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2024-2025學(xué)年廣東省廣州四中高三（下）4月月考
數(shù)學(xué)試卷
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1.已知集合，集合，若，則的取值范圍為( )
A. B. C. D.
2.已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面里位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.已知平面向量是兩個(gè)單位向量，在上的投影向量為，則( )
A. B. C. D.
4.已知正三棱臺(tái)的上底面與下底面的面積之比為：，當(dāng)棱臺(tái)的高為，體積為時(shí)，則此時(shí)正三棱臺(tái)的側(cè)面積為( )
A. B. C. D.
5.已知橢圓與拋物線：，橢圓與拋物線交點(diǎn)的連線經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)，拋物線的準(zhǔn)線經(jīng)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)，則橢圓的離心率為( )
A. B. C. D.
6.已知角，滿足，，則( )
A. B. C. D.
7.下列結(jié)論正確的是( )
A. 若數(shù)列的前項(xiàng)和，則數(shù)列為等差數(shù)列
B. 若數(shù)列為等比數(shù)列，且前項(xiàng)和，則
C. 若數(shù)列為單調(diào)遞增的等比數(shù)列，則公比
D. 若，，是不全相等的非零實(shí)數(shù)，且，，成等差數(shù)列，則能構(gòu)成等差數(shù)列
8.已知函數(shù)，它的兩個(gè)相鄰的極值點(diǎn)之間的距離為若先將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將其圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的倍，得到函數(shù)的圖像，則在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為( )
A. B. C. D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。
9.下列說(shuō)法正確的是( )
A. 事件與事件相互獨(dú)立，且，，則
B. 樣本數(shù)據(jù)，，，，，，，，，的上四分位數(shù)為
C. 某分層抽樣有層，第層樣本數(shù)為，其平均數(shù)和方差分別為和，第層樣本數(shù)為，其平均數(shù)和方差分別為和，則總方差為
D. 已知一系列樣本點(diǎn)的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，若樣本點(diǎn)與點(diǎn)的殘差相等，則
10.已知函數(shù)對(duì)任意的，都有，，且當(dāng)時(shí)，，則下列結(jié)論正確的是( )
A.
B. 是奇函數(shù)
C.
D. 不等式的解集是
11.已知直棱柱的所有棱長(zhǎng)均為，，動(dòng)點(diǎn)滿足，則下列說(shuō)法正確的是( )
A.
B. 若直線與直線所成角為定值，則點(diǎn)軌跡為圓的一部分
C. 當(dāng)時(shí)，三棱錐的外接球的體積為
D. 記點(diǎn)到直線的距離為，當(dāng)時(shí)，則的最小值為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知等差數(shù)列的第項(xiàng)是的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)，則該數(shù)列的前項(xiàng)和 ______．
13.若曲線在處的切線也是曲線的切線，則 ______．
14.項(xiàng)數(shù)為的數(shù)列滿足，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)其中，，，，規(guī)定：，，稱為“好數(shù)列”在項(xiàng)數(shù)為且，，，的所有中，隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)列，該數(shù)列是“好數(shù)列”的概率為_(kāi)_____．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。
15.本小題分
在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知．
求的大小；
若，的平分線交于點(diǎn)，且，求的面積．
16.本小題分
人工智能簡(jiǎn)稱的相關(guān)技術(shù)首先在互聯(lián)網(wǎng)開(kāi)始應(yīng)用，然后陸續(xù)普及到其他行業(yè)某公司推出的軟件主要有四項(xiàng)功能：“視頻創(chuàng)作”、“圖像修復(fù)”、“語(yǔ)言翻譯”、“智繪設(shè)計(jì)”為了解某地區(qū)大學(xué)生對(duì)這款軟件的使用情況，從該地區(qū)隨機(jī)抽取了名大學(xué)生，統(tǒng)計(jì)他們最喜愛(ài)使用的軟件功能每人只能選一項(xiàng)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：
軟件功能 視頻創(chuàng)作 圖像修復(fù) 語(yǔ)言翻譯 智繪設(shè)計(jì)
大學(xué)生人數(shù)
假設(shè)大學(xué)生對(duì)軟件的喜愛(ài)傾向互不影響．
從該地區(qū)的大學(xué)生中隨機(jī)抽取人，試估計(jì)此人最喜愛(ài)“視頻創(chuàng)作”的概率；
采用分層抽樣的方式先從名大學(xué)生中隨機(jī)抽取人，再?gòu)倪@人中隨機(jī)抽取人，其中最喜愛(ài)“視頻創(chuàng)作”的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
