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湖南省益陽市2025屆高三4月教學質量檢測數學試卷
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.設集合，，則( )
A. B. C. D.
2.已知為純虛數，則( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，則( )
A. B. C. D.
4.某同學參加跳遠測試，共有次機會用事件表示隨機事件“第次跳遠成績及格”，那么事件“前兩次測試成績均及格，第三次測試成績不及格”可以表示為( )
A. B. C. D.
5.( )
A. B. C. D.
6.長沙是一座有著悠久歷史和豐富文化底蘊的城市，其當地美食也獨具特色某個假期期間，一名游客前往長沙旅游打卡，現要每天分別從臭豆腐、炸藕夾、剁椒魚頭、辣椒小炒肉、醬板鴨、糖油粑粑這種美食中隨機選擇種品嘗選擇的種美食不分先后順序，若三天后他品嘗完這種美食，則這三天他選擇美食的不同選法種數為( )
A. B. C. D.
7.已知正六棱柱的各個頂點都在半徑為的球面上，一個能放進該正六棱柱內部的最大的球半徑為若，則當最小時，該正六棱柱的體積為( )
A. B. C. D.
8.設拋物線的焦點為，過的直線交于，兩點，其中點位于第一象限，當斜率為正時，軸上存在三點，，滿足，，，則( )
A. B. C. D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.已知函數，則( )
A. 的圖象關于直線對稱 B. 在區間上單調遞增
C. 的最小正周期為 D. 在點處的切線方程為
10.化學課上,老師帶同學進行酸堿平衡測量實驗,由于物質的量濃度差異等因素,測量酸堿度pH值時會造成一定的誤差,甲小組實驗數據的誤差X和乙小組實驗數據的誤差Y均符合正態分布,其中X~N(0.3,0.0001),Y~N(0.28,0.0004).已知正態分布密度函數f(x)=,記X和Y所對應的正態分布密度函數分別為(x),(x),則（）
A. (0.3)>(0.28)
B. 甲小組實驗數據的誤差相對于乙小組更集中
C. P(X<0.28)+P(X0.32)=1
D. P(Y<0.31)< P(X<0.31)
11.已知函數的定義域為，若，，且，都有，則稱是次可加函數，則( )
A. 是次可加函數
B. 是次可加函數
C. 若，，，則次可加函數可以是周期函數
D. 若，，，則次可加函數的表達式不唯一
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知橢圓上一動點到其兩個焦點的距離之和為，則 ．
13.某小區公園內有條同心圓環步道，其長度依次構成公比為的等比數列，若最長步道與最短步道的長度之差為，則最長步道的長度為
14.幻方是一種數學游戲，具有悠久的歷史，其要求每行每列以及兩條對角線的數字之和均相等，且每格的數字均不相同現將填入幻方，部分數據如圖所示，則的取值集合是 ．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
已知雙曲線的左頂點為，右焦點為，，是上的兩點，線段的中點為當時，．
求的離心率
若，求直線的一般式方程．
16.本小題分
記的內角，，的對邊分別為，，，已知，B.
求的面積
若，求的值．
17.本小題分
如圖，長方體中，，，，，分別為棱，的中點．
過點，，的平面截該長方體所得的截面多邊形記為，求的周長
設為線段上一點，當平面平面時，求平面與平面夾角的余弦值．
18.本小題分
記為數列的前項和，且為等差數列，為等比數列，．
求的值，并求的通項公式
探究是否存在唯一的最大項
證明：．
19.本小題分
已知函數．
當時，討論的單調性
已知，為曲線上任意兩點，且，關于點對稱．
(ⅰ)求的取值范圍
(ⅱ)若，求的取值范圍．
參考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.ABC
11.
12.
13.
14.
15.解：當時，，故的橫坐標為，代入的方程，得，
因為，所以，故，
所以，故，解得，
故C的離心率為．
由知，設，，
因為，是上的兩點，故兩式相減得：，
整理得，
因為是線段的中點，所以，，
則，
所以直線的方程為，
其一般式方程為，經檢驗此時該直線與雙曲線有兩個交點，滿足題意．
16.解：對右邊等式，由余弦定理知，
設邊上的高為，
則，
因為，
所以，解得，
所以的面積為．
由，
解得，，由知，，
故，由正弦定理得，，
所以，又因為，
所以．
17.解：如圖，步驟延長，交于點，連接交于點，連接
步驟延長，交于點，連接交于點，連接，
多邊形即為所求截面，由為中點，可得為中點，
從而與相似，所以，
又為中點，從而與全等．
又與相似，所以，
所以，，
，，，
故所求截面多邊形的周長為．
當為線段中點時，平面平面，理由如下
易得，，，
故，所以又，故EF
取中點，連接，，因為，分別為，中點，故E，
所以，，，四點共面，易知四邊形為正方形，故D
又平面，平面，故，
而，，平面故D平面
因為平面，所以又，，平面，
所以平面，而平面，故平面平面．
以為原點，，，分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，
則，，，，則，．
設平面的法向量，則
可取又，，
設平面的法向量，則
可取
則．
故平面與平面夾角的余弦值為．

18.解：因為為等差數列，取前項知，，成等差數列，即，
因為為等比數列，取前項知，，成等比數列，即，
代入得，即，
也即，所以或，
若，那么，
所以，但不為等比數列，與題干不符，
則，得，
經檢驗得符合題意，故．
由可得，即，
令，解得，令，解得，且，
所以，即最大值不唯一
證明：因為
，
于是
，
因此．
19.解：，記，則，
所以在單調遞增又，所以在區間單調遞減，在單調遞增．
由題意可得．
由對稱性，不妨設，則又，即．
記，則，
又，，所以，
所以在區間上單調遞增，所以，即．
下面證明，，即證，有解，記，則，
取，則，
所以，使得，所以
由題意可得，即
記，，
則，．
記，，
所以在區間上單調遞增，所以，即
，即，即．
若，則
所以在區間上單調遞減，所以，符合題意．
若，時，，
所以在單調遞增，所以，不符合題意．
綜上所述，．
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