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2025年山東省名校高考數(shù)學校際聯(lián)考試卷（4月份）
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.已知集合，，則( )
A. B. C. D.
2.已知復(fù)數(shù)滿足為虛數(shù)單位，則的虛部為( )
A. B. C. D.
3.已知等差數(shù)列的前項和為，若，且，則( )
A. B. C. D.
4.已知，為單位向量，且，則( )
A. B. C. D.
5.已知，，則( )
A. B. C. D.
6.已知隨機變量：∽，且，則的最小值為( )
A. B. C. D.
7.若函數(shù)有個零點，則實數(shù)的取值范圍是( )
A. B. C. D.
8.已知軸截面是正三角形的圓錐，其內(nèi)接圓柱的下底面在圓錐底面內(nèi)，上底面圓在圓錐的側(cè)面上，若圓柱與圓錐的側(cè)面積之比為，則此圓柱與圓錐的體積之比為( )
A. B. 或 C. 或 D. 或
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.下列說法正確的是( )
A. 兩組樣本數(shù)據(jù)，，，和，，，的平均數(shù)分別為，，若已知，則
B. 已知變量，的對樣本數(shù)據(jù)，，，，，變量，的線性回歸方程為，若，，則
C. 若隨機變量服從二項分布：，則
D. 某學生次考試的數(shù)學成績分別為：，，，，，，，，則這次數(shù)學成績的分位數(shù)為
10.已知橢圓的左、右焦點分別為，，直線交橢圓于，兩點，則( )
A. 的周長為
B. 若直線經(jīng)過點，則的最小值是
C. 若線段中點坐標為，則直線的方程為
D. 若點是橢圓上的任意一點，點是圓：上的任意一點，則的最大值為
11.已知函數(shù)，則( )
A. 函數(shù)的值域為
B. 函數(shù)在處的切線方程為
C. 若函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，則點的坐標為
D.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.二項式的展開式中含項的系數(shù)為______．
13.已知為坐標原點，過拋物線的焦點的直線與該拋物線交于、兩點，若，的面積為，則實數(shù)的值為______．
14.已知直線與曲線相切，則 ______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
已知，，函數(shù)．
求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
在中，若，，且的面積為，求．
16.本小題分
如圖所示，在四面體中，平面，是的中點，，分別在線段，上，且，．
求證：平面；
若，，求直線與平面所成角的正弦值．
17.本小題分
已知函數(shù)，．
討論的單調(diào)性；
證明：當時，．
18.本小題分
已知雙曲線的左、右焦點分別為、，焦距為，且點到其漸近線的距離為．
求的標準方程．
若點是上第一象限的動點，過點作直線不與漸近線平行，若與只有一個公共點，且與軸相交于點與點不重合．
證明：．
若點在直線上，且，那么點是否在定直線上？若在定直線上，求出該直線方程；若不在定直線上，請說明理由．
19.本小題分
“馬爾科夫鏈”是一種隨機過程，它具有馬爾科夫性質(zhì)，也稱為“無記憶性”，即一個系統(tǒng)在某時刻的狀態(tài)僅與前一時刻的狀態(tài)有關(guān)為了讓學生體驗馬爾科夫性質(zhì)，數(shù)學老師在課堂上指導學生做了一個游戲他給小聰和小慧各一個不透明的箱子，每個箱子中都有個紅球和個白球，這些球除了顏色不同之外，其他的物質(zhì)特征完全一樣規(guī)定“兩人同時從各自的箱子中取出一個球放入對方的箱子中”為一次操作，假設(shè)經(jīng)過次操作之后小聰箱子里的白球個數(shù)為隨機變量，且．
求的值；
隨機變量的分布列和期望；
求．
參考答案
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8.
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13.
14.
15.解：由題意，，，
則
，
所以，
由，
可得，，
所以的增區(qū)間為；
由，得，
因為，所以，
所以，即，
因為，所以，
因此，又，
所以，
即，
所以，
即．
16.解：證明：如圖，在線段上取一點，使，
由已知，，且，
在線段上取一點，使，
由已知，，且，
所以，且，因此四邊形為平行四邊形，
所以，又平面，且平面，
所以平面．
由，，知．
以為坐標原點，過點與平行的直線為軸，
分別以，所在直線為軸和軸建立如圖所示的空間直角坐標系．
又，得，，，，，
則，，，
設(shè)平面的一個法向量為，
則，即，
取，則，所以平面的一個法向量為，
設(shè)直線與平面所成角為，
則，
所以直線與平面所成角的正弦值為．
17.解：由題意，函數(shù)的定義域為，則，
當時，，則在上單調(diào)遞減，
當時，由，得，由，得，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
綜上，當時，在上單調(diào)遞減；
當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
證明：由可知，當時在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，
要證，即證，
因為，因此只需證，
設(shè)，，則，
當時，，則在上單調(diào)遞增；
當時，，則在上單調(diào)遞減；
所以，所以當時，，從而命題得證．
18.解：根據(jù)題目；已知雙曲線的左、右焦點分別為、，
焦距為，且點到其漸近線的距離為．
可知，可得，
雙曲線的漸近線方程為，即，
點到其漸近線的距離為，所以，，
因此，雙曲線的方程為．
證明：因為是上第一象限的動點，則，可得且，
易知點、，
所以，
，
由雙曲線的定義可得，
所以，，
先證明出雙曲線在點處的切線方程為，
聯(lián)立可得，整理可得，解得，
所以，雙曲線在點處的切線方程為，
在直線的方程中，令，可得，即點，且，
所以，，因此，；
如下圖所示：
直線的斜率為，
因為，則直線的斜率為，
所以，直線的方程為，
聯(lián)立直線和直線的方程，
可得，解得，
點在定直線上．
由已知條件求出、的值，可得出的值，由此可得出雙曲線的方程；
利用兩點間的距離公式化簡、的表達式，證明出雙曲線在點處的切線方程為，求出點的坐標，由此可證得；
求出直線的方程，將該直線方程與直線的方程聯(lián)立，求出點的坐標，即可得出結(jié)論．
本題考查直線與雙曲線的綜合，屬于難題．
19.解：由題意可得，解得．
由已知可得隨機變量的所有可能取值為，，，
則，，已知，
所以，
，
，
所以隨機變量的分布列如下表所示：
期望．
，
又，
所以，
所以，
因為，
所以，
．
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