資源簡介

2025年廣東省廣州市真光中學高考數學適應性試卷
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.已知，則在復平面內，復數對應的點位于( )
A. 實軸上 B. 虛軸上 C. 直線上 D. 直線上
2.已知命題：，，命題：，，則( )
A. 和都是真命題 B. 和都是真命題
C. 和都是真命題 D. 和都是真命題
3.已知變量關于的回歸方程為，若對兩邊取自然對數，可以發現與線性相關，現有一組數據如下表所示：
則當時，預測的值為( )
A. B. C. D.
4.目前新能源汽車越來越受到人們的關注與喜愛，其中新能源汽車所配備電池的充電量及正常使用年限是人們購車時所要考慮的重要因素之一某廠家生產的某一型號的新能源汽車配備了兩組電池，且兩組電池能否正常使用相互獨立電池的正常使用年限單位：年服從正態分布，，，則這兩組電池在年內都能正常使用的概率為( )
A. B. C. D.
5.已知，，，則的值為( )
A. B. C. D.
6.已知點為拋物線：的焦點，點在的準線上，點在上，若，且，則( )
A. B. C. D.
7.已知函數是上的奇函數，且，對于任意的，，，都有，則不等式的解集為( )
A. B. C. D.
8.已知，函數，若，則的最小值為( )
A. B. C. D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.某次數學考試后，為分析學生的學習情況，某校從某年級中隨機抽取了名學生的成績，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖為進一步分析高分學生的成績分布情況，計算得到這名學生中，成績位于內的學生成績方差為，成績位于內的同學成績方差為則( )
A.
B. 估計該年級學生成績的中位數約為
C. 估計該年級成績在分及以上的學生成績的平均數為
D. 估計該年級成績在分及以上的學生成績的方差為
10.已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，過的直線與的右支交于，兩點，則( )
A. 直線與恰有兩個公共點
B. 雙曲線的離心率為
C. 當時，的面積為
D. 當直線的斜率為，過線段的中點和原點的直線的斜率為時，
11.三角形的布洛卡點是法國數學家克洛爾于年首次發現，當內一點滿足條件：時，則稱點為的布洛卡點，角為布洛卡角如圖，在中，角，，所對的邊分別為，，，記的面積為，點是的布洛卡點，布洛卡角為，則( )
A. 當時，
B. 當且時，
C. 當時，
D. 當時，
三、填空題：本題共3小題，共15分。
12.展開式中的系數為______．
13.若是區間上的單調函數，滿足，，且為函數的導數，則可用牛頓切線法求在區間上的根的近似值：取初始值，依次求出圖象在點處的切線與軸交點的橫坐標，當與的誤差估計值為的最小值在要求范圍內時，可將相應的作為的近似值用上述方法求方程在區間上的根的近似值時，若誤差估計值不超過，則滿足條件的的最小值為______，相應的值為______．
14.已知正四棱錐的一個側面的周長為，則該四棱錐體積的最大值為______，此時其外接球表面積為______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
記的內角，，的對邊分別為，，，已知．
求；
若，的面積為，求邊上的高．
16.本小題分
如圖，在三棱錐中，平面平面，，為棱的中點，點在棱上，，且．
證明：平面；
若，求平面與平面的夾角的余弦值．
17.本小題分
某校組織“一帶一路”答題抽獎活動，凡答對一道題目可抽獎一次設置甲、乙、丙三個抽獎箱，每次從其中一個抽獎箱中抽取一張獎券已知甲箱每次抽取中獎的概率為，乙箱和丙箱每次抽取中獎的概率均為，中獎與否互不影響．
已知一位同學答對了三道題目，有兩種抽獎方案供選擇：
方案一：從甲、乙、丙中各抽取一次，中獎三次獲得價值元的學習用品，中獎兩次獲得價值元的學習用品，其他情況沒有獎勵．
方案二：從甲中抽取三次，中獎三次獲得價值元的學習用品，中獎兩次獲得價值元的學習用品，其他情況沒有獎勵；
通過計算獲得學習用品價值的期望，判斷該同學選擇哪個方案比較合適？
若一位同學答對了一道題目他等可能的選擇甲、乙、丙三個抽獎箱中的一個抽獎已知該同學抽取中獎，求該同學選擇乙抽獎箱的概率．
18.本小題分
已知曲線，當變化時得到一系列的橢圓，我們把它稱為“橢圓群”．
若“橢圓群”中的兩個橢圓、，對應的分別為、，如圖所示，直線：與橢圓、依次交于，，，四點，證明：．
當時，直線與橢圓在第一象限內的交點分別為，設
求證：為等比數列，并求出其通項公式；
令數列，求證．
19.本小題分
在平面直角坐標系中，設點，若點滿足，其中為定點，則稱點是點關于點的“相關點”．
已知，，當時，求點關于點的“相關點”的坐標．
已知點，，若點是點關于點的“相關點”，且，求的值．
已知圓：，點，點是圓上的動點，點是點關于點的“相關點”，若點的軌跡與圓有公共點，求的取值范圍．
參考答案
1.
