資源簡介

2024-2025學年江西省南昌市高三（下）4月月考
數學試卷
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.設，為兩個不同的平面，則的一個充分條件是( )
A. 內有無數條直線與平行 B. ，平行于同一個平面
C. ，平行于同一條直線 D. ，垂直于同一個平面
2.已知復數滿足，則( )
A. B. C. D.
3.已知集合，則( )
A. B. C. D.
4.在中，角，，的對邊分別是，，，若，，則( )
A. B. C. D.
5.如圖是江西省博物館中典藏的元青白釉印花雙鳳紋碗，高，口徑，若將該碗的內表面近似于一個球面的一部分，則這個球的半徑近似于( )
A.
B.
C.
D.
6.已知、終邊不重合，，則( )
A. B. C. D.
7.將雙曲線繞其中心旋轉一個合適的角度，可以得到一些熟悉的函數圖象，比如反比例函數，“對勾”函數，“飄帶”函數等等，它們的圖象都能由某條雙曲線繞原點旋轉而得現將雙曲線繞原點旋轉一個合適的角度，得到“飄帶”函數的圖象，則雙曲線的離心率為( )
A. B. C. D.
8.已知函數滿足，且，則的最小值為( )
A. B. C. D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.人工智能是新一輪科技革命和產業變革的重要驅動力量，是研究、開發用于模擬、延伸和擴展人的智能的理論、方法、技術及應用系統的一門新的技術科學很多學校已經推出基于的人工智能通識課程，幫助學生深入了解人工智能的歷史、關鍵技術及其在科學研究、社會發展中的高效應用，培養跨學科思維，推動人工智能技術在多領域的深度融合與創新某探究小組利用解答了份高考模擬試卷，收集其準確率，整理得到如下頻率分布直方圖，則下列說法正確的是( )
A. B. 估計準確率的分位數為
C. 估計準確率的平均數為 D. 估計準確率的中位數為
10.已知不等式的解集為且，則下列說法中正確的是( )
A. 函數的極大值點為
B. 函數的對稱中心為
C. 過點可作一條直線與曲線相切
D. 當時，
11.數學中有許多形狀優美的曲線，曲線就是其中之一，下列選項中關于曲線的說法正確的有( )
A. 當時，曲線與軸有個交點
B. 曲線的圖象關于對稱
C. 當時，曲線上的一點到原點距離的最小值小于
D. 當時，曲線上的一點到原點距離的最小值大于
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知函數，若，則 ______．
13.已知向量，，則的最小值是______．
14.某次慶典后，墻壁上的裝飾品需要取下來，如圖，由于材料特性，每次能取一個，且所取的裝飾品只能有個或個相鄰的裝飾品，則不同的取法數有______種
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
在三棱柱中，側面是邊長為的正方形，，．
求證：平面平面；
求二面角的余弦值．
16.本小題分
已知拋物線：，過點作斜率大于直線與曲線交于、兩點原點關于的對稱點為記為點．
求證：；
當在拋物線上時，求的面積．
17.本小題分
為宣揚中國文化，某校組織古詩詞知識比賽比賽分為兩階段，第一階段為基礎知識問答，每位選手都需要回答個問題，答對其中至少個問題，進入第二階段，否則被淘汰；第二階段分高分組、和低分組，第一階段個問題都答對的選手進入高分組，共回答個問題，每答對一個得分，答錯不得分；第一階段答對個問題的選手進入低分組，共回答個問題，每答對一個得分，答錯不得分第一階段，每個問題選手甲答對的概率都是；第二階段，若選手甲進入高分組，每個問題答對的概率都是，若選手甲進入低分組，每個問題答對的概率都是．
求選手甲第一階段不被淘汰的概率；
求選手甲在該次比賽得分數為分的概率；
已知該次比賽選手甲進入了高分組，記選手甲在該次比賽中得分數為，求隨機變量的分布列和期望值．
18.本小題分
已知．
當時，求函數的單調區間；
當時，求證：；
當，試討論函數的零點個數．
19.本小題分
對于共項的等差數列公差不為各項重新排列得到新數列，若中的任意兩項的等差中項都不在這兩項所在位置之間，則稱數列是等差數列的“無均數列”．
若，寫出等差數列公差不為的個不同的“無均數列”；
若，寫出等差數列公差不為的一個“無均數列”；
若，判斷等差數列公差不為的“無均數列”是否存在，并證明你的結論．
參考答案
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14.
