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2025年重慶市巴蜀中學高考數學二診試卷
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.“”是“”的( )
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
2.過點且與拋物線：有且僅有個公共點的直線的條數為( )
A. B. C. D.
3.復數在復平面內對應的點不可能在第象限．
A. 一 B. 二 C. 三 D. 四
4.已知圓錐的側面展開圖是一個半圓，且圓錐的底面積為，則此圓錐的體積為( )
A. B. C. D.
5.在鈍角中，內角，，的對邊分別為，，，，，且最大角，則的取值范圍是( )
A. B. C. D.
6.若，則的最小值為( )
A. B. C. D.
7.我們解不等式時，可以采用如下方法：等價于，即根據以上思路求解：函數，的最小值為( )
A. B. C. D.
8.已知向量都是單位向量，且向量滿足向量的夾角為，則的最大值為( )
A. B. C. D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.若函數的圖象經過平移后可以得到函數的圖象，則稱函數與是“全等函數”下列各組函數中，與是“全等函數”的是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
10.已知，為正實數，，則下列說法正確的是( )
A. B. 的最小值為
C. 的最小值為 D. 的最小值為
11.數的進制是人們利用符號來計數的方法我們在日常生活中習慣于采用十進制計數與運算，但是在其它領域中，其它進制計數方式也應用廣泛，例如計算機處理數據時，采用的就是二進制方法二進制數是用和表示的數，它的基數為，進位規則是“逢二進一”，借位規則是“借一當二”若十進制數，其中，，則對應的二進制數為以下說法正確的是( )
A. 十進制數用二進制表示為
B. 滿足，，，，中有且只有個的所有二進制數對應的十進制數的和為
C. 將對應的二進制數中的個數記為，則
D. 將對應的二進制數中的個數記為，令，則
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知，則 ______．
13.若一組數據，，，，，，，，，的第百分位數為，則這組數據的第百分位數為______．
14.已知函數若函數所有零點的乘積為，則實數的取值范圍是______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
如圖所示，在空間幾何體中，四邊形為正方形，平面平面，，，．
證明：平面．
求平面與平面所成銳二面角的大小．
16.本小題分
已知函數的圖象在處的切線與坐標軸所圍成的三角形的面積為．
求的值；
記的極大值點為，證明：．
17.本小題分
甲、乙、丙三位同學組隊參加一個闖關活動每次只能派個人參加闖關活動，每次闖關用時分鐘，如有必要則派下一個人繼續參加闖關活動，直至三人中有兩人闖關成功就視為團隊“挑戰勝利”，否則視為“挑戰失敗”在已經確定“挑戰勝利”或“挑戰失敗”時，活動立刻結束已知甲、乙、丙各自能闖關成功的概率分別為，且假定每人能否闖關成功的事件是相互獨立的．
若改變三個人先后參加闖關的順序，團隊“挑戰勝利”的概率是否會發生變化？請說明理由．
為了使活動平均用時最少，三位同學應該以怎樣的先后順序參加闖關活動，并說明理由．
18.本小題分
已知直線：與橢圓交于，兩點在下方，在上方，線段的中點為，直線的斜率為為坐標原點．
求橢圓的方程；
若射線與橢圓、直線分別交于，兩點，且，，成等比數列．
求點到直線的距離的最大值；
當直線與軸垂直時，求的外接圓方程．
19.本小題分
存在，對任意的，當時，正項數列都滿足，則稱滿足性質例如：當時，，則等比數列滿足性質；當時，，則數列不滿足性質已知數列同時滿足，性質．
證明：數列為等比數列；
已知，，若數列滿足：，其中，設為數列的前項和，記．
求的表達式用含的式子表示；
試判斷與的大小關系，并說明理由．
參考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.，
15.解：證明：由四邊形為正方形知，
又，故，又，
故，又平面平面，平面平面，
所以平面；
由知平面且，
故DA，，互相垂直，
以為原點，，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標系，
不妨設，則，
則，，，，
故，，，
設平面的法向量是，
則，
取，可得，
設平面的法向量是，
則，
取，可得，
記平面與平面所成銳二面角為，
則，
故，
故平面與平面所成銳二面角的大小為．
16.解：，
故；
，故函數的圖象在處的切線斜率為，即，
由知，解得．
證明：由知，定義域，，
令，則在上單調遞減；
由，知存在，使得，
當時，，單調遞增；
當時，，單調遞減；
故即為的極大值點；
由，知，
故，
故，結論成立．
17.解：不會發生變化，理由如下，
記事件：甲闖關成功，事件：乙闖關成功，事件：丙闖關成功，事件：團隊“挑戰勝利”，
因為甲、乙、丙各自能闖關成功的概率分別為，且每人能否闖關成功的事件是相互獨立的，
若闖關的順序為甲、乙、丙，
則，
若闖關的順序為乙、甲、丙，
則，
即有闖關的順序為甲、乙、丙和闖關的順序為乙、甲、丙時，團隊“挑戰勝利”的概率一樣，
若闖關的順序為丙、甲、乙，則，
同理有闖關的順序為甲、丙、乙和闖關的順序為丙、甲、乙時，團隊“挑戰勝利”的概率一樣，
若闖關的順序為丙、乙、甲，則，
同理有闖關的順序為乙、丙、甲和闖關的順序為丙、乙、甲時，團隊“挑戰勝利”的概率一樣，
所以改變三個人先后參加闖關的順序，團隊“挑戰勝利”的概率不會發生變化；
由知，若按甲、乙、丙或乙、甲、丙順序闖關，
用表示所花的時間，顯然可能取值為，，
又，，
由知的分布列為：
則，
若按丙、甲、乙或甲、丙、乙順序闖關，用表示所花的時間，顯然可能取值為，，
又，，
由知的分布列為：
則，
若按丙、乙、甲或乙、丙、甲順序闖關，用表示所花的時間，顯然可能取值為，，
又，
，
由知的分布列為：
則，
顯然，所以三位同學應該以甲、乙丙或乙、甲、丙順序闖關．
18.解：設，，則，
由點，在橢圓上，可得，
兩式相減得，
即，
所以，所以橢圓的方程為．
聯立，消去并整理得，
設，，則，所以，
因為點為的中點，所以，
若射線與橢圓，直線分別交于，兩點，可得，且射線的方程為，
聯立，解得，
因為，，成等比數列，則，所以，
故，可得，解得，
所以直線的方程為，所以直線恒過定點，
當直線時，可得，點到直線的距離的最大值為．
由得，
當直線與軸垂直時，可得，
將其代入直線，整理得，
則且，解得舍去或，
因為，所以，此時關于軸對稱，
此時直線的方程為，此時，
由于的外接圓的圓心在軸上，可設的外接圓的圓心為，
可得，解得，
所以的外接圓的半徑為，
所以的外接圓的方程為．
19.解：證明：因為數列同時滿足，性質，所以當時，，
當時，，
當時，由得：，，
將，式代入式得：，
所以，
又因為所以；
取，得；
所以當時，數列為等比數列．設，
將代入式得，所以；
將代入式得，所以
所以對任意的，數列為等比數列．
因為，，所以，所以，
，
當時，，所以為等差數列，
得到：，，
所以，
所以，
所以，
兩式相減得：，
所以．
，
理由如下：令，，
所以數列單調遞減，所以，
所以
．
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