資源簡介

2025年廣東省肇慶市高要縣新橋中學高考二模
數學試卷
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.已知復數，則( )
A. B. C. D.
2.若集合，集合，則的非空真子集個數為( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，滿足，則實數( )
A. B. C. D.
4.若，，則“”是“”的( )
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件
5.已知動點到定點，的距離之和為，直線：與動點的軌跡有交點，則實數的取值范圍為( )
A. B.
C. D.
6.若，且，則的最大值為( )
A. B. C. D.
7.已知拋物線：的焦點為，直線過點且與拋物線交于，兩點，點在第一象限，點為軸上一點三點不共線，滿足的面積是面積的倍，則直線的斜率為( )
A. B. C. D.
8.如圖，在一個有蓋的圓錐容器內放入兩個球體，已知該圓錐容器的底面圓直徑和母線長都是，則( )
A. 這兩個球體的半徑之和的最大值為
B. 這兩個球體的半徑之和的最大值為
C. 這兩個球體的表面積之和的最大值為
D. 這兩個球體的表面積之和的最大值為
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.設數列的前項和為，已知，則下列結論正確的是( )
A.
B. 數列為等比數列
C.
D. 若，則數列的前項和為
10.已知某人擲骰子次，并記錄每次骰子出現的點數，統計數據為：，，，，，若，，成等差數列，則由下列說法可以判斷出一定沒有出現點數的是( )
A. 該組數據的中位數為，眾數是 B. 該組數據的平均數為，分位數是
C. 該組數據的平均數為，方差小于 D. 該組數據的極差為，方差大于
11.已知是定義在上的奇函數，且圖象連續不間斷，函數的導函數為當時，，其中為自然對數的底數，則( )
A. 在上有且只有個零點 B. 在區間上單調遞增
C. D.
三、填空題：本題共3小題，共15分。
12.二項式，若，則 ______．
13.若過點可以作曲線的兩條切線，則實數的取值范圍是______．
14.已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，過的直線與雙曲線的右支交于，兩點點在第一象限，且是腰長為的等腰三角形，則雙曲線的離心率為______；若直線的斜率大于零，且圓為的內切圓，則圓的半徑為______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
已知函數．
求函數的單調性和極值；
作出函數的大致圖象參考數據
16.本小題分
在長方體中，，為的中點，平面，且．
求的值；
求點到平面的距離．
17.本小題分
已知橢圓：的焦距為，點在橢圓上．
求橢圓的標準方程；
若直線與橢圓交于，兩點均異于點，且直線與的斜率之和為證明：直線的斜率為定值，并求出該定值．
18.本小題分
某市高新技術開發區，一家光學元件生產廠家生產某種元件，其質量按測試指標劃分為：指標大于或等于為合格品，小于為次品，現抽取這種元件件進行檢測，檢測結果統計如下表：
測試指標
元件數件
現從這件樣品中隨機抽取件，在其中一件為合格品的條件下，求另一件為不合格品的概率；
關于隨機變量，俄國數學家切比雪夫提出切比雪夫不等式：若隨機變量具有數學期望，方差，則對任意正數，均有成立．
若，證明：；
由切比雪夫不等式可知，隨機變量的取值范圍落在期望左右的一定范圍內的概率是有界的若該工廠聲稱本廠元件合格率為，那么根據所給樣本數據，請結合“切比雪夫不等式”說明該工廠所提供的合格率是否可信？注：當隨機事件發生的概率小于時，可稱事件為小概率事件
19.本小題分
若數列，，其中，對任意正整數都有，則稱數列為數列的“接近數列”已知為數列的“接近數列”，且數列，的前項和分別為，．
若是正整數，求，，的值；
若數列是公差為的等差數列，且，求證：數列是等差數列；
若是正整數，判斷是否存在正整數，使得？如果存在，請求出的最小值，如果不存在，請說明理由參考數據：，
參考答案
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
9. 10. 11.
12.
13.
14.
15.解：函數定義域為，求導得，
由，得或；由，得且；
所以函數的單調遞增區間是，，單調遞減區間是，
函數的極大值為，函數的極小值為．
大致圖象如圖．

16.解：連接由平面平面，且平面平面，
平面平面，所以．
以為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，，，，，設，
則，，，
由，得，即，
則，又，
所以．
由知，，，
所以，，
設為平面的法向量，
則，即，
令，得為平面的一個法向量．
又，
所以點到平面的距離．
17.解：因為橢圓：的焦距為，點在橢圓上，
所以，
解得，
則橢圓的方程為．
證明：當直線斜率不存在時，直線與的斜率之和不會為．
設點，，直線：，
由，
消去并整理，得，
則，
則
，
則，
整理，得，
因直線不過點，則，所以．
故直線的斜率為定值，定值為．
18.記事件為抽到一件合格品，事件為抽到另一件為不合格品，
，，
；
若，
則，，
又，
所以或，
由切比雪夫不等式可知，，
所以，
設隨機抽取件產品中合格品的件數為，假設廠家關于產品合格率為的說法成立，則，
所以，，
由切比雪夫不等式知，，
即在假設下個元件中合格品為個的概率不超過，此概率極小，由小概率原理可知，
一般來說在一次試驗中是不會發生的，據此我們有理由推斷工廠的合格率不可信．
19.解：根據題目定義：若數列，，其中，
對任意正整數都有，
則稱數列為數列的“接近數列”．
已知為數列的“接近數列”，且數列，的前項和分別為，．
設，且，
所以，即，，
，即，，
，即，，
所以，，；
證明：由題：數列是公差為的等差數列，
設，則，
所以，，則，
所以，，，
所以，故，即數列是等差數列；
當為奇數時，，則，
由，即，，則；
當為偶數時，，則，
由，即，，則；
所以且，則且，
而，
要使，則，
當且，則，
所以，則，可得；
當，且，則，
所以，則，顯然不成立；
綜上，當是正整數，存在正整數，時的最小值為．
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