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3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14. ．
15.解：由正弦定理及，得，
即，
整理得，，即，
因為，所以，
所以，即．
因為的面積為，
所以，即，
由余弦定理，得，
所以，
設邊上的高，
由，解得．
16.解：證明：如圖，取棱靠近的三等分點，連結，，則是的中點，
因為為棱的中點，所以是的中位線，所以，
因為，所以，
設，因為，所以，作，連接，
則，因為，所以．
在中，由余弦定理得：，
因為，所以．
又因為，，面，所以平面，
因為面，所以．
又因為平面平面，平面平面，平面，
所以平面；
由知，，以為原點，的方向為軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標系．
令，所以，
設平面的法向量為，
則即令，可得，所以．
連接，此時，，由余弦定理得：，
因為，所以，
因為平面，所以，
因為，面，，
所以面，所以平面的一個法向量為．
設平面和平面的夾角為，則，
所以平面和平面夾角的余弦值為．
17.解：若選擇方案一，設該同學獲得學習用品的價值為元，
由題意可知，的所有可能取值為，，，
則，，，
所以；
若選擇方案二，設該同學獲得學習用品的價值為元，
由題意可知，的所有可能取值為，，，
則，，，
所以，
因為，
所以，
故選擇方案一比較合適；
設“該同學抽取中獎”為事件，“選擇甲、乙、丙抽獎箱”的事件分別記為，，，
則，，，
所以，
故．
18.解：證明：根據題意可知，曲線，
直線：與橢圓、依次交于，，，四點，
聯立方程可得，
，即，
由圖可知，橢圓與直線的交點為點、，設，，則，
同理，將與直線聯立可得：，
，即，
可得，則線段的中點與線段中點重合，設為點，
即有，，所以，即；
證明：由題意，聯立方程可得，即，
因為交點在第一象限內，所以點的橫坐標，同理可得點的橫坐標，
則，
所以，數列是首項為，公比為的等比數列，其通項公式為；
證明：由可知，，則，
設，
設，
由時，，可得，
，
即，
，
，
即得證．
19.解：已知，，，，，那么，
因此．
由于，，點是點關于點的“相關點”，
因此，，
那么，所以．
由于，因此，，，那么，得，
化簡得，，解得．
設，由于在圓：上，因此．
點是點關于的“相關點”，
那么，，
因此，即
設，那么，可得．
由于，因此，整理得．
由于點的軌跡與圓有公共點，因此兩圓的圓心距滿足．
連不等式前面可化為．
可得，展開得．
可得．
當時，，即，解得或，結合，所以；
當時，，即，即，恒成立，所以．
綜上所述，的解集為．
連不等式后邊可化為．
可得，展開得．
移項可得，
當時，可得，即，無解；
當時，可得，解得．
因為不等式的解集為，不等式的解集為，
所以原不等式的解集為．
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