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2025年山西省、陜西省、寧夏、青海省四縣區高考數學質檢試卷
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.已知集合，，則( )
A. B. C. D.
2.已知向量，若，則的值為( )
A. B. C. D.
3.“”是“復數在復平面內對應的點在第一象限”的( )
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
4.在展開式中，含項的系數是( )
A. B. C. D.
5.設，，，則( )
A. B. C. D.
6.已知函數，則在上的最大值為( )
A. B. C. D.
7.已知角的頂點與坐標原點重合，始邊與軸的非負半軸重合，其終邊與圓交于點，若點沿著圓的圓周按逆時針方向移動個單位長度到達點，則( )
A. B. C. D.
8.已知雙曲線的焦距為，左、右焦點分別為，，過點作斜率不為的直線與雙曲線的左、右支分別交于，兩點若的內切圓與直線相切于點，且，則雙曲線的漸近線方程為( )
A. B. C. D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.現有一組數據為，，，，，，下列說法正確的是( )
A. 該組數據的中位數為 B. 該組數據的平均數為
C. 該組數據的方差為 D. 該組數據的第百分位數為
10.將函數圖象上所有的點向左平移個單位長度，得到函數的圖象，則下列命題正確的是( )
A. 的最小正周期為 B.
C. 為偶函數 D. 在上共有個極值點
11.在四棱錐中，，，四邊形是平行四邊形，，分別為棱，的中點，，點在平面的射影恰好是棱的中點，則( )
A. 平面
B. 線段的長為
C. 三棱錐的外接球的表面積為
D. 平面與平面夾角的余弦值為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.若的內角，，的對邊分別為，，，且，，則 ______，的面積為______．
13.已知點在拋物線：上，點為圓：上任意一點，且的最小值為，則 ______，圓的半徑 ______．
14.設函數，函數，，若函數恰有兩個零點，則的取值范圍為______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
已知函數．
求的單調區間；
若恒成立，求的取值范圍．
16.本小題分
如圖，在正四棱柱中，，，為棱的中點，D.
證明：平面．
求的值．
求直線與平面所成角的正弦值．
17.本小題分
如圖，點，，，，均在直線上，且，質點與質點均從點出發，兩個質點每次都只能向左或向右移動個單位長度，兩個質點每次移動時向左移動的概率均為，每個質點均移動次已知每個質點移動次后到達的點所對應的積分如下表所示，設隨機變量為兩個質點各自移動次后到達的點所對應的積分之和．
積分
求質點移動次后到達的點所對應的積分為的概率；
求隨機變量的分布列及數學期望．
18.本小題分
已知，分別為橢圓：的左、右頂點，，，均為橢圓上異于頂點的點，為橢圓上的點，直線經過左焦點，直線經過右焦點．
求橢圓的標準方程．
試問是否為定值？若是定值，求出該定值；若不是，請說明理由．
19.本小題分
已知集合，，，，集合滿足，，，當取不同值時，各不相同記的所有元素之和為，將數列的所有項重新排列為，使得．
當時，求，，，．
當時，證明：成等差數列．
設，，，，，，證明：．
參考答案
1.
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8.
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10.
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13.
14.
15.解：定義域為，
，
當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，
故的單調遞增區間為，單調遞減區間為；
由可得，
若恒成立，則，即，
故的范圍為．
16.解：證明：在正四棱柱中，易知平面，
因為平面，所以，
因為，，，平面，
所以平面；
在正四棱柱中，
易知四邊形為矩形，四邊形為正方形，
則，由為的中點，
則，
由，易知
則，
可得，解得．
由可知為平面的一個法向量，
在正四棱柱中，易知，，兩兩垂直，
則以為原點，直線，，分別為，，軸建立空間直角坐標系，
因為，，
所以，，，，
則，，
設直線與平面的夾角為，
則
．
17.解：設事件為“質點移動次后到達的點所對應的積分為”，
由題意可知點兩次移動后在點，又起點為點，即的移動一次向左一次向右，
所以；
的所有可能取值為，，，，，
，
，
，
，
，
所以隨機變量的分布列為：


．
18.解：依題意可得：，解得，，
所以橢圓的標準方程．
易得，，設，，，，，
，，
則，
所以，
得，，同理可得，
則．
19.解；當時，集合，其子集及其對應的為：
空集：；：；：；：；
重新排列之后：，，，；
證明：當時，設，，
，，其中，，，，”，，，，，，
由得，去除，的相同元素，設剩余元素中最大的元素為，
設剩余元素中最大的元素為，，，，，若，
則同理有，所以對任意的，，即恒成立，由題意可知，，
因為對任意的，，恒成立，且，
所以，所以，故，
所以成等差數列；
證明：若，，
即，
若不包含于，則，，不妨設，，
則，，，，由，得，
設，，，，，
，，，，
由，，得
，
因為，所以，
則，
因為，，所以，因為，，所以，
，
即，得，
即，
綜上所述：．
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