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2025年遼寧省丹東市高考數學質檢試卷（一）
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.已知集合，，則( )
A. B. C. D.
2.已知向量，則與的夾角為( )
A. B. C. D.
3.圓：關于軸對稱的圓的圓心坐標為( )
A. B. C. D.
4.已知隨機變量，且，則( )
A. B. C. D.
5.已知函數在上單調遞增，且，則實數的取值范圍為( )
A. B. C. D.
6.已知，是雙曲線的兩個焦點，為上一點，且，，則的離心率為( )
A. B. C. D.
7.已知，，則( )
A. B. C. D.
8.已知圓臺的上，下底面的直徑分別為和，母線與下底面所成角為，則圓臺的外接球表面積為( )
A. B. C. D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.已知復數，則下列說法正確的是( )
A. 若，則 B. 若，則
C. 若，則的虛部為 D. 若，則
10.已知函數，其中相鄰的兩條對稱軸間的距離為，且經過點，則( )
A. B. 在區間上單調遞增
C. D. 在上有個解
11.設正實數，滿足，則( )
A. 有最大值為 B. 有最小值為
C. 有最小值為 D. 有最大值為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知實數，滿足，，則 ______．
13.將個和個隨機排成一行，則個不相鄰的排法有______種用數字作答
14.已知，為橢圓的左右焦點，直線：與相切于點點在第一象限，過，作，，垂足分別為，，為坐標原點，，則 ______，的方程為______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
為調查居民購車傾向與性別的關系，對某地區隨機抽查了名居民進行調查，得到如下表格：
購買傾向 合計
新能源車 燃油車
男
女性
合計
求，；
根據小概率值的獨立性檢驗，能否認為居民的購車傾向與性別有關？
從傾向燃油車的人中按性別分層抽樣抽取人，再從這人中任選人，求選中男性的人數的分布列和期望．
附：，
16.本小題分
已知函數．
求在處的切線方程；
證明：當時，；
若在上單調遞增，求整數的最大值．
17.本小題分
記為數列的前項和，．
求；
求證：數列是常數列；
設，求數列的前項和．
18.本小題分
如圖，在三棱錐，點是邊長為的等邊的重心，，，點在棱上，且，是的中點．
求證：平面；
設過點，，的平面為，與此三棱錐的面相交，交線圍成一個多邊形．
請在圖中畫出這個多邊形不必說出畫法和理由，并求出將三棱錐分成兩部分的幾何體體積之比；
求與平面所成角的正弦值．
19.本小題分
記為坐標原點，點在拋物線上，在第一象限，，兩點位于軸上，已知圓：經過點，且圓內切于．
求拋物線的準線方程；
若，求點的坐標及的長；
求面積的最小值．
參考答案
1.
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5.
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8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由表格數據可算得，；
零假設：居民的購車傾向與性別無關聯，
計算可得，
根據小概率值的獨立性檢驗，可知零假設不成立，
即可以認為居民的購車傾向與性別有關；
從傾向燃油車的人中按性別分層抽樣抽取人，則男性有人，
女性有人，設選中男性的人數為，則的所有可能取值為，，，
所以，，，
則隨機變量的分布列如下表所示：
所以．
16.解：因為，
則，
所以在處的切線的斜率為，且，
則在處的切線方程為，即；
證明：因為，
令，
在上恒成立，
即在上單調遞增，所以，
即時，成立；
由，
由可知，當時，，則在上單調遞增，
，
由零點存在定理可知，使得，
則在上單調遞減，在上單調遞增，
因為，滿足，即，所以整數的最大值為．
17.解：因為為數列的前項和，，
所以當時，，所以；
證明：因為為數列的前項和，，
所以當時，，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以數列是常數列；
由知，
所以，所以，
所以，
所以，
可得，
所以．
18.解：證明：因為點是等邊的重心，連接并延長交于點，
所以是的中點，連接，
在中，，
所以，
平面，平面，
所以平面．
是等邊三角形，為重心，是的中點，
所以，，三點共線，連接，
所以的三邊是與三棱錐的面的交線，
則兩部分的幾何體分別為三棱錐和四棱錐，
設，，三棱錐的高為，
則，
，
所以，
即，
所以三棱錐的體積與四棱錐的體積之比為：．
(ⅱ)取的中點，連接，，，，，，平面，
所以平面，平面，則平面平面，
以為坐標原點，的方向為軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，
可知軸在平面內．
，設，
，解得，
所以，
由，得，
因為，
設平面的法向量，
則，由，可得，
可取，
設平面的法向量，
則，由，可得，
可取，
所以，
設平面與平面所成角為，
則，
所以與平面所成角的正弦值為．
19.解：圓經過，有，則，所以拋物線的準線方程為．
因為，由題意可知，點位于點的上方，則直線的傾斜角為，
設與圓切于點，所以由直角三角形中角所對直角邊等于斜邊的一半可得與軸的交點為，
設聯立，得，則或舍，
所以點的坐標為，
過點作軸，垂足為，，所以是等腰直角三角形，
則，所以，所以，且有，
，
所以，即．
設，，，不妨設，
直線，圓心到直線的距離為，，整理得，
同理直線，得，
所以，是方程的兩個根，則有，
則，所以，
所以面積，
令，，
所以，
當且僅當，即，時，等號成立，
所以當時，面積的最小值為．
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