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2025年江西省景德鎮市昌江一中高考模擬
數學試卷（二）
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.命題“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2.已知復數滿足，則( )
A. B. C. D.
3.已知集合，，若，則實數的取值范圍是( )
A. B. C. D.
4.若，則下列結論一定正確的是( )
A. B. C. D.
5.在中，為邊上一點，且，設，，則( )
A. B. C. D.
6.如圖，在圓錐中，是底面圓的直徑，已知，，是的中點，二面角的大小為則圓錐的體積為( )
A.
B.
C.
D.
7.已知，，，則下列結論正確的是( )
A. 且 B. 且 C. D.
8.已知點是拋物線：的焦點，點是拋物線上一點過點作圓：的兩條切線，切點分別為，，且分別交拋物線的準線于，兩點，，位于軸異側如圖所示若，則的長為( )
A. B. C. D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.已知函數，將的圖象向左平移個單位長度后與函數的圖象重合，則關于函數，下列結論正確的是( )
A. 函數的最小正周期為 B. 函數圖象關于點對稱
C. 函數圖象關于直線對稱 D. 函數在區間上單調遞減
10.設，是一次隨機試驗中的兩個事件，且，，，則( )
A. ，相互獨立 B.
C. D.
11.已知函數的定義域為，區間，若，，則稱是在上的不動點，集合為在上的不動點集若函數在上的不動點集為，下列結論正確的是( )
A. B.
C. D.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.函數在點處的切線方程為______．
13.在中，角，，所對的邊分別為，，，已知，，則的面積的最大值為______．
14.已知橢圓的左，右焦點分別為，，其中，直線與橢圓交于，兩點，記的面積為，若時，，則橢圓的離心率的取值范圍為______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
已知數列滿足：，．
求數列的通項公式；
設數列的前項和為，若，求證：．
16.本小題分
為激發學生注重學科核心素養的培養，某校數學教研組開展數學基本技能比賽，比賽采用自主報名參賽方式，全校共有名學生自主報名參賽，統計參賽成績，參賽學生所得分數的分組區間為，，，得到如下的頻數統計表：
分數區間性別
男生名
女生名
若學生得分不低于分，則認為基本技能優秀，得分低于分，則認為基本技能良好，依據小概率值的獨立性檢驗，分析該校學生的基本技能與性別是否有關？
為進一步調研男生和女生在基本技能上的差異，在參加數學基本技能比賽的名學生中，按性別比例分層抽樣的方式隨機抽取名學生進行問卷調研，然后再從這名學生中隨機抽取名學生進行座談調研，記取出的人中女生的人數為，求的分布列和數學期望．
附：
，．
17.本小題分
如圖，在三棱柱中，為邊上異于，兩點的動點，平面與邊交于點．
請判斷四邊形的形狀，并說明理由；
已知側面底面，，，，求直線與平面所成角的大?。?br/>18.本小題分
已知函數，．
證明：函數與的圖象關于直線對稱；
設．
(ⅰ)判斷函數的單調性；
(ⅱ)證明：，．
19.本小題分
已知，分別是雙曲線的左、右焦點，是雙曲線的右支上一點，若，雙曲線的離心率為．
求雙曲線的標準方程；
設，分別是雙曲線的左，右頂點，平行軸的直線交雙曲線于，異于，兩點直線與直線交于點，求交點的軌跡的方程；
過點且斜率為的直線交第問的軌跡于，不在坐標軸上兩點，點是軌跡上一點，滿足軸，直線，分別交直線于點，，其中為坐標原點，記，，求的最小值．
參考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：數列滿足，，
所以當時，，，，，
上述各式相加得，
又，所以，
又滿足上式，故．
證明：設數列的前項和為，若，
所以，
所以數列的前項和
，
即．
16.解：學生得分不低于分，則認為基本技能優秀，得分低于分，則認為基本技能良好，
根據題意得如下列聯表：
男生 女生 合計
基本技能優秀
基本技能良好
合計
零假設：該校學生的基本技能與性別無關聯．
，
依據小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，
即認為該校學生的基本技能與性別有關聯，此推斷犯錯誤的概率不大于．
在參加數學基本技能比賽的名學生中，按性別比例分層抽樣的方式隨機抽取名學生進行問卷調研，
然后再從這名學生中隨機抽取名學生進行座談調研，
記取出的人中女生的人數為，由題意知，隨機抽取進行問卷調查的名學生中，女生名，男生名，
隨機變量的可能取值有，，，
故，
，
，
的分布列為：
．
17.解：在三棱柱中，，
又平面，平面，
所以平面，又平面平面，平面，
所以，
又平面平面，
平面平面，平面平面，
所以，
所以四邊形為平行四邊形；
取的中點，連接，
在中，因為，所以，
因為側面底面，底面側面，底面，
所以平面，又側面，所以．
在中，由，，可知，
在中，因為，，所以，
所以，所以，
從而，，兩兩垂直．
以為原點，以，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，如圖，
則，，，，，
所以，，，
設平面的法向量為，則
令，得，
設直線與平面所成角為，
則，
因為，所以，
即直線與平面所成角的大小為．
18.解：證明：設點為函數上任一點，又點關于直線對稱的點為，
，，點在函數的圖象上．
設點為函數上任意一點，又點關于直線對稱的點為，
，，點在函數的圖象上．
綜上可得，函數的圖象與的圖象關于直線對稱；
由已知，
得，
令，則，
當時，，在單調遞減，
當時，，在單調遞增，
，，
則在單調遞增．
(ⅱ)證明：，
當時，令，
則，
令，則，
在上單調遞增，則，
，在上單調遞增，
則，
，
即，．
19.解：，分別是雙曲線的左、右焦點，是雙曲線的右支上一點，
且，
，
又雙曲線的離心率為，
即，得，
，
雙曲線的標準方程為．
由得雙曲線的方程為，
設，
則，又，，
則，
由，，三點共線得：；
又，
由，，三點共線得：，
兩式相除得，
，
所以，
即，得，
直線與直線的交點的軌跡的方程為．
由已知可設直線的方程為，，設，，
聯立
化簡可得，
，
，
，
，
又直線的方程為，與直線聯立可得，
，
直線的方程為，與直線聯立可得，
，
，
，，
，
又，
，
，當且僅當時取等號，
的最小值為．
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