資源簡介

2025年江蘇省南通市如皋中學高考數學適應性試卷（二）
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.已知集合，，則( )
A. B. C. D.
2.已知復數滿足，其中為虛數單位，則( )
A. B. C. D.
3.在直角梯形中，，，，是的中點，若，則( )
A. B. C. D.
4.有個男生和個女生站成一排合影，則女生甲不在兩端且個女生不相鄰的不同排法總數為( )
A. B. C. D.
5.將函數的圖象向左平移個單位后與函數的圖象重合，則的最小值為( )
A. B. C. D.
6.已知函數，則“”是“函數在上單調遞減”的( )
A. 充要條件 B. 充分不必要條件
C. 必要不充分條件 D. 既不充分也不必要條件
7.已知函數是定義在上的偶函數，是的導函數，，若在上恒成立，則實數的取值范圍是( )
A. B. C. D.
8.在四面體中，，為等腰直角三角形，，平面平面，為的中點，點到直線的距離為，則四面體體積的最大值為( )
A. B. C. D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.每年月日為“世界讀書日”，某小學為鼓勵學生進行課外閱讀，拓寬學生眼界，對熱愛課外閱讀的班級進行表彰，規定從班級中隨機抽取位同學，統計他們一學年內閱讀課外書籍的本數，若抽取的位同學在一學年內閱讀課外書籍的本數都不低于，則該班級被評選為“優閱班級”以下是個班級抽取的位同學的統計數據：
六班：中位數為，眾數為
六班：眾數為，極差為
六班：平均數為，極差為
六班：平均數為，方差為
根據以上信息，一定被評為“優閱班級”的是( )
A. 六班 B. 六班 C. 六班 D. 六班
10.在棱長為的正方體中，點在棱上運動，則( )
A. 若點為的中點，則平面平面
B.
C. 異面直線，所成角的取值范圍是
D. 點到平面距離的最小值為
11.設有限集合，其中，，非空集合，，若存在集合，使得，中的所有元素之和相等，則稱集合是“可拆等和集”，則( )
A. 集合不是“可拆等和集”
B. 若集合是“可拆等和集”，則的取值共有個
C. 存在公比為正整數，且公比不為的等比數列，使得集合是“可拆等和集”
D. 若，，數列是等差數列且公差，則集合是“可拆等和集”
三、填空題：本題共3小題，共15分。
12.在的展開式中，常數項為______．
13.在平面直角坐標系中，已知雙曲線，過左焦點且斜率為的直線與雙曲線交于，兩點，設線段的中點為，若，則實數的值為______．
14.某校高三年級共個班舉行乒乓球比賽，每班一名選手代表班級參加，每一輪比賽前抽簽決定對陣雙方，負者淘汰，勝者進入下一輪，直至最后產生冠軍，其中各場比賽結果相互獨立根據以往經驗，高三班選手甲和高三班選手乙水平相當，且在所有選手中水平稍高，他們對陣其他班級選手時獲勝的概率都為，除甲、乙外的其他名選手水平相當，則高三班的選手甲通過第一輪的概率為______，第三輪比賽由甲、乙爭奪冠軍的概率為______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
已知數列滿足，，且對任意的，，都有．
設，求數列的通項公式；
設數列的前項和為，求證：．
16.本小題分
在中，，，分別是內角，，的對邊，．
求角的大?。?br/>設為邊上一點，若，且，求面積的最小值．
17.本小題分
已知函數的最大值為，設函數的圖象在點處的切線為．
求的值；
證明：當時，切線與函數的圖象有另一交點，且．
18.本小題分
在正三棱臺中，，，分別是，的中點．
求證：四邊形是矩形；
若，求直線與平面所成角的正弦值；
若一只電子貓從點出發，每次等可能地沿著棱去向相鄰的另一個頂點，設在次運動后電子貓仍停留在下底面的概率為，求．
19.本小題分
在平面直角坐標系中，已知縱坐標為的點是拋物線：上一點，斜率為的直線與拋物線交于，兩點，若直線，的斜率之和為．
求拋物線的方程；
設，都在軸下方，且點在點的左側，直線，與軸分別交于點，，記，的面積分別為，，求的最大值；
記點關于軸的對稱點為，設直線，交于點，直線，交于點，求證：直線恒過定點．
參考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：依題意，對任意的，，都有，
又，
則對任意的，，，
所以數列是公差為的等差數列，
又，，
所以，解得，
故，
所以；
證明：由可知，，
所以當，，
，
又符合上式，所以；
所以，
故
，
因為，，
所以．
16.解：依題意，，即，
結合正弦定理，可得，
因為，，所以，
即，
故，
因為，，，則，故；
因為，
所以，，
所以，
所以，
即，整理得．
由，可得，當且僅當時，等號成立．
故面積，
即面積的最小值為．
17.解：由題意，函數的定義域為，則，
當時，；當時，，
函數在上單調遞增，在上單調遞減，
所以，解得，
所以的值為．
證明：由知，，，則，
于是切線的方程為，即，
令，，求導得，
令，求導得，
當時，，函數在上單調遞減；
當時，，函數在上單調遞增，
由，得，而，函數在上的圖象不間斷，
則存在，使得，且當或時，，當時，，
函數在和上單調遞增，在上單調遞減，又，
當時，，于是函數在上無零點，
，而，函數在上的圖象不間斷，
因此存在，使得，
所以當時，切線與函數的圖象有另一交點，且．
18.解：證明：延長，，交于點，過點作平面，垂足為，連結．
在正三棱臺中，，是正三角形，
因為，分別是，的中點，
所以，且，
又，且，
所以，且，四邊形是平行四邊形．
因為幾何體是正三棱臺，
所以三棱錐是正三棱錐，是底面正的中心，所以．
又平面，平面，所以．
因為，，平面，所以平面，
又平面，所以，所以．
在正三棱臺中，，是的中點，
所以，且，
所以四邊形是平行四邊形，
所以
所以四邊形是矩形．
延長交于點，連結，過點作，垂足為，連結．
由可知，平面，即平面，
因為平面，所以，
又，，，平面，
所以平面．
所以為直線與平面所成角．
在正三棱臺中，，，不妨設，
則，，．
在等腰中，．
在中，．
所以直線與平面所成角的正弦值為．
記電子貓在次運動后“在下底面”為事件，“在上底面”為事件．
顯然，當，時，，．
由全概率公式，當，時，
可得，
即，整理得．
所以當，時，，
又，，，
所以當，時，為定值，
所以數列是首項為，公比為的等比數列，
故，
可得．
19.解：根據題目：已知縱坐標為的點是拋物線：上一點，
斜率為的直線與拋物線交于，兩點，若直線，的斜率之和為．
設直線方程為，即，，
聯立方程組，整理得，所以，
因為直線，的斜率之和為，即，
而，同理，
所以，整理得，
所以，解得，
所以拋物線的方程為；
由題：設，都在軸下方，且點在點的左側，直線，與軸分別交于點，，記，的面積分別為，，
由可知，，，，點，
所以，．
直線的方程為，令，解得，
所以，同理．
所以，
且，其中為點到直線的距離，
所以
，
因為，都在軸下方，所以，即，
所以，
所以當且僅當時，取得最大值．
證明：記點關于軸的對稱點為，設直線，交于點，直線，交于點，
顯然軸的對稱點為的坐標為．
因為直線的方程為，
且直線的方程為，
聯立方程組，消去可得，
，所以，
同理與互換．
若，直線的斜率為，
所以直線的方程為，
整理得，此時直線恒過定點．
若，則直線的方程為，經過點．
綜上所述，直線恒過定點．
第1頁，共1頁

展開更多......

收起↑