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2025年貴州省遵義市高考數學三模試卷
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.已知集合，，則( )
A. B. C. D.
2.某班名學生的物理成績按從小到大的順序排列如下：，，，，，，則這組數據的分位數是( )
A. B. C. D.
3.已知角的頂點與坐標原點重合，始邊與軸的非負半軸重合，終邊與直線位于第三象限的圖象重合，則( )
A. B. C. D.
4.航天器的軌道校準任務中，在二維定位平面內，控制中心需要將坐標是的衛星進行三次平移單位：千米：第一次沿向量補償平移；第二次沿向量修正平移；第三次沿向量校準平移若衛星最終精準到達坐標是的同步軌道點，則實數( )
A. B. C. D.
5.已知隨機變量服從正態分布，且，則( )
A. B. C. D.
6.已知函數和其中且，若與的圖象有一個交點的橫坐標為，則實數( )
A. B. C. D.
7.已知的周長為，，當的面積最大時，則的內切圓半徑為( )
A. B. C. D.
8.已知正方體的棱長為，在線段上運動，是棱的中點，則下列選項正確的是( )
A. 直線與直線是異面直線
B. 直線與平面所成角為，則的最大值是
C. 動點在正方體的表面上運動，若，則點的軌跡長度是
D. 以點為球心，為半徑的球面與側面的交線長度是
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.已知復數為虛數單位，則下列選項正確的是( )
A. 若，，則為純虛數
B. 若，則
C. 若，則
D. 若且，則在復平面內對應的點位于第四象限
10.已知曲線：，則下列選項正確的是( )
A. 若，則曲線的離心率為
B. 若，則曲線為橢圓
C. 若，則曲線的實軸長為
D. 若曲線是焦點在軸上的雙曲線，則焦點到漸近線的距離為
11.六藝是中國古代君子的六門必修課，即禮、樂、射、御、書、數禮記射義：“射者，仁之道也射求正諸己，已正而后發；發而不中，則不怨勝己者，反求諸己而已矣”若甲、乙兩人玩射箭游戲，規則如下：每次由其中一人射箭，若中靶，則此人繼續射箭；若未中靶，則換對方射箭已知甲每次射箭命中的概率均為，乙每次射箭命中的概率均為，由抽簽確定第次射箭的人，甲、乙抽中的機會均等，則下列選項正確的是( )
A. 第次射箭的人是甲的概率為
B. 在第次射箭的人是甲的條件下，第次射箭的人是乙的概率為
C. 在前次射箭中，甲只射箭次的概率為
D. 若第次射箭的人是甲的概率為，則
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知點在拋物線：上，的焦點為，則 ______．
13.某市舉行數學“”節競賽活動，某學校有名數學成績優秀的學生，其中名男生名女生，該學校需從中選派人組成代表隊參賽，其中男生甲和女生乙至少有一人入選，不同的選派方法共有______種數字作答．
14.蝴蝶曲線是一種優美的數學曲線，因其形狀宛如一只蝴蝶而得名，由美國南密西西比大學的坎普爾費伊于年發現它不僅是數學與美學結合的經典案例，也是非線性動力學系統的典型案例，更在計算機編程、藝術設計、科學研究和工程領域，展現了跨學科的應用潛力其核心價值在于將抽象的數學方程轉化為可視化的動態圖形，成為連接理性與感性的橋梁已知某種蝴蝶曲線，如圖所示，在平面直角坐標系中，曲線的方程為：若點在上運動，為坐標原點，則的最大值為______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
已知函數．
求函數在點處的切線方程；
若，求的最小值和最大值．
16.本小題分
為進一步滿足居民“五一”假期的消費需求，營造歡樂的節日氛圍，某商場計劃月日發起“年歡樂購普惠消費券”活動據悉，本次消費券分別為“滿元減元”和“滿元減元”兩種類型節日期間每位進該商場的顧客可抽取兩種不同類型的消費券各次，已知抽中消費券“滿元減元”的概率為，抽中消費券“滿元減元”的概率為，且各次是否抽中消費券互不影響．