從該地區(qū)的大學(xué)生中隨機(jī)抽取人，其中最喜愛(ài)“視頻創(chuàng)作”的人數(shù)為，的方差記作，中的方差記作，比較與的大小．
結(jié)論不要求證明
17.本小題分
如圖所示，在四棱錐中，底面為梯形，且滿足，，平面平面．
求證：；
若，點(diǎn)在線段上，當(dāng)二面角大小為時(shí)，求四棱錐的體積．
18.本小題分
已知函數(shù)，．
Ⅰ討論的單調(diào)性；
Ⅱ當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍；
Ⅲ當(dāng)時(shí)，設(shè)，證明：在上存在唯一的極小值點(diǎn)且．
參考數(shù)據(jù)：．
19.本小題分
已知雙曲線：的兩條漸近線為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)．
求雙曲線的方程；
過(guò)點(diǎn)作兩條互相垂直的直線兩條直線的斜率都存在分別交雙曲線于點(diǎn)、和點(diǎn)、，、分別為弦和的中點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)；過(guò)點(diǎn)作兩條互相垂直的直線兩條直線的斜率都存在分別交雙曲線于點(diǎn)、和點(diǎn)、，、分別為弦和的中點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)；依此類推得到點(diǎn)列，．
求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
、分別在雙曲線的左支和右支上，且直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，當(dāng)，時(shí)滿足：直線的傾斜角總是；點(diǎn)和關(guān)于軸對(duì)稱設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，數(shù)列的前項(xiàng)和為證明：．
參考答案
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15.解：根據(jù)，由正弦定理得，
在中，，
所以，整理得，
因?yàn)椋裕Y(jié)合，可得．
根據(jù)平分，可得，
由，得，
即，整理得，
在中，由余弦定理得，
即，即，將代入得，解得舍負(fù)，
所以的面積．
16.解：設(shè)從該地區(qū)的大學(xué)生隨機(jī)抽取人，此人選擇“視頻創(chuàng)作”的事件為，
則．
因?yàn)槌槿〉娜酥邢矚g“視頻創(chuàng)作”的人數(shù)為，
所以的所有可能取值為，，，
，，，
所以的分布列為：
．
或，則
由可得；
由頻率估計(jì)概率可得地區(qū)的大學(xué)生中最喜歡“視頻創(chuàng)作”的概率為，因此，
可得．
因此．
17.證明：連接，
在直角梯形中，易得，，
又因?yàn)椋裕裕?br/>又因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫妫矫妫?br/>所以平面，因?yàn)槠矫妫?br/>所以，又因?yàn)椋矫妫?br/>所以平面，因?yàn)槠矫妫?br/>所以．
解：如圖，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，，
由題意可得，，，
因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫妫矫妫?br/>所以平面，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
設(shè)，則，
設(shè)為平面的一個(gè)法向量，
則，
令，則平面的一個(gè)法向量，
易得平面的一個(gè)法向量，
所以，
解得或舍，
即為的靠近的三等分點(diǎn)時(shí)，二面角的平面角為，
平面，且，
所以到平面的距離為，又四邊形的面積為，
所以四棱錐的體積．
18.解：因?yàn)槠渲校?br/>當(dāng)時(shí)，恒成立，的增區(qū)間為，無(wú)減區(qū)間；
當(dāng)時(shí)，令，得，由可得；由可得．
此時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為．
綜上所述：當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為，無(wú)減區(qū)間；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為．
當(dāng)時(shí)，恒成立，即恒成立．
令，則，其中，由，可得；
由可得所以，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為．
所以即，故的取值范圍是．
當(dāng)時(shí)，，，令，則．
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
又因?yàn)椋遥?br/>所以存在唯一的，使得，即．
當(dāng)時(shí)，，即，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，
即，單調(diào)遞增，所以是在上唯一的極小值點(diǎn)．
則，由可知．
19.解：雙曲線：的兩條漸近線為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)．
故得，即，
又雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，解得，
所以雙曲線的方程為．
令，設(shè)兩條直線的方程分別為和，
設(shè)，，由得，
由，得，，
則，，
點(diǎn)，同理得點(diǎn)，
于是直線的斜率，
直線的方程為：，
令，得，因此，
由，得，則數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
所以．
證明：(ⅱ)設(shè)直線的方程為，由點(diǎn)的坐標(biāo)為，得的坐標(biāo)為，
由消去得，因此，，
則，
所以．
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