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2025年湖北省宜昌市遠安第一高級中學高考數學模擬試卷（一）
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.已知集合，，則( )
A. B. C. D.
2.設復數滿足為虛數單位，則( )
A. B. C. D.
3.已知平面向量是兩個單位向量，在上的投影向量為，則( )
A. B. C. D.
4.若數列各項均為正數，則“為等比數列”是“為等差數列”的( )
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分又不必要條件
5.已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，點到點的距離與到直線的距離相等，則( )
A. B. C. D.
6.已知函數，則的解集是( )
A. B. C. D.
7.已知圓臺的側面展開圖是半個圓環，側面積為，則圓臺上下底面面積之差的絕對值為( )
A. B. C. D.
8.已知，則( )
A. B.
C. D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.在二項式的展開式中，前項的系數成等差數列，則下列結論中正確的是( )
A.
B. 展開式中所有奇數項的二項式系數和為
C. 常數項為
D. 展開式中系數最大項為第項和第項
10.已知，分別是橢圓的左、右焦點，為坐標原點，為上異于左、右頂點的一點，是線段的中點，則( )
A. B.
C. 內切圓半徑的最大值為 D. 外接圓半徑的最小值為
11.已知遞增數列的各項均為正整數，且滿足，則( )
A. B. C. D.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.將兩個，兩個，一個排成一行，則不同的排法種數為______用數字作答
13.函數的最小值為______．
14.已知正四面體的棱長為，動點滿足，用所有這樣的點構成的平面截正四面體，則所得截面的面積為______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
某公司升級了智能客服系統，在測試時，當輸入的問題表達清晰時，智能客服的回答被采納的概率為，當輸入的問題表達不清晰時，智能客服的回答被采納的概率為已知輸入的問題表達不清晰的概率為．
求智能客服的回答被采納的概率；
在某次測試中輸入了個問題，設表示智能客服的回答被采納的次數求的分布．
16.本小題分
如圖，正方形所在平面和等腰梯形所在平面互相垂直，已知，，點在線段上．
求證：平面平面；
當直線與平面所成角的正弦值為時，求．
17.本小題分
已知雙曲線的離心率為，為坐標原點，過的右焦點的直線交的右支于，兩點，當軸時，．
求的方程；
過作直線的垂線，垂足為．
證明：直線過定點；
求面積的最小值．
18.本小題分
已知，，函數，．
當時，求的極值；
若存在零點．
當時，求的取值范圍；
求證：．
19.本小題分
如圖，已知給定線段長為，以為底邊作頂角為的等腰三角形，取的腰的三等分點，靠近，以為底邊向外部作頂角為的等腰三角形依次類推，取的腰的三等分點，靠近，以為底邊向外部作頂角為的等腰三角形，得到三角形列
用表示出的外接圓半徑；
當時，證明：各頂點均在外接圓上或其內部；
若各頂點均在外接圓上或其內部，求的取值范圍．
參考答案
1.
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4.
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8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：根據題意，設“輸入的問題表達清晰”，事件“智能客服的回答被采納”，
則，則，
，，
故，
根據題意，可取的值為、、、，則，
則，
，
，
，
故的分布為：


16.解：證明：由正方形有，又平面平面，平面平面，
所以平面，又平面，
所以，
過點作，則，，，
所以，
所以，即，
又，所以平面，又平面，
所以平面平面；
由知，，兩兩互相垂直，
分別以，，所在直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系如圖：
則有，，，，
設，則，
設，則有，
解得，，，
得；
所以，，，
設平面的法向量為，
則有，
令，得，
設直線與平面所成角為，
所以，
解得，
所以或．
17.解：由題設，則，
由軸時，，不妨令，代入雙曲線得，
所以，則所求方程為；
證明：設，，則，由斜率不為，設：，
聯立雙曲線并整理得，則，，
所以，，
由，直線，
根據雙曲線的對稱性，直線所過定點必在軸上，
令，則，
因為，所以，
而，則，
所以過定點；
由，
由，，可得，
令，則，
由，故，當時取等號．
綜上，的最小值為．
18.解：時，，
當時，，函數單調遞增，既無極大值也無極小值．
當時，，，函數單調遞減，，，函數單調遞增，
函數的極小值是，無極大值．
當時，因為函數存在零點，故有解，
若，此時無解，所以，有解，，
若，單調遞增，，此時不存在零點；
若，令，，，
由零點存在定理可知存在，，
所以在上為減函數，在上為增函數，
故，解得，故，
即的取值范圍是．
證明：因為函數存在零點，所以有解，其中，
若，則，該式不成立，故．
故，考慮直線，
表示原點與直線上的動點之間的距離，
，所以，
時，要證，只需證，
即證，
令，，則，
令，，故，在上為增函數，故，
即，在上為增函數，
故，故，即成立．
19.解：設的外接圓半徑為，
由題意知，，，
又，故，
故的外接圓半徑為．
證明：設的外心為，外接圓半徑為，的中點為，，
則，，，
注意到的中點也為，故A的中垂線與中垂線重合，
由題意知，，均在的中垂線上，
而，
，
故．
另一方面，，
故的外接圓內切于的外接圓，
從而的外接圓各點位于的外接圓上或其內部．
反復使用結論可得，的外接圓位于外接圓上或其內部，
故各頂點均在外接圓上或其內部，
若滿足題意，則位于在外接圓上或其內部，
故A，
由知，
，，
由題意，，即，
解得，
故，
當，同上可得，
由知，，共線，故A，即
故，故的外接圓位于外接圓上或其內部，
故各頂點均在外接圓上或其內部，
故的范圍為．
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