求某天某顧客至少抽中一次消費券的概率；
設某天某顧客獲得的消費券獎金如：滿元減元，記消費券獎金為元為隨機變量，求的分布列及數學期望．
17.本小題分
在多面體中，已知四邊形是邊長為的正方形，，，，平面平面，為線段的中點．
若平面平面，求證：；
在線段上是否存在一點，使得平面平面？若存在，求的值；若不存在，說明理由．
18.本小題分
在數列中，若以相鄰三項，，為線段長度能構成一個三角形，則記這個三角形為且這三邊所對的角分別為，，．
在中，以，，為線段長度，能否構成一個三角形？并說明理由；
在中，，，成等差數列，且是等比數列判斷的形狀，并證明；
若是等差數列，，公差，且存在，使得的最大內角為，求公差的值．
19.本小題分
在復平面上，復數對應的點為，且復數滿足的方程為．
判斷點的軌跡是什么曲線？并說明理由；
記點的軌跡為曲線，是上任意一點，定義變換：，變換后的點形成曲線，再將曲線沿向量平移得到曲線．
求曲線在平面直角坐標系下的方程；
已知，，設過點的直線與曲線交于，兩點異于點，的外心為設直線的斜率為，直線的斜率為，求的值．
參考答案
1.
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4.
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8.
9.
10.
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13.
14.
15.解：函數，則，
則，又，
所以函數在點處的切線方程為，即；
，，
令，可得，
當時，，單調遞減，
當時，，單調遞增，
所以的極小值也是最小值為，
又，
，
所以的最大值為，最小值為．
16.解：設事件“某天某顧客至少抽中一次消費卷”，
事件“某天某顧客抽中滿元減元消費卷”，
事件“某天某顧客抽中滿元減元消費卷”，
則，
所以某天某顧客至少抽中一次消費券的概率為；
的可能取值為：，，，，
，
，
隨機變量的分布列為：


，
所以的數學期望為．
17.證明：連接，與交于點，連接，
因為正方形，所以是的中點，
又為線段的中點，所以，
因為平面，平面，
所以平面，
又平面，平面平面，
所以．
解：存在，，理由如下：
由題意知，，
因為平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又，，所以，
故以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，，，
設，，則，
所以，，，
設平面的法向量為，則，
取，則，所以，
設平面的法向量為，則，
取，則，所以，
因為平面平面，
所以，解得，
即．
18.解：能．由正弦定理，可得，
所以：：：：，
因為，，是的三邊，
所以，，為邊長的三角形與相似．
故以，，為線段長度，能構成一個三角形．
證明：經判斷，是等邊三角形．
證明如下：由題意可得，又，
所以，又因為是等比數列，
所以由余弦定理，可得，
即即，
所以又因為，所以三角形是等邊三角形．
因為，，，，
由余弦定理得，
即化簡得，
即因為，，故解得，
當時，；當時，；當時，，舍去．
驗證：當時，三邊為，符合題意．當時，三邊為，，，符合題意．
綜上，的值為或．
19.解：設，則，
表示點到距離之和為，
所以點的軌跡為，長軸為的橢圓．
由，，，則：，
因為是上任意一點，
所以設，
由題
，
設點在實平面內的坐標為，，
則，
所以．
又沿向量平移得到曲線，
在平面直角坐標系下的方程為：．
由題，設，，
由已知直線的斜率存在，且顯然不為零，
可設直線方程為：，
由，
消去并化簡可得：，
判別式，
，，
設過，，三點的圓方程為：，
又，
所以，
所以，
因為，在橢圓上，
所以，，
所以，
所以，
，
，
因為，所以，
所以，
化簡得，
由圓的一般方程可知三角形的外接圓的圓心為，
則，又，
所以．
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