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2025年浙江省嘉興市高考數學模擬試卷（4月份）
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.復數的虛部是( )
A. B. C. D.
2.關于的不等式的解集為( )
A. B. C. D.
3.在所在平面內，點滿足，記，，則( )
A. B. C. D.
4.“”是“圓：不經過第三象限”的( )
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
5.若某正四面體的內切球的表面積為，則該正四面體的外接球的體積為( )
A. B. C. D.
6.已知拋物線：，其準線為，焦點為，過的直線與和從左到右依次相交于，，三點，且，則和的面積之比為( )
A. B. C. D.
7.已知函數的定義域為，且，，，則( )
A. B. C. D.
8.甲、乙、丙三人玩傳球游戲，每次傳球時，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個人中的任何一人，若第一次由甲傳出，則經過次傳球后，球恰在乙手中的概率為( )
A. B. C. D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.下列說法正確的是( )
A. 殘差越小，模型的擬合效果越好
B. 若隨機變量，則
C. 數據，，，，，，的第百分位數是
D. 一組數，，，的平均數為，若再插入一個數，則這個數的方差不變
10.已知，則下列說法正確的是( )
A. 在區間上單調遞增
B. 將函數的圖象向右平移個單位長度后得到曲線，則曲線關于原點對稱
C. 若是偶函數，則
D. 若在區間上恰有個零點，則
11.用筆從空間多面體的一個頂點出發，沿棱畫線，不間斷、不重復，最終回到起點或到達另一個頂點的過程稱為“筆”現定義：如果遍歷一個空間多面體所有的頂點和棱至少需要筆，則該多面體稱為筆畫多面體那么下列說法正確的是( )
A. 五棱錐是筆畫多面體 B. 正方體是筆畫多面體
C. 棱錐是筆畫多面體 D. 棱柱是筆畫多面體
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.的展開式中的系數為______．
13.記的內角，，的對邊分別為，，，已知，則 ______．
14.設函數，若方程在區間上有解，則實數的取值范圍為______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
已知函數．
求曲線在點處的切線方程；
求函數在區間上的最大值．
16.本小題分
如圖，在邊長為的正三角形中，，分別為，的中點，將沿翻折至，使得．
證明：平面平面；
求直線與平面所成角的正弦值．
17.本小題分
記為數列的前項和，已知，，數列滿足
求數列的通項公式；
記數列的前項和為，若對任意，，求實數的取值范圍．
18.本小題分
已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，離心率為過點的直線分別交的左、右兩支于，兩點，且．
求的值；
求的取值范圍；
若，證明：
19.本小題分
記集合，為集合的兩個子集，且滿足，定義：分別表示集合，中所有元素的和．
當時，求的所有可能的值；
求的最小值；
設為不超過的自然數，且與的奇偶性相同，證明：存在，，使得．
參考答案
1.
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13.
14.
15.解：由題意可得，所以，又，
由直線的點斜式方程可得在處的切線方程為，即；
因為的定義域為，
令，得或，
所以當時，；當時，，
則在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，
又，，，
所以在區間的最大值為．
16.證明：連接，為等邊三角形，為中點，則，
又，且平面，平面，，平面，
又平面，平面平面．
解：過點作，垂足為，平面平面，且平面平面，平面，
又，分別為，中點，
翻折后，，，由對稱性可知，
又，，由等面積得，
設直線和平面所成角為，點到面的距離為，
由，得，
又，，
，，故直線與平面所成角的正弦值為．
17.解：由，，可得，
解得舍去，
當時，，
化為，
由，可得，
即有數列是首項為，公差為的等差數列，則；
數列滿足，，
則當為偶數時，，
由任意，，可得恒成立，由在時取得最小值，
可得；
當為奇數時，，
由任意，，可得恒成立，由在時取得最小值，
可得；
綜上，可得，即的取值范圍是．
18.解：如圖，
設直線與軸所成銳角為，
則，同理得出，
因為，即，即，
因為，同號且，得，
所以，則；
設直線為，聯立，得，
則，，；
因為直線交的左、右兩支于、兩點，
所以，則，
由知，即，
化簡得，
由，所以，
即，則；
證明：當時，則，，由得，
設、的中點為，
則，，
又，所以，
那么，所以，根據三線合一可知，
19.解：若，由于，的對稱性，
只需考慮以下情況：，，；，，；
，，；，，；
，，；，，；
，，；，，．
所以的所有可能值為：，，，，，．
首先計算時：令，，
觀察可知，，且集合，均有項，且這首尾相加為，
所以，所以，即此時的最小值為對于其它情況：當時，
由為奇數，
由知為奇數，考慮的子集，中有項，
那么參照上面證明存在，滿足，
對于其它情況：當時，由為奇數，
由知為奇數，考慮的子集，中有項，
那么參照上面證明存在，滿足，現令，，可知，
即此時最小值為；當時，為奇數，為奇數．
考慮的子集中有項，那么參照上面證明存在，滿足，
現令，，可知，即此時最小值為；
當時，為偶數，為偶數，
考慮的子集，中有項，
那么參照上面證明存在，滿足，現令，，
可知，即此時最小值為．
綜上所述可知當或時，，或時，．
證明：首先證明與的奇偶性相同：由題意知，
所以，因為是偶數，所以對于任意的，，與的奇偶性相同．
下面用數歸法證明：當與奇偶性相同且時，
存在，滿足當或時，由可知存在，滿足，
假設時成立為小于且與其奇偶性相同自然數，
即此時存在，滿足，由于，
不妨令若此時，則可令，那么，
即說明時命題成立，若此時，必存在正整數滿足且否則有，，
此時有，令，，
此時，滿足：，即時命題立，由歸納法可知命題成立．
當時，令，，，綜上所述命題成立．
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