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浙江省寧波市2025屆高三下學(xué)期高考模擬考試
數(shù)學(xué)試卷
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1.已知集合，則( )
A. B. C. D.
2.下列四個函數(shù)中，以為最小正周期，且在區(qū)間上單調(diào)遞減的是( )
A. B. C. D.
3.已知向量，滿足，，則( )
A. B. C. D.
4.設(shè)，則( )
A. B. C. D.
5.已知數(shù)列中，，記為的前項(xiàng)和，，則的值為( )
A. B. C. D.
6.已知點(diǎn)，到同一直線的距離分別為，，若這樣的直線恰有條，則的取值范圍為( )
A. B. C. D.
7.一個長方體墨水瓶的長、寬、高分別為、、，內(nèi)部裝有毫升墨水將墨水瓶傾斜，使其一條長邊置于水平地面，高邊所在直線與水平地面成度角，則此時墨水與墨水瓶接觸部分的面積為( )
A. B. C. D.
8.已知函數(shù)，其中，為的極小值點(diǎn)若在內(nèi)有最大值，則的取值范圍是( )
A. B. C. D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。
9.下面說法正確的是( )
A. 若數(shù)據(jù)，，，的方差為，則數(shù)據(jù)，，，的方差為
B. 若，，，是等差數(shù)列，則這些數(shù)的中位數(shù)與平均數(shù)相等
C. 已知是隨機(jī)變量，則
D. 若兩個具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的相關(guān)性越強(qiáng)，則線性相關(guān)系數(shù)的值越接近于
10.國家知識產(chǎn)權(quán)局信息顯示，華為技術(shù)有限公司申請一項(xiàng)名為“三進(jìn)制邏輯門電路、計算電路、芯片及其電子設(shè)備”的專利，該項(xiàng)專利可以實(shí)現(xiàn)大幅度減少二進(jìn)制邏輯電路的晶體管數(shù)量，降低電路的功耗，提高計算效率該專利蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)背景是一種以為基數(shù)，以，，為基本數(shù)碼的計數(shù)體系對稱三進(jìn)制三進(jìn)制數(shù)對應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)為，其中，，，，，，，，，為了記號的方便，我們用表示數(shù)碼，比如，，下面選項(xiàng)正確的是( )
A.
B.
C. 若，，，，，，，則
D. 存在唯一的，，，，，，，，使得成立
11.如圖，在平行六面體中，，，，，，為中點(diǎn)，在線段上包含端點(diǎn)，則下列說法正確的是( )
A. 存在點(diǎn)，使得平面
B. 存在點(diǎn)，使得平面平面
C. 不存在點(diǎn)，使得
D. 不存在點(diǎn)，使得四棱錐有內(nèi)切球
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為 ．
13.在中，，，則 ．
14.關(guān)于的方程且有唯一實(shí)數(shù)解，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
如圖，在直三棱柱中，，，是的中點(diǎn)，是與的交點(diǎn)．
若是的中點(diǎn)，證明：平面
求與平面所成角的正弦值．
16.本小題分
在，，，，這個自然數(shù)中，任取個數(shù)．
求這個數(shù)中恰有個是偶數(shù)的概率
設(shè)為這個數(shù)中兩數(shù)相鄰的組數(shù)例如：若取出的數(shù)為，，，則有兩組相鄰的數(shù)，和，，此時的值是求隨機(jī)變量的分布列及其數(shù)學(xué)期望．
17.本小題分
已知函數(shù)．
當(dāng)時，討論的單調(diào)性
當(dāng)時，恒成立，求的取值范圍
求證：當(dāng)時，．
18.本小題分
已知橢圓，點(diǎn)到橢圓上點(diǎn)的距離的最大值為．
求橢圓的方程
若過定點(diǎn)的直線交橢圓于點(diǎn)，，設(shè)點(diǎn)，直線與直線交于直線上一點(diǎn)，求直線的方程．
19.本小題分
設(shè)維向量，，定義運(yùn)算：．
當(dāng)時，若且，，試比較與的大小
已知，記，且，，，和，，均為，，，的某一排列．
求，
若，求提示：
參考答案
1.
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3.
4.
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6.
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8.
9.
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14.
15.證明：連結(jié)交于點(diǎn)，連結(jié)，
點(diǎn)是中點(diǎn)，點(diǎn)是中點(diǎn)，
是的中位線，即，
又平面，平面，
平面．
解：由題意，以原點(diǎn)，以，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系．
，，，，，，，，
，，，
設(shè)平面的法向量，
，
不妨令，則，，
，可得，
設(shè)與平面所成角為，則，，
即與平面所成角的正弦值為．

16.解：從個自然數(shù)中任意選三個共有種選擇，恰有一個偶數(shù)的情況有種，故概率為．
當(dāng)時，共有種當(dāng)時，共有種當(dāng)時，共有種的分布列如下：
所以
17.解：已知，
則，，
所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增
當(dāng)時，，單調(diào)遞減
當(dāng)時，，單調(diào)遞增．
因?yàn)?br/>所以．
設(shè)，
當(dāng)時，，所以，
所以在上單調(diào)遞減，
所以，不合題意，
當(dāng)時，令，得，
所以當(dāng)時，，即，
所以在上單調(diào)遞減，所以，矛盾，
當(dāng)時，，，
所以在上單調(diào)遞增，所以，
綜上，
由知，取，則，
令，有，
即，
所以，
即．
18.解：設(shè)橢圓上的點(diǎn)滿足，
，
設(shè)，，
，二次函數(shù)開口向下，對稱軸，
，解得或，
，，
即橢圓．
設(shè)直線，，，
由于對稱性，不妨設(shè)，此時，直線，的斜率分別為，，
聯(lián)立橢圓方程得，，
，
由韋達(dá)定理得，
，，
聯(lián)立得，
因?yàn)橹本€與直線交于直線上一點(diǎn)，
所以，化簡得，
即，化簡得，
由求根公式可得，，
代入得，，
兩邊平方得，解得，即或舍去，
當(dāng)時，，
由對稱性可知當(dāng)時，亦滿足條件，此時，
綜上所述，直線的方程為或．
19.解：，
所以．
先求，不妨設(shè)，，其中，，為，，的排列，
所以，
而可取的值為，，故，
再求，不妨設(shè)，，其中，，，為，，，的排列，
當(dāng)時，，而可取，，故可取，，，
當(dāng)時，，而可取，，，可取，，，，，
當(dāng)時，，而可取，，，故可取，，，，，
當(dāng)時，，而可取，，故可取，，，
綜上．
由可得，若存在，，則不妨交換，，則會變大，
不妨設(shè)，則時，最小
時，最大，
所以中的元素均屬于集合，
設(shè)表示集合且的元素個數(shù)，
即表示集合的元素個數(shù)，
下證，
當(dāng)時，由知，我們考慮及，
因?yàn)橹械淖钚≡貫椋畲笤貫椋?br/>即中的元素均在中，
設(shè)，，其中，，，為，，，的任一排列，
則可能取值為，
即恰好沒有覆蓋到集合中的個元素，
當(dāng)，，其中，，，為，，，的任一排列，
則，
故可能取值為，
即恰好沒有覆蓋到集合中個元素，
又因?yàn)楫?dāng)時，，
即，
又，
故不覆蓋集合的元素至多有個，
故，
又因?yàn)椋?br/>所以，
所以．
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