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2025年四川省部分學校高考數學聯考試卷（4月份）
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.復數滿足，則在復平面內，復數對應的點位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知命題：，，命題：，，則( )
A. 和都是真命題 B. 和都是真命題
C. 和都是真命題 D. 和都是真命題
3.已知，，，則( )
A. B. C. D.
4.已知拋物線上的點到焦點的距離為，則到坐標原點的距離為( )
A. B. C. D.
5.已知，，則( )
A. B. C. D.
6.一組樣本數據，，，，的平均數為，方差為，則由這組樣本數據得到的新樣本數據，，，，，的方差為( )
A. B. C. D.
7.已知曲線的圖象是雙曲線，則這個雙曲線的離心率為( )
A. B. C. D.
8.在正四棱柱中，，，，分別是平面和上一點，且，，記異面直線與所成的角為，則的最大值為( )
A. B. C. D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.已知函數圖象的對稱中心也是函數圖象的對稱中心，則的解析式可以為( )
A. B.
C. D.
10.已知函數的定義域為，，，則( )
A. B. 是增函數
C. D.
11.已知，，設集合，，是的三個不同的子集，若真包含于，則稱子集，是的一個“二階鏈條”，若真包含于，真包含于，則稱子集，，是的一個“三階鏈條”記的“二階鏈條”的個數為，的“三階鏈條”的個數為，則( )
A. B.
C. D.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知向量，的夾角為，且，，則 ______．
13.已知是等差數列的前項和，數列的公差為，且是等差數列，則 ______．
14.已知當時，恒成立，則實數的取值范圍是______．
四、解答題：本題共5小題，共77。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
在中，．
求角的大小；
若為邊上一點，，，求的面積．
16.本小題分
如圖，在四棱錐中，底面為正方形，，．
證明：平面．
若，求二面角的余弦值．
17.本小題分
已知函數．
討論的單調區間；
若在上的最小值為，求的值．
18.本小題分
某學校舉辦趣味投籃比賽，選手需要在距離罰球線米，米，米的，，三個位置分別投籃一次選手自行選擇投籃順序，在，，三個位置投籃命中分別可得分，分，分，總分不低于分就可以獲得獎品已知甲在，，三處的投籃命中率分別為，，，且在這三處的投籃相互獨立．
求甲獲得獎品的概率．
在甲獲得獎品的情況下，求甲三次投籃都命中的概率．
甲參加投籃訓練，訓練計劃如下：在處先投個球，若這個球都投進，則訓練結束，否則額外在處投個球試問為何值時，甲投籃次數的期望最大？
19.本小題分
已知為坐標原點，是橢圓：的左焦點，是橢圓上一點，的最大值是最小值的倍．
求橢圓的離心率；
若點不與橢圓的頂點重合，過作的切線，與軸交于點，求；
已知，，是上兩個不同的點，過，分別作直線米與相切，與的交點為，若，求動點的軌跡方程．
附：橢圓以點為切點的切線方程為
參考答案
1.
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5.
6.
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8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由題意，，
由正弦定理可知，
所以，
因為，所以，
又因為，所以，
則，故，即；
設，則，
因為，所以，
則，即，
在中，，
即，解得，
所以，，
的面積為．
16.解：證明：因為底面為正方形，所以，
又因為，，，平面，所以平面，
因為平面，所以，
因為，與相交，，平面，
所以平面．
以為坐標原點，，，所在直線分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
設，則，，，，
則，，．
設平面的法向量為，
則，則，即，
令，則，
所以平面的一個法向量為．
設平面的法向量為，
則，則，即，
令，則，
所以平面的一個法向量為．
，
易知二面角的平面角為銳角，
故二面角的余弦值為．
17.解：函數的定義域為，．
當時，，的單調遞減區間為；
當時，令，解得，
當時，，當時，，
所以在上單調遞減，在上單調遞增．
綜上，當時，的單調遞減區間為，無單調遞增區間；
當時，的單調遞減區間為，單調遞增區間為．
當時，在上單調遞減，所以，解得或舍去，故．
當時，在上單調遞減，所以，解得或舍去，故．
當時，在上單調遞減，在上單調遞增，
所以，
因為，所以，故，不符合題意．
綜上，．
18.解：甲三次投籃都命中的概率，
甲三次投籃只命中兩次且總分不低于分的概率，
甲獲得獎品的概率．
記“甲獲得獎品”為事件，“甲三次投籃都命中”為事件．
則，
即在甲獲得獎品的情況下，甲三次投籃都命中的概率為．
設甲的投籃次數為，則的分布列為：
則．
令，則，
，當時，，當時，，
，
故當時，甲投籃次數的期望最大．
19.解：設，，
則，
因為，所以最大值為，最小值為，
所以，解得，即橢圓的離心率為．
設點，，則，
橢圓在點處的切線方程為．
令，可得，即，
，
．
，
；
因為，所以，，，的方程為．
設，，，
則橢圓在點，處的切線方程分別為，，
則，故直線的方程為，
聯立可得，
，，則，
因為，所以，解得，
化簡可得，故動點的軌跡方程為．
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