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2025年湖北省十堰市房縣一中高考數學模擬試卷（4月份）
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.已知集合，集合，則( )
A. B. C. D.
2.已知，，下列選項中，使成立的一個充分不必要條件是( )
A. 或 B. 且
C. ，同號且不為 D. 或
3.已知數列為遞增數列，前項和，則實數的取值范圍是( )
A. B. C. D.
4.已知為鈍角，，則( )
A. B. C. D.
5.已知函數，若關于的方程有兩個不同的實數根，則實數的取值范圍為( )
A. B.
C. D.
6.已知，均為正數，且，則的最小值為( )
A. B. C. D.
7.已知正方體的棱長為，，分別為和的中點，為線段上的動點，為上底面內的動點，下列判斷正確的是( )
三棱錐的體積是定值，
若恒成立，則線段的最大值為
當與所成的角為時，點的軌跡為雙曲線的一部分
A. B. C. D.
8.已知橢圓：的左右焦點為，，過的直線與交于，兩點，若滿足，，成等差數列，且，則的離心率為( )
A. B. C. D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.設，分別為隨機事件，的對立事件，已知，，則下列說法正確的是( )
A.
B.
C. 若，是相互獨立事件，則
D. 若，是互斥事件，則
10.已知，，是拋物線：上三個不同的點，的焦點是的重心，則( )
A. 的準線方程是 B. 過的焦點的最短弦長為
C. 以為直徑的圓與準線相離 D. 線段的長為
11.如果一個人爬樓梯的方式只有兩種，一次上一級臺階或一次上兩級臺階，設爬上級臺階的方法數為，則下列結論正確的有( )
A. B.
C. D.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知的二項展開式中只有第項的二項式系數最大，則展開式中的系數為______．
13.設是函數的一個極值點，則______．
14.如圖，一塊邊長為的正方形鐵片上有四塊陰影部分，將這些陰影部分裁下來，然后用余下的四個全等的等腰三角形加工成一個正四棱錐容器，則該容器的最大容積為______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
已知正項數列，其前項和滿足．
求的通項公式；
證明：．
16.本小題分
如圖，在四棱錐中，底面為矩形，底面，，為線段的中點，為線段上的動點．
求證：平面平面；
試求的長，使平面與平面所成的銳二面角為．
17.本小題分
甲、乙兩個盒子中都裝有大小、形狀、質地相同的個黑球和個白球，現從甲、乙兩個盒子中各任取一個球交換放入另一個盒子中，重復次這樣的操作后，記甲盒子中黑球的個數為，甲盒中恰有個黑球的概率為，恰有個黑球的概率為．
求，；
設，證明：；
求的數學期望的值．
18.本小題分
已知函數，．
討論的單調性；
設，若，且對任意，，恒成立，求實數的取值范圍．
19.本小題分
已知雙曲線：的離心率為，過上的動點作曲線的兩漸近線的垂線，垂足分別為和，的面積為．
求曲線的方程；
如圖，曲線的左頂點為，點位于原點與右頂點之間，過點的直線與曲線交于、兩點，直線過且垂直于軸，直線、分別與交于、兩點，若、、、四點共圓，求點的坐標．
參考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：正項數列，其前項和滿足．
可得，
當時，，
，；
當時，，
，
，
，
，，
；
證明：
．
16.解證明：
平面，平面，
，
為矩形，，
又，，平面，
平面，
平面，
，，為線段的中點，
，又，，平面，
平面，又平面，
所以平面平面．
以為坐標原點，，，分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，，，，，，
，，，
設，，
設平面的一個法向量為，
則，，
令，則，
，
設平面的一個法向量為，
則，，
令，則，
，
平面與平面所成的銳二面角為，
，
解得，
，
，即，
當時，平面與平面所成的銳二面角為．
17.解：由題可知：，；
證明：次操作后，甲盒有一個黑球的概率，由全概率公式知：
，
，
，
，
，
，
，
即 ；
解：，，
又，
即 ，
．
18.解：，
當時，因為，所以在上恒成立，所以在上單調遞增；
當時，令，得，
由，即在上單調遞增，
由，即在上單調遞減，
綜上，當時，在上單調遞增，
當時，在上單調遞減，在上單調遞增．
當時，由知：，
，
對成立，
只要，即對恒成立，
對恒成立，
令，則，
且在上單調遞增，上單調遞減，
，
，
的取值范圍為．
19.解：由得，又，得到，
漸近線方程為，則雙曲線方程為，即，
設，則到漸近線的距離分別為，，
兩漸近線的夾角為，，，，四點共圓，或，
的面積為
，
曲線的方程為：．
如圖，，，，四點共圓，
，
設，，，．
，：，令得，
當的斜率為時不符合題意；
當的斜率不為時，設：，
，
，，
，即，
，
，符合，．
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