15.解：證明：因為側面是邊長為的正方形，
所以，，
因為，，
則，因為，
所以，即，
因為，、平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面；
以直線，為，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，
因為，所以，
所以，
則，
設平面的法向量為，
則，由，可得，
令，則，
平面的法向量為，
所以，
又二面角為銳角，所以其余弦值為．
16.解：證明：設直線的方程為，、，
聯立，消去并整理得，
此時，
由韋達定理得，，
所以，
則，
故；
因為原點關于的對稱點為記為點，
此時，
解得，，
即，
因為點在拋物線上，
所以，
解得，
所以，，
則．
故．
17.解：選手甲第一階段不被淘汰，即甲回答三個問題答對其中個或個，
其概率為：；
選手甲在該次比賽得分數為分有兩種情況：進入高分組，答對個問題；進入低分組，答對個問題，
故概率為：；
由題意可知，的所有可能取值有，，，，，
則，，，
所以分布列為：
所以．
18.解：根據題目已知：
當時，，，
當時，，則在為增函數；
當時，，則在為減函數；
所以當時，函數的減區間為，增區間內為．
證明：因為，當時，，所以，
當時，，所以，所以，
設，由可知，所以不等式成立．
解法一：，
設，此時，
則，
因為，所以，
則在為減函數，，
當時，，結合在為減函數，
當時，，在為增函數；
當時，，在為減函數；
所以，所以，即在上為減函數，
又因為，所以只有一個零點；
當時，，
所以存在，使得，
當時，，所以在上增函數；
當時，，所以在上減函數．
因為，則，當，，
使得，
所以時，，即，即在為減函數；
當時，，即，即在為增函數；
當時，，即，即在為減函數；
當，，又因為，所以．
所以使得，
在為減函數，所以，所以存在兩個零點．
綜上所述：當時，函數有個零點；當函數有個零點．
19.解：根據題目定義：對于共項的等差數列公差不為各項重新排列得到新數列，
若中的任意兩項的等差中項都不在這兩項所在位置之間，則稱數列是等差數列的“無均數列”．
當時，存在以下“無均數列”：
，，，；，，，；，，，；，，，；，，，；，，，；，，，；，，，；，，，；，，，，
總共種寫出其中的個即可．
當時，存在“無均數列”：，，，，，，，．
證明：存在，
先證明對時，存在，
當時，由知存在“無均數列”，
假設時，存在“無均數列”，
則時，數列分成組，兩組分別有次項，
且從這兩組中各任取一項，得到的兩項的等差中項不是的項，由假設，
數列存在“無均數列”，設為，
數列存在“無均數列”，設為，
構造數列：，
觀察，每組之間的任意兩個數的平均數均不在兩數位置之間，故只需要考慮每組內部重新排成“無均數列”，
因此數列：，中任意兩項的等差中項均不在這兩項中間，
即時，數列存在“無均數列”，
由可知，時，都存在“無均數列”，
所以令，即時，存在“無均數列”，
接下來我們只需要將，，，項去掉，
便可得到時，等差數列存在“無均數列”．
同樣注意到此時每一組是一共項的等差數列，
令，故由第二問知道，
此時只需要把其分為組，，，這樣排列就能構成“無均”數列，
因此反復執行上述操作能把項的等差數列重新排列成一個“無均”數列，
所以當時也能重新排列成一個“無均”數列．
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