現有甲、乙兩個大模型，在對甲、乙兩個大模型進行深度體驗后，位評委分別對甲、乙進行打分滿分分，得到如圖所示的統計表格，則下列結論不正確的是( )
甲
乙
A. 甲得分的平均數大于乙得分的平均數 B. 甲得分的眾數大于乙得分的眾數
C. 甲得分的中位數大于乙得分的中位數 D. 甲得分的方差大于乙得分的方差
5.若，則的值為( )
A. B. C. D.
6.在中，內角，，的對邊分別是，，，且，，面積為，為邊上一點，是的角平分線，則( )
A. B. C. D.
7.已知正四棱錐的側棱長為，當該棱錐的體積最大時，它的高為( )
A. B. C. D.
8.已知連續型隨機變量服從正態分布，記函數，則的圖象( )
A. 關于直線對稱 B. 關于直線對稱
C. 關于點成中心對稱 D. 關于點成中心對稱
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.若復數，則( )
A.
B.
C. 在復平面內對應的點位于第四象限
D. 復數滿足，則的最大值為
10.已知數列滿足，的前項和為，則( )
A. B. 數列是等比數列
C. ，，構成等差數列 D. 數列前項和為
11.已知曲線，為曲線上任一點，則下列說法中正確的有( )
A. 曲線與直線恰有四個公共點 B. 曲線與直線相切
C. 是關于的函數 D. 是關于的函數
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.雙曲線的離心率為，則 ．
13.為了響應節能減排號召，某地政府決定大規模鋪設光伏太陽能板，該地區未來第年底光伏太陽能板的保有量單位：萬塊滿足模型，其中為飽和度，為初始值，為年增長率若該地區年底的光伏太陽能板保有量約為萬塊，以此為初始值，以后每年的增長率均為，飽和度為萬塊，那么年底該地區光伏太陽能板的保有量約 萬塊結果四舍五入保留到整數，參考數據：，，
14.在各棱長均相等的正四面體中，取棱上一點，使，連接，，三棱錐的內切球的球心為，三棱錐的內切球的球心為，則平面與平面的夾角的正弦值是 ．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
如圖，在直三棱柱中，，，，上的點滿足．
求證：平面
求平面與平面夾角的余弦值．
16.本小題分
已知函數．
若在處的切線斜率為，求
若恒成立，求的取值范圍．
17.(本小題15分)
13張大小質地完全相同的卡牌中有八張數字牌,正面標有1~8,此外還有五張字母牌,正面標有A~E,將這十三張牌隨機排成一行.
(1)求五張字母牌互不相鄰的概率;
(2)求在標有8的卡牌左側沒有數字牌的概率;
(3)對于給定的整數k(1k8),記“在標有k的數字牌左側,沒有標號比k小的數字牌”為事件,求發生的概率.(結果用含k的式子表示)
18.本小題分
已知集合，集合滿足且．
判斷，，，中的哪些元素屬于
證明：若，，則
證明：若，則．
19.本小題分
如圖，橢圓，，已知右頂點為，且它們的交點分別為，，，．
求與的標準方程
過點作直線，交于點，交于點，設直線的斜率為，直線的斜率為，求上述各點均不重合
點是上的動點，直線交于點，直線交于點，直線交于點，直線與直線交于點，求點坐標，使直線與直線的斜率之積為定值上述各點均不重合
參考答案
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
9. 10. 11.
12.
13.
14.
15.解：證明：因為三棱柱為直三棱柱，所以平面，
因為平面，
所以．
因為，，，平面
所以平面B.
因為平面，
所以．
因為，，，平面C.
所以平面C.
由知，，兩兩垂直，
以為原點，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標系．
已知，，
則，，．，
設平面的法向量為，，設，
因為，
，，由，
即，解得，所以．
由，將向量坐標代入可得，令，
則平面的一個法向量為．
設平面的法向量為，，．
由，將向量坐標代入可得，令，則，，
所以平面的一個法向量為．
則，．
所以平面與平面夾角的余弦值為．
16.解：，
則，
因為函數在處的切線斜率為，
所以，
解得．
恒成立，
即為恒成立，
即恒成立，
令，
則，
可知函數在上單調遞減，
且，，
則存在，使得，
當時，，此時；
當時，，此時；
則函數在上單調遞增，在上單調遞減，
可得，
由，可得，，
即，，
則，可得，
即實數的取值范圍為．
17.解：（1）13張牌全排列，共有種排法.
五張字母牌互不相鄰，
先排八張數字牌，共有種排法.
將8張數字牌排好, 形成8+1=9個間隔.
從這9個間隔中選5個放置字母牌,共有種排法.
則五張字母牌互不相鄰的排法有種.
所以五張字母牌互不相鄰的概率為==；
（2）當標有8的卡牌在左端第一個時，剩下12張牌可以隨意排列，共有種排法.
當標有8的卡牌在左端第二個時，先從5個字母牌里選一個排在左端第一位，再將剩下11張牌全排列，共有種排法.
當標有8的卡牌在左端第三個時，先從5個字母牌里選兩個排在標有8的卡牌的左側，再將剩下10張牌全排列，共有種排法.
當標有8的卡牌在左端第四個時，先從5個字母牌里選三個排在標有8的卡牌左側，再將剩下9張牌全排列，共有種排法.
當標有8的卡牌在左端第五個時，先從5個字母牌里選四個排在標有8的卡牌左側，再將剩下8張牌全排列，共有種排法.
當標有8的卡牌在左端第六個時，將5個字母牌排在標有8的卡牌左側，再將剩下7張牌全排列，共有種排法.
所以在標有8的卡牌左側沒有數字牌的概率為
==；
（3）當k=1時，顯然此時=1，
當k=2時，標有2的牌左側無更小數字牌,即2一定在標有1的牌的左側，此時共有種情況，
所以==，
當k=3時，標有3的牌左側無更小數字牌,即3一定在標有1，2這兩張牌的左側，此時共有種情況，
所以==，
當標有k的數字牌左側,沒有標號比k小的數字牌時，即標有k的牌必須位于這k-1張牌的最左側，此時共有種情況，所以==，
綜上所述，發生的概率為.
18.解：，屬于，，不屬于．
因為，且滿足，故；
因為，而，故；
因為，而無意義，故；
因為，且滿足，故；
若，，
不妨設，，，，，，
由，得，即，，
由，得，即，，
則，
由，，，可知，，故；
，
由，，，，
可得，
，
故，即滿足且，故，得證；
若，
則，且，
則，
故，，且，，
記，則存在，，使得，，
則，即，
又，，，，故
當時，，即，
當為偶數時，設，，
，即能被整除；
當為奇數時，設，，
，即被整除余．
故為能被整除或被整除余的數；
當為偶數時，設，，
，即被整除余；
當為奇數時，設，，
，即被整除余．
故為能被整除余或余的數，
所以不存在與使得成立，
故，證畢．
19.解：由題意可得：，解得
所以橢圓的標準方程為，橢圓的標準方程為．
先證結論：已知關于原點對稱，對于橢圓上任一點可得有意義的前提下，
因為，
且在橢圓上，則，兩式相減可得，
整理可得，所以，
由題意可知：直線的斜率存在且不為，設為，
則，
所以；
由設直線，，，
聯立方程，消去可得，
由題意可得：，即，
可得，即，
又，則直線的斜率，
可得直線：，
同理可得，
又則直線的斜率，
可得直線：，
同理可得，
則直線的斜率，
可得直線：，
聯立方程，解得
即，可得
設，，
整理可得
，
由題意可得，解得
即存在點，使得．
第1頁，共1頁

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