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2025年四川省達州高級中學高考數學沖刺試卷（一）
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.已知集合，，，則( )
A. B. C. D.
2.設，，則“”是“”的( )
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
3.已知，則( )
A. B. C. D.
4.記是等差數列的前項和，若，則的最大值是( )
A. B. C. D.
5.某魚塘只養(yǎng)殖有鰱魚和鯽魚，若鰱魚和鯽魚的數量比是：，鰱魚和鯽魚被釣上來的概率分別是，現有一條魚被釣上來了，這條魚是鰱魚的概率為( )
A. B. C. D.
6.設均為單位向量，且，則的最大值是( )
A. B. C. D.
7.某市將要承辦“全國太極拳公開賽總決賽”，組委會將甲、乙、丙、丁、戊等五位志愿者分配到個人賽、對練賽和集體項目比賽等三個場館執(zhí)勤，若每個場館至少分到一人，且甲不能被分配到個人賽場館，乙不能分配到對練賽場館，則不同分配方案的種數是( )
A. B. C. D.
8.若，函數的圖象恒在函數圖象的上方，則實數的取值范圍是( )
A. B. C. D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.已知直線，，不同的平面，，下列命題中正確的是( )
A. 若，，且，則
B. 若，，且，則
C. 若，，且，則
D. 若，，且，則
10.若實數，都是一次函數的零點，則下列不等關系中可能成立的是( )
A. B. C. D.
11.已知是橢圓的內接三角形，且，下列說法正確的是( )
A. 的離心率是
B. 的面積的最大值是
C. 若直線，的斜率之積為，則
D. 若，的中點滿足方程
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知，且，則 ______．
13.已知在平面直角坐標系中有兩個點，，數學上，我們常把定義為歐幾里得距離，把定義為曼哈頓距離分別記，為雙曲線的右頂點和右焦點，若，則點的軌跡與雙曲線的公共點個數是______．
14.記表示不小于的最小整數，例如已知是大于的正整數，設是函數的零點，記，則 ______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
年末促銷是商場常用清理庫存和資金回籠的一種措施某商場對消費超過元的消費者提供一次抽獎活動，抽獎箱中裝有個同種材質且大小相同的紅球、黃球和綠球綠球的個數最多，消費者從抽獎箱中同時抽取個小球，若個小球都是紅球即獲得一等獎，都是黃球即獲得二等獎，其余情況，均是不獲獎若從抽獎箱中同時抽取個小球，其中黃球和綠球各個的概率是，某消費者抽獎一次．
求其獲得一等獎的概率；
記抽到的綠球個數為，求的分布列及其期望．
16.本小題分
已知函數，其中，若將的圖象向左平移個單位，得到函數的圖象，且是偶函數．
求的解析式及單調遞減區(qū)間；
在中，角，，所對的邊分別為，，，已知且，若是的中點，求的最大值．
17.本小題分
過拋物線：的焦點作平行于軸的直線被拋物線截得的弦長為，已知點，，設過點的直線與拋物線交于點，，且直線交拋物線于點點與點不重合．
求拋物線的方程；
設直線交以為直徑的圓于點，，求的最小值．
18.本小題分
如圖，在三棱錐中，，，，，，分別是，，，的中點．
證明：；
若，求四邊形面積的最大值；
若，且二面角的余弦值為，求點到平面的距離．
19.本小題分
設，其中，，都是實數．
當時，證明：僅有一個零點，且；
當，時，求過坐標原點且與相切的直線方程；
當，，時，若實數，其中同第問，且，求的最大值．
參考答案
1.
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10.
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14.
15.解：設個小球中黃球為個，綠球為個，且，，，
由題意得，，
整理得，
解得，，則紅球有個，
記事件：某消費者抽獎一次獲得一等獎，則；
由題意，的取值是，，，
則，，，
所以的分布列為：
所以．
16.解：因為
，
因為將的圖象向左平移個單位，得到函數的圖象，
所以．
因為是偶函數，所以．
又因為，所以，
所以．
令，解得，，
所以的單調遞減區(qū)間是．
因為，
所以，即．
又因為，所以，
所以，解得．
由余弦定理有：，得，
即，當且僅當時取等號，
因為是的中點，所以，
所以，
所以，則的最大值是．
17.解：易知拋物線的焦點為，
將代入拋物線的方程中，
解得，
則，
故拋物線的方程為；
設直線的方程為，，，，
聯(lián)立，消去并整理得，
此時，
由韋達定理得，，
因為，
所以直線，
聯(lián)立，消去并整理得，
由韋達定理得，
所以，
所以，
則，
直線，
因為，，
所以，
又，
所以，
所以直線恒過定點．
以為直徑的圓的方程是，該圓的圓心為，
當且僅當時此時點，重合最小，
此時，
故最小值為．
18.解：證明：如圖，設是在平面上的射影，連接，，，，
因為平面，平面，
所以．
又，，平面，平面，
所以平面．
因為平面，所以．
同理可得，，所以是的垂心，
所以．
又，，平面，平面，
所以平面．
因為平面，
所以．
連接，，，．
因為，，且
所以且，
故四邊形是平行四邊形．
又，，且，
所以，
所以平行四邊形是矩形，則．
由可知，四邊形是矩形，
則的面積，當且僅當時取等號，
所以四邊形面積的最大值是．
如圖，連接，連接并延長交于點，則，．
在中，由等面積法，得，即．
在中，，
所以在中，．
以為原點，，所在的直線為，軸，以過點垂直于平面的直線為軸建立空間直角坐標系如圖所示，即為三棱錐的高，
設，則，
所以，，
設平面的法向量為，
則，則，即，
令，得，，則．
設平面的一個法向量為，
則，則，則，
令，則，，
所以平面的一個法向量為，
所以，
解得，則點到平面的距離是．
19.解：證明：的定義域為，，
所以在上單調遞增．
又，
所以由零點存在性定理可知：有且只有一個，使得，
即當時，僅有一個零點，且．
由，得．
設是的圖象上一點，
則在該點處的切線為，整理得．
因為切線經過原點，所以，解得或，
所以當，時，所求直線方程為．
根據題目：當，，時，
若實數，其中同第問，且，
設，則．
設，則．
當時，；當時，，
所以在上單調遞增，在上單調遞減．
因為，
所以由零點存在性定理可知：，使得，
所以當或時，；當時，，
所以在上單調遞減，在上單調遞增．
因為，
所以時，，
即，當且僅當時等號成立．
因為，所以，
所以當，即時，，當且僅當，即時等號成立，
所以，當且僅當時等號成立，
所以最大值為．
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