資源簡介

2025年福建省泉州市安溪一中、養正中學、泉州實驗中學高考
數學模擬試卷
一、單選題：本大題共8小題，共40分。
1.已知集合，，則( )
A. B. C. D.
2.已知是虛數單位，復數滿足，則( )
A. B. C. D.
3.函數的部分圖象大致為( )
A. B.
C. D.
4.已知，為單位向量，且在上的投影向量為，則( )
A. B. C. D.
5.已知為曲線與的一個交點的橫坐標，則函數的一個單調增區間為( )
A. B. C. D.
6.已知雙曲線虛軸的兩個端點分別為、，左、右焦點分別為、，若，則雙曲線的離心率為( )
A. B. C. D.
7.從集合中任取三個數，取出的三個數之和是的倍數的概率為( )
A. B. C. D.
8.若斜率為的直線交曲線于點，交曲線于點，則( )
A. B. C. D.
二、多選題：本大題共3小題，共18分。
9.某地種植的新品種哈密瓜獲得了豐收，隨機從采摘好的哈密瓜中挑選了個稱重單位：，并整理數據，得到如圖頻率分布直方圖根據此頻率分布直方圖，下面結論正確的是( )
A.
B. 估計該哈密瓜的質量不低于的比例為
C. 估計有一半以上的該哈密瓜的質量介于至之間
D. 估計該哈密瓜的質量的中位數介于至之間
10.已知是拋物線：的焦點，點在圓：上，圓在點處的切線與只有一個公共點，動直線，則下列說法正確的是( )
A.
B. 與和圓各恰有一個公共點的直線有條
C. 若圓上僅有一個點到的距離為，則滿足條件的的值有個
D. 若，上一點到的距離為，則的最小值為
11.在三棱錐中，已知平面，，過點作，，分別交，于點，記三棱錐、四棱錐、三棱錐的外接球的表面積分別為，，，體積分別為，，，若，則( )
A. 平面 B.
C. D. 的取值范圍為
三、填空題：本大題共3小題，共15分。
12.已知二項式展開式中含有常數項，則的最小值為______．
13.已知正實數，滿足，若的最小值為，則實數的取值范圍是______．
14.在中，內角，，所對的邊長分別為，，，已知，，則的內切圓半徑的最大值為______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.記的內角，，的對邊分別為，，，已知．
若，求；
求的最小值．
16.如圖，平行六面體的所有棱長均為，底面為正方形，，點為的中點，點為的中點，動點在平面內．
若中點為，求的面積；
若平面，求線段長度的最小值．
17.小芳、小明兩人各拿兩顆質地均勻的骰子做游戲，規則如下：若擲出的點數之和為的倍數，則由原投擲人繼續投擲；若擲出的點數之和不是的倍數，則由對方接著投擲．
規定第次從小明開始．
(ⅰ)求前次投擲中小明恰好投擲次的概率；
(ⅱ)設游戲的前次中，小芳投擲的次數為，求隨機變量的分布列與期望．
若第次從小芳開始，求第次由小芳投擲的概率．
18.已知橢圓的離心率為，點在上，直線與交于，兩點，點關于軸的對稱點為，為坐標原點．
Ⅰ求的方程；
Ⅱ證明：的面積為定值；
Ⅲ若點在直線的右側，求直線在軸上的截距的最小值．
19.若函數的圖象上存在三點，，，且，使得直線與的圖象在點處的切線平行，則稱為在區間上的“中值點”．
Ⅰ若函數在區間上的中值點為，證明：，，成等差數列．
Ⅱ已知函數，存在，使得．
求實數的取值范圍；
當時，記在區間上所有可能的中值點之和為，證明：
參考答案
1.
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4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：，，
化為：，
，
，，
，
，．
由可得：，，，
為鈍角，，都為銳角，．
，
，當且僅當時取等號．
的最小值為．
16.
17.解：一人投擲兩顆骰子，向上的點數之和為的倍數的概率為．
(ⅰ)因為第次從小明開始，所以前次投擲中小明恰好投擲次的概率，
．
(ⅱ)設游戲的前次中，小芳投擲的次數為，依題意，可取，，，，
所以，
，
，
，
所以的分布列為：
所以．
若第次從小芳開始，則第次由小芳投擲骰子有兩種情況：
第次由小芳投擲，第次繼續由小芳投擲，其概率為；
第次由小明投擲，第次由小芳投擲，
其概率為，
因為兩種情形是互斥的，所以，
所以，
因為時，概率為，所以是以為首項，為公比的等比數列，
所以，即．
18.解：Ⅰ因為橢圓的離心率為，
所以，
解得，
因為點在橢圓上，
所以，
聯立，
解得，，
則橢圓的方程為；
Ⅱ證明：設，，
可得，
聯立，消去并整理得，
此時，
解得，
由韋達定理得，
則
，
故的面積為定值；
Ⅲ因為點在直線的右側，
所以，
設直線與軸的交點為，
當時，點，中有一個點與橢圓的上頂點重合，
此時即為的上頂點，，
當時，
因為，，共線，
所以，
整理得，
因為
，
當且僅當時，等號成立，
此時．
則直線在軸上的截距的最小值為．

19.解：證明：由題意知．
因為，
又，
所以，即，
所以，，成等差數列．
，
設，則，
令，解得，則在上單調遞增，
令，解得，則在上單調遞減．
故，
且當時，，當時，．
若，則在和上分別存在一個零點，記為，，
當時，，即，單調遞減，
當時，，即，單調遞增，當時，，即，單調遞減，
故存在，滿足；
若，則恒有，所以在上單調遞減，不符合題意；
綜上，的取值范圍是．
證明：因為，所以中值點滿足，
由知當時，即有兩個零點，，
所以在區間上所有可能的中值點即，．
先證明：
由，得．
要證，即證．
設，
則．
設，當時，，
所以在上單調遞增，所以，
所以當時，，所以在上單調遞減．
所以當時，，即．
因為，所以，即，
又，，再結合在上單調遞減，
可得，從而．
令，得，
所以．
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