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2025年上海市徐匯區高考數學二模試卷
一、單選題：本題共4小題，共18分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.已知、為兩個隨機事件，則“、為互斥事件”是“、為對立事件”的( )
A. 充分非必要條件 B. 必要非充分條件 C. 充要條件 D. 非充分非必要條件
2.在研究線性回歸模型時，若樣本數據所對應的點都在直線上，則兩組數據和的線性相關系數為( )
A. B. C. D.
3.在桌面上有一個質地均勻的正四面體從該正四面體與桌面貼合的面上的三條棱中等可能地選取一條棱，沿其翻轉正四面體至正四面體的另一個面與桌面貼合，如此翻轉稱為一次操作如圖，開始時，正四面體與桌面貼合的面為，操作次后，正四面體與桌面貼合的面是的概率記為現有下列兩個結論：；則下列說法正確的是( )
A. 正確，錯誤 B. 錯誤，正確 C. 、都正確 D. 、都錯誤
4.已知函數的定義域和值域都為，且圖像是一條連續不斷的曲線，其導函數的值如表：
設，若集合，其中，，為常數，則符合要求的集合的個數不可能是( )
A. B. C. D.
二、填空題：本題共12小題，共54分。
5.已知全集，，則 ______．
6.復數其中為虛數單位的虛部是______．
7.在空間直角坐標系中，向量，若，則 ______．
8.已知冪函數的圖像過點，則該冪函數的值域是______．
9.如圖是一個列聯表，則 ______．
總計
總計
10.已知，則的值為______．
11.已知平面，是直角三角形，且，，則點到直線的距離是______．
12.已知是正方形，點是的中點，點在對角線上，且，則的大小為______．
13.已知兩個隨機事件，，若，，，則 ______．
14.已知為雙曲線的左焦點，是雙曲線右支上一點，線段與以該雙曲線實軸為直徑的圓相切于線段的中點，則該雙曲線的離心率為______．
15.如圖，某處有一塊圓心角為的扇形綠地，扇形的半徑為米，是一條原有的人行直路，由于工程建設需要，現要在綠地中建一條直路，以便在圖中陰影部分區域分類堆放物料為了盡量減少對綠地的破壞不計路寬，則原直路與新直路的交叉點到的距離為______米
16.設實數，若滿足對任意，都存在，使得成立，則的最小值是______．
三、解答題：本題共5小題，共78分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
17.本小題分
如圖，是一塊正四棱臺形鐵料，上、下底面的邊長分別為和，高．
求正四棱臺的側面與底面所成二面角的大小；
現削去部分鐵料不計損耗，將原正四棱臺打磨為一個圓臺，使得該圓臺的上、下底面分別為原正四棱臺上、下底面正方形的內切圓及其內部求削去部分與原正四棱臺的體積之比．
18.本小題分
已知函數，其中
解關于的不等式；
若存在唯一的實數，使得，，依次成等差數列，求實數的取值范圍．
19.本小題分
某公司生產的糖果每包標識“凈含量”，但公司承認實際的凈含量存在誤差已知每包糖果的實際凈含量單位：服從正態分布
隨機抽取一包該公司生產的糖果，求其凈含量誤差超過的概率精確到；
隨機抽取包該公司生產的糖果，記其中凈含量小于的包數為求的分布和期望精確到．
參考數據：，，，其中為標準正態分布函數．
20.本小題分
已知拋物線：，點是拋物線的焦點．
求點的坐標及點到準線的距離；
過點作相互垂直的兩條直線，，交拋物線于點、，交拋物線于點、，求證：為定值，并求出該定值；
過點且斜率為的直線交拋物線于、兩點，設點不在直線上且為的內角平分線，求面積的最大值．
21.本小題分
對于函數，記，，，如果是滿足的最小正整數，則稱是函數的“最小導周期”．
已知函數，其中，求證：對任意實數，，，都有；
設，，，若函數的最小導周期為，記，當實數，變化時，求的最小值；
設，，若函數滿足對恒成立，且存在使得，試用表示，并證明．
參考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.解：設正方形，的中心分別為，，連接，
則平面，
分別取，的中點，，連接，，，
則，．
又，分別為等腰梯形底邊，的中點，所以，
由，可得四邊形是一個直角梯形，
，又，
所以為側面與底面所成二面角的平面角，
因為正四棱臺上、下底面的邊長分別為和，高．
則，
所以．
所以側面與底面所成二面角的大小為；
設圓臺上底面圓半徑，下底面圓半徑，高，
則圓臺的體積為．
又正四棱臺的體積，
所以削去部分的體積，
所以削去部分與正四棱臺的體積之比為．
18.解：函數為單調增函數，
則，
解得；
若存在唯一的實數，使得，，依次成等差數列，
即，也就是方程恰有一個實數解，
即在上恰有一個實數解．
等價于在上恰有一個實數解．
即在上恰有一個實數解．
令，則在上恰有一個實數解．
關于的二次函數在上的圖象如圖：
由圖可知，時只有一個交點．
．
19.解：由題意，，
令，則，
因此，
故凈含量誤差超過的概率約為；
由題意可知，可能的取值為、、、，
由可知，任取一包糖果，凈含量小于的概率為，
故服從二項分布，的所有可能取值為，，，，
則，，，，
所以的分布列為：

所以．
20.解：易知，
解得，
因為點是拋物線的焦點，
所以，點到準線的距離為；
證明：易知直線，的斜率存在且不等于并過點，
設直線的方程為，，，
聯立，消去并整理得，
由韋達定理得，，
，
同理得，
則；
直線的方程為，
聯立，
解得或，
令，
此時，，
在中，，
在中，，
因為，，
所以
設，
此時，
整理得，
所以點在以點為圓心，為半徑的圓上除去與直線的兩個交點，
因為圓心在直線上，
所以點到直線距離的最大值為．
故面積最大值．
21.解：證明：因為，
，
，
，
所以對任意實數，，，都有；
因為，且函數的最小導周期為，
所以，，
由題意知，對任意實數恒成立，
令，則，即，
令，則，則，
所以，或，；
若，，
則，，
最小導周期為，不是，與已知矛盾；
若，，
則，，，
最小導周期為，符合要求，
所以．
又因為
，
可視為點與點之間的距離，
當實數，變化時，
點在直線上運動，點在曲線上運動，
因此所求最小值可轉化為曲線上的點到直線距離的最小值，
而曲線在直線上方，平移直線使其與曲線相切，
則切點到直線的距離即為所求．
設切點，
因為，
切線斜率，得，
所以切點為，
又因為點到直線距離，
即的最小值為；
證明：因為，，
記，即．
由在上恒成立及存在使，
可知是函數的極大值點，
于是，
則，
又，
則，
由，得，則，
又因為，
所以，
由，得，
又因為，
所以
，
有，于是，
所以．
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