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江西省贛州市十八縣（市、區）二十五校2025屆高三下學期期中聯考數學試卷
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.若復數滿足，則復數在復平面內對應的點位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知是首項為，公比為的等比數列若數列的前三項和為，則等于( )
A. B. C. D.
3.已知，，則“向量，共線”是“”的( )
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 既不充分也不必要條件 D. 充要條件
4.已知展開式中的常數項為，則等于( )
A. B. C. D.
5.已知函數的值域是，則實數的取值范圍是( )
A. B. C. D.
6.已知一圓錐的底面半徑是，高為，為該圓錐的一條母線，，是圓錐底面圓周上的兩個動點，則直線與夾角的余弦值的最大值是( )
A. B. C. D.
7.不等式在區間上的整數解的個數是( )
A. B. C. D.
8.某籃球隊參加一項國際邀請賽，比賽分為兩個階段小組賽階段：進行場小組賽，至少贏得場才能晉級排名賽，否則淘汰若晉級，進入排名賽階段：進行場比賽，每贏一場可額外獲得獎金已知該籃球隊小組賽階段每場獲勝的概率均為，若能晉級，排名賽階段每場比賽獲勝的概率均是該球隊參加小組賽能獲得出場費萬元，排名賽每贏一場比賽，獲得萬元獎金設該球隊參加這項賽事獲得的總獎金為隨機變量單位：萬元，則隨機變量的數學期望是( )
A. B. C. D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.調研某工廠的生產投入生產工時天對產量件天和每件產品的平均能源消耗千瓦時件的影響，得到如下數據：
生產工時天
件天
千瓦時件
現在對與，與分別進行相關性分析，得到相關系數分別為，，則下列判斷正確的是( )
A. B. C. D.
10.尼科梅德斯蚌線是一種經典的曲線，已知一條尼科梅德斯蚌線的方程為及一條直線，下列判斷正確的是( )
A. 曲線關于軸對稱
B. 曲線上點的橫坐標的取值范圍是
C. 直線與曲線一定有且僅有兩個交點
D. 直線被曲線截得的線段的中點在定直線上
11.已知函數為常數有兩個極值點，，且則下列判斷正確的是( )
A. B.
C. 有最小值 D. 有最大值
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知集合，，那么等于 ．
13.已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過點且斜率為的直線與雙曲線右支相交于，兩點點在第一象限，且，則的面積等于 ．
14.已知正四棱錐的各棱長均為，點是棱的中點，動點滿足，則的最小值為 ．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
已知函數．
求函數的極值點
若函數在區間上的最小值為，求實數的值．
16.本小題分
如圖，已知中，，，，點是邊上一點，且．
求的長
求的面積．
17.本小題分
如圖，已知斜三棱柱的側面是正方形，側面是菱形，平面平面，，，點，分別是棱，的中點．
求證：
設直線與平面的交點為，求的長
求二面角的余弦值．
18.本小題分
已知橢圓和圓的方程分別是，，橢圓的離心率，點，分別在，上，的最大值為．
求，的方程
點是圓上的動點，過點作與橢圓有且只有一個交點的兩直線，，設直線，的斜率分別為，，且與軸分別交于點，．
(ⅰ)求證：為定值
(ⅱ)求的取值范圍．
19.本小題分
若有窮數列，，，滿足為常數，，，，，則稱數列為“項數為差為的極差數列”．
寫出一個各項為正整數，，的“項數為差為的極差數列”
“項數為差為的極差數列”滿足各項均為正整數，，，證明：數列是等差數列
從數，，，，任意取出個，按由小到大的順序組成數列，，，，，求這個數列是“項數為差為的極差數列”的概率．
參考答案
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14.
15.解：，
因為，由，解得，
且時，，時，，
所以，是函數的極小值點
當即時，函數在區間上單調遞增，所以在時取最小值，最小值為
當即時，，
因此，，
當即時，函數在區間上單調遞減，所以在時取最小值，最小值為．
綜上．
16.解：在中，，，，
因此，
所以，
即；
中，，，，
設，
則，解得，，
即，
所以的面積為：．
17.解：平面平面，
又側面是正方形，所以，因此，平面，
又平面，所以，
側面是菱形，，因此是正三角形，且是的中點，
所以，所以平面，所以
設的中點為，則，，
因此是平行四邊形，所以，所以平面， 直線與平面的交點，
所以平面平面，平面，所以，
又因為是的中點，所以點是的中點，
即點是線段的四等分點，；
如圖，在平面內，過點作的垂線，則平面，以為坐標原點，，，所在直線分別作為軸，軸，軸建立空間直角坐標系， 則，，，，由得，平面的法向量，
設平面的法向量，
由，
由，

令，則，
所以，，
因此，所求二面角的余弦值為．
18.解：由離心率得，，
點，分別在，上，得到，，
因此，，解得，，
所以橢圓的方程為，圓的方程為．
設直線，與橢圓方程：聯立得到：
，有且僅有一個交點，因此，，
化簡得到：，
設點，得，
消去得到，
同理，，
因此，，是關于的方程：的兩根，
因此，，
又點在圓上，所以，所以，．
由的方程：，得到，
同理，，
因此，，
即，
設，則，
因為點在圓上，且，所以，所以，即，
所以，
19.解：，，，，，，等．
由題意：，，，，，
將上面各式相加得：，因此，，
又因為，因此上面各不等式均取等號，即，
所以數列是公差為的等差數列
從數，，，，任意取出個，按由小到大的順序組成數列，，，，，
所有不同數列的個數為，
給出一個確定“項數為差為的極差數列”的方法，
把個相同小球放進編號分別為，，，，，的六個箱子，
箱子中的球數，就是箱子的編號的值，其中第一個箱子至少需要放個小球，
第，，，個箱子至少需要放個小球，第個箱子可以不放球，每一種放法，對應一個符合條件的數列．
第，，，個箱子先分別放入個小球，第個箱子先借出個小球，
不同放法等價于個相同小球放進個箱子，
每個箱子至少一個小球的放法數為，
因此，所求概率為
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