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云南省紅河州、文山州、普洱市、臨滄市2025年高考統測
數學試卷（4月份）
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.若為虛數單位，其，為實數，則的值為( )
A. B. C. D.
2.已知橢圓：的右焦點為，則的長軸長為( )
A. B. C. D.
3.已知集合，，若，則實數的值為( )
A. B. C. D. 或
4.( )
A. B. C. D.
5.廣東省第十二屆大學生運動會將于年月日至月日在廣州市舉行某電視臺為了報道此次運動會，計劃從甲、乙、丙、丁、戊名記者中選派人前往現場進行報道若記者甲被選中，則記者乙也被選中的概率為( )
A. B. C. D.
6.函數的零點個數是( )
A. B. C. D.
7.在四棱錐中，底面為矩形，平面，為的中點，，若四棱錐的外接球半徑為，則與所成角的正弦值為( )
A. B. C. D.
8.定義在上的函數滿足：都有，，且，則( )
A. B. C. D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.在菱形中，點，分別是，的中點，，，下列說法正確的是( )
A. B.
C. D.
10.長時間玩手機可能影響視力為研究近視與玩手機時長的關系，某市隨機抽取名高中生進行調查，其中有的人近視而這名學生中有的學生每天玩手機超過小時，這些人的近視率達根據以上數據得到如下列聯表：
近視 不近視 合計
每天玩手機超過小時
每天玩手機不超過小時
合計
附：
參考公式：，其中．
下列說法正確的是( )
A.
B. 依據小概率值的獨立性檢驗，認為玩手機時長與近視之間有關
C. 用頻率估計概率，若從該市高中生中隨機抽取人進行視力調查，記近視人數為，則的數學期望
D. 若從列聯表中每天玩手機超過小時的人中隨機抽取人，記近視人數為，則
11.已知一圓臺上、下底面半徑分別為，，母線長為，下列說法正確的是( )
A. 該圓臺的體積為
B. 該圓臺母線與下底面所成的角為
C. 存在一個球與該圓臺的兩個底面和側面都相切
D. 過該圓臺的軸上一點作平行于下底面的截面，以該截面為底面挖去一個圓柱，則剩下幾何體的體積最小值為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知隨機變量，若，則 ______．
13.已知直線：，若直線被圓所截得的弦長為，則的最大值為______．
14.拋物線有一條重要性質：從焦點發出的光線，經過拋物線上的一點反射后，反射光線平行于拋物線的軸如圖，拋物線：的焦點為，由點發出的光線經點反射后經過點，若點在上，且，，則 ______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
已知為數列的前項和，．
求的通項公式；
若，求取得最大值時的值．
16.本小題分
已知函數的最小正周期為．
求函數的單調遞增區間；
在中，角，，的對邊分別為，，，，從下列，中任選一個作為條件，求的取值范圍．
條件：若的面積為，；
條件；．
注：如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分
17.本小題分
已知函數．
求曲線在處的切線方程；
求函數的極值；
設，求函數在區間上的最大值．
18.本小題分
已知雙曲線：的離心率為，其右焦點到一條漸近線的距離為．
求雙曲線的方程；
若直線：與雙曲線交于不同的兩點，，且以線段為直徑的圓經過點．
證明：直線過定點；
已知點，判斷雙曲線上是否存在點，使為的重心，若存在，求出的坐標；若不存在，請說明理由．
19.本小題分
高斯一博內公式是大范圍微分幾何學的一個經典公式，是關于曲面的圖形由曲率表征和拓撲由歐拉示性數表征間聯系的一個重要表述，建立了空間的局部性質和整體性質之間的聯系其特例是球面三角形總曲率與球面三角形的面積滿足，其中為球的半徑如圖，把球面上的三個點用三個大圓以球心為圓心的圓的圓弧連接起來，所圍成的圖形叫做球面三角形，若平面，平面，平面兩兩所成的二面角的平面角分別為，，，則球面三角形的面積，已知．
若圖中，求劣弧的長；
若圖中球面三角形中的劣弧，，的長均為，求球面三角形的總曲率；
由圖截出三棱錐，并延長使，得到圖所示的三棱錐，，，，為線段上的一個動點，為中點，為中點，設平面與平面的夾角為，直線與平面所成的角為，求的最大值．
參考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：已知為數列的前項和，．
則當時，，
即，
又滿足上式，
即；
由可得：，
則，
當時，，
當時，，
當時，，
即取得最大值時的值為或．
16.解：因為函數的最小正周期為，
所以由周期公式得：，
所以，
令，解得，，
所以函數的單調遞增區間為，；
因為，
所以，
選擇條件：因為，
結合余弦定理，得，
因為，所以；
選擇條件：因為，所以，
由正弦定理得：，
即，因為，所以，
所以，因為，所以；
由正弦定理：，其中為外接圓半徑，
因為，，設，則，
則，，，
所以
，
因為，所以，
所以，所以．
17.解：函數的定義域為，
由，則切線的斜率，
又，故切點為，
所以切線的方程為，即．
因為，
則，得；，得，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，
故當時，有極大值，無極小值．
由得：當且，即時，
在上恒成立，函數在上單調遞增，
所以；
當，即時，
時，，時，，
所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，
所以；
當時，在上恒成立，函數在上單調遞減，
所以，
綜上所得：當時，；
當時，；
當時，．
18.解：因為雙曲線的右焦點為，漸近線方程為，
所以右焦點為到漸近線的距離為，因為雙曲線的離心率為，
所以，所以，解得，所以雙曲線的方程為．
證明：設，，聯立，得，
則，，，
，，
因為以線段為直徑的圓經過點，所以，所以，
即，所以．
化簡得，即，因為，，所以，
所以直線的方程為，所以直線過定點；
假設雙曲線上存在點，使為的重心，
則，即，
由知，，所以，
又，所以，因為點在雙曲線上，
所以，即，
化簡得，即，所以或舍，
又因為，所以假設不成立，故雙曲線上不存在點，使為的重心．
19.解：設劣弧的長度為，因為，，
所以；
設，，的長度為，，
則，且，
所以，，，
故平面，平面，平面兩兩垂直，得，
所以球面三角形的面積，
故球面三角形的總曲率；
由余弦定理知：，
所以，
，
所以，
因為，所以，因為，故AC，
由題知，是球的直徑，則，，
因為，，且，平面，
所以平面，又平面，
則，因為，，且，平面，
所以平面，
因為，所以為等腰直角三角形，
所以．
因為，，兩兩垂直，
以為坐標原點，以，所在直線為，軸，過點作的平行線為軸，建立如圖空間直角坐標系，
設，
則，，，，，，，
，
則，，，，
設平面法向量，
則，
取，則，，
可得，
設平面法向量，
則，
取，則，，可得，
要使取最大值，則取最小值，取最大值，
因為
，
令，，則，，
可得，
當且僅當，即時等號成立，
則取最大值，為最小值，
所以．
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