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2025年云南省保山市騰沖五中高考數學一模試卷
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.設復數滿足為純虛數，則( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，則( )
A. B. C. D.
3.函數與函數的圖像如圖和圖，則函數的圖像可能是( )
A. B.
C. D.
4.在中，內角，，的對邊分別為，，，，，，為邊上一點，且，則的面積為( )
A. B. C. D.
5.雙曲線的左、右焦點分別為、過作其中一條漸近線的垂線，垂足為已知，直線的斜率為，則雙曲線的方程為( )
A. B. C. D.
6.已知一個圓錐的底面半徑為，其側面面積是底面面積的倍，則該圓錐的體積為( )
A. B. C. D.
7.已知函數，則的值域是( )
A. B. C. D.
8.已知實數，滿足，則下列不等式可能成立的是( )
A. B. C. D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.已知點在圓上，點，，則( )
A. 點到直線的距離小于 B. 點到直線的距離大于
C. 當最小時， D. 當最大時，
10.在去年的足球聯賽上，甲隊每場比賽平均失球數是，方差為；乙隊每場比賽平均失球數是，方差是，下列說法正確的有( )
A. 平均來說甲隊比乙隊防守技術好 B. 乙隊比甲隊的防守技術更穩定
C. 每輪比賽甲隊的失球數一定比乙隊少 D. 乙隊可能有一半的場次不失球
11.設是定義域為的可導函數，若存在非零常數，使得對任意的實數恒成立，則稱函數具有性質則( )
A. 若函數具有性質，則也具有性質
B. 若具有性質，則
C. 若具有性質，且，則
D. 若函數具有性質，則的取值范圍是
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知函數，則 ______．
13.已知單位向量滿足，則 ______．
14.已知橢圓：，點，分別為橢圓的左右頂點，點為橢圓的右焦點，為橢圓上一點，且垂直于軸過原點作直線的垂線，垂足為，過原點作直線的垂線，垂足為，記，分別為，的面積若，則橢圓的離心率為______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
等差數列的公差不為，其中，，，成等比數列數列滿足．
求數列與的通項公式；
若，求數列的前項和．
16.本小題分
年初，冰城哈爾濱充分利用得天獨厚的冰雪資源，成為年第一個“火出圈”的網紅城市，冰城通過創新營銷展示了豐富的文化活動，成功提升了吸引力和知名度，為其他旅游城市提供了寶貴經驗，從年月日至日，哈爾濱太平國際機場接待外地游客數量如下：
日
萬人
計算，的相關系數計算結果精確到，并判斷是否可以認為日期與游客人數的相關性很強；
請根據上表提供的數據，用最小二乘法求出關于的線性回歸方程；
為了吸引游客，在冰雪大世界售票處針對各個旅游團進行了現場抽獎的活動，具體抽獎規則為：從該旅游團中隨機同時抽取兩名游客，兩名游客性別不同則為中獎已知某個旅游團中有個男游客和個女游客，設重復進行三次抽獎中恰有一次中獎的概率為，當取多少時，最大？
參考公式：，，，參考數據：．
17.本小題分
已知函數，．
Ⅰ討論的單調性；
Ⅱ若對任意兩個不相等的正實數，恒成立，求的取值范圍．
18.本小題分
如圖，在四棱臺中，平面平面，底面為正方形，，．
求證：平面；
點在直線上，且平面，求與平面所成角的正弦值．
19.本小題分
已知是拋物線：與橢圓：的一個交點，的焦點為，為坐標原點．
Ⅰ若點到軸的距離等于，求的方程；
Ⅱ若點滿足，求直線斜率的最大值；
Ⅲ若存在過點但不過點的直線，與交于另一點，與交于另一點，且為線段的中點，求的最大值．
參考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由已知，又
故
解得舍去，或
故當時，可知
當時，可知
得
又也滿足，故當時，都有．
由知
故
由得
解得
16.解：因為，
所以，，
因為，
所以，
所以，
由此可以認為日期與游客人數的相關性很強；
由知，，
所以，
因為，
所以回歸方程為；
記，
，
，即，
，
在上單調遞增，在上單調遞減，
當時，取得最大值，
由，解得或舍去，
當時，恰有一次中獎的概率最大．
17.解：Ⅰ函數的定義域為，
，
當時，時，，時，，
在上單調遞減，在上單調遞增；
當時，時，，時，，時，，
在、上單調遞增，在上單調遞減；
當時，時，恒成立，故在上單調遞增；
當時，時，，時，，時，，
在、上單調遞增，在上單調遞減．
Ⅱ設，由得，
即．
設，則在上單調遞增，
在上恒成立，
則在上恒成立，
設，，
函數的對稱軸為，則時，取得最大值，．
，則
則實數的取值范圍為．
18.證明：平面平面，底面為正方形，
，則，
，．
過，分別作，垂直于，，
則，，，
則，，
則，則，
即，
，
平面．
平面平面，底面為正方形，
建立空間直角坐標系如圖：則，，，，，，
則，，，
，則，，則，
在直線上，設，，
平面，，即，得，
則，，
，
平面；
是平面的法向量，
則，
設與平面所成角為，
則，．
即與平面所成角的正弦值為．
19.解：Ⅰ設點，若點到軸的距離等于，
則，
由拋物線的定義有，，
的方程為；
Ⅱ設點，由題意可得，則有，
由有，點在拋物線上，
，
，
當且僅當時，即，等號成立，
直線斜率的最大值為；
Ⅲ當直線的斜率不存在時，此時，點和點重合，不滿足題意，
當直線的斜率存在時，設直線的方程為，，，
由，
，
，，
，又點在拋物線上，
，
又，
，
，又點在橢圓上，
，
，
又，當且僅當時，即時等號成立，
，
，的最大值為．

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