資源簡介

第四章 三角形
重難點11 幾何壓軸題一 全等模型
（16種模型題型匯總+專題訓練+13種模型解析）
【題型匯總】
類型一 構造輔助線
題型01 倍長中線法
模型 倍長中線模型 倍長類中線模型
條件 延長AD至點E，使AD=DE，連接BE 在△ABC中，D是BC的中點
圖示
方法 延長AD至點E，使AD=DE，連接BE 延長FD至點E，使FD=DE，連接CE
結論 ,AC=BE且AC∥BE , BF=CE且BF∥CE
【總結】
1）口決：見中線（或中點），可倍長，得全等，轉邊、角；
2）倍長中線后，具體連接哪兩點，可根據需要轉化的邊、角來判斷；
3）倍長中線后，將兩邊都連接可構成平行四邊形，可將三角形問題轉化為平行四邊形問題，再借助平行四邊形的相關性質解題.
1．（2024·重慶渝北·模擬預測）如圖， 在中，， 若，為的中線， 點E在邊上(不與端點重合)，與交于點 F， 若， 則 ．
【答案】
【分析】如圖，倍長至，使，連接，易證，設，在中，，則，，利用勾股定理求出，證明，得到，設，由相似三角形，得，從而可得答案．
【詳解】解：如圖，倍長至，使，連接，
∵為的中線，
∴，而，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，而，
∴，
∴，
∴，設，
在中，，
則，
解得：，
∵，，，為的中線，
∴，，
，
，
，
，
，
∴，
設，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得．經檢驗符合題意；
，
故答案為：．
【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質、勾股定理、三角形的中線，全等三角形的判定與性質，解題的關鍵是構建全等三角形與相似三角形．
2．（2024·山東菏澤·二模）【方法回顧】
如圖1，在中，D，E分別是邊的中點，小明在證明“三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半”時，通過延長到點F，使，連接，證明，再證四邊形是平行四邊形即得證．
（1）上述證明過程中：
①證明的依據是（_____）
A． B． C． D．
②證明四邊形是平行四邊形的依據是_______；
【類比遷移】
（2）如圖2，是的中線，交于點E，交于點F，且，求證：．小明發現可以類比材料中的思路進行證明．
證明：如圖2，延長至點G，使，連接，請根據小明的思路完成證明過程；
【理解運用】
（3）如圖3，四邊形與四邊形均為正方形，連接，點P是的中點，連接．請判斷線段與的數量關系及位置關系．（不要求證明）
【答案】（1）①A；②一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；（2）見解析；（3），
【分析】本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定和性質，平行四邊形的性質，正確作出輔助線是解題的關鍵．
（1）①根據判斷全等三角形的方法，證明，即可解答；
②利用全等三角形的性質，得到，，可得，，即可解答；
（2）證明，即可解答；
（3）延長交于點，延長使得，證明，再利用全等三角形的性質和正方形的性質，證明，利用角度轉換即可得到，．
【詳解】（1）①解： D，E分別是邊的中點，
，
在與中，
，
，
故選：A；
②，
，，
，
點是的中點，
，
四邊形是平行四邊形，
故答案為：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；
（2）證明：在和中，
，
，
，
,
,
；
（3）如圖，延長交于點，延長使得，
根據（2）中原理，可得，
，，
四邊形與四邊形均為正方形，
，，，
，
，
，，
，
，
，．
3．（2024·四川達州·模擬預測）[問題背景]在中，，求邊上的中線的取值范圍，小組內經過合作交流，得到了如下的解決方法（如圖1）：延長到E，使得，再連接，把集中在中．
(1)利用上述方法求出的取值范圍是_________；
(2)[探究]如圖2，在中，為邊上的中線，點D在的延長線上，且，與相交于點O，若四邊形的面積為20，求的面積；
(3)[拓展]如圖3，在四邊形中，，E為的中點，G、F分別為邊上的點，若，，，求的長．
【答案】(1)
(2)50
(3)
【分析】（1）證明得，再根據三角形三邊關系求得的取值范圍，進而完成解答；
（2）連接．過點A作交的延長線于點T．證明得出，證出，設的面積為x，由四邊形面積列出方程求解即可；
（3）延長至點M，使得，連接，過點M作，交的延長線于點N，證明，得到，，求出，則，繼而證明為等腰直角三角形，得到，則，利用勾股定理求出，同理可得．
【詳解】（1）解：根據題意：延長到點E，使，再連接，
∴，
∵是邊上的中線，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案為：．
（2）解：如圖：連接．過點A作交的延長線于點T．
∴，
∵為邊上的中線，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
設的面積為x,
∵，
∴的面積為，
∵，
∴的面積為,的面積為，
∵，
∴的面積=的面積=,
∴四邊形的面積的面積的面積，
∴．
∴的面積為50．
（3）解：如圖，延長至點M，使得，連接，過點M作，交的延長線于點N，
∵E為中點，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴為等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∴．
【點睛】本題主要考查了三角形三邊的關系、全等三角形的性質與判定、等腰直角三角形的性質、勾股定理等知識點，正確作出輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．
4．（2024·貴州遵義·模擬預測）輔助線是解決幾何圖形問題的利劍，合理添加輔助線，會使問題變得簡單，下表給出了三角形中幾個常見利用中點添加輔助線的模型，請根據要求解決問題．
題眼 1．普通三角形+中點 2．等腰三角形+底邊中點 3．直角三角形+斜邊中點 4．兩個中點
大致圖形
輔助線名稱 倍長中線 三線合一 斜邊中線 中位線
具體做法 延長到點E， 使，連接 連接 連接 連接
產生效果 ① ②
(1)請在①，②中任選擇一個填空：
你選擇的是_______，產生效果是_______．（產生效果寫一個或兩個）
(2)如圖①，在三角形中，是的一條中線，，求的長．
(3)如圖②，在中，，點是邊上兩個不同的動點，以為邊在內部（包括邊界）作等邊三角形，點，F分別是的中點，當的周長取最大值時，求線段的長．
【答案】(1)①，或②，，
(2)
(3)
【分析】（1）根據直角三角形斜邊上的中線性質以及三角形的中位線定理即可求解；
（2）延長至點E，使得，可得，則，可證明，則，在中，，故由即可求解；
（3）當點P落在邊上時，等邊三角形的邊長最大，即周長最大，然后根據直角三角形的性質及三角形的中位線定理即可求解．
【詳解】（1）解：選擇①，，
選擇②，，；
（2）解：延長至點E，使得，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
即：，
∴，
在中，，
∴；
（3）解：平移，使得點N與點C重合，過點C作于點D，
∵是等邊三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴當點N與點C重合時，與重合，
∴當點P落在邊上時，等邊三角形的邊長最大，即周長最大，如圖：
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
又∵分別為的中點，
∴為的中位線，
∴．
【點睛】本題考查了直角三角形的性質，三角形的中位線定理，等邊三角形的性質，勾股定理，全等三角形的判定與性質，熟練掌握知識點是解題的關鍵．
題型02 截長補短法
方法 截長法 補短法
條件 在△ABC中AD平分∠BAC,∠C=2∠B,求證：AB=AC+CD
圖示
方法 在AB上截取AE=AC,連接DE 延長AC到點E，使CD=CE,連接DE
結論 △DEB是等腰三角形 △CDE是等腰三角形
【總結】
1）“截長補短法”是初中幾何題中一種添加輔助線的方法，也是把幾何題化難為易的一種靠略，截長就是在長邊上截取一條線段與某一短邊相等，補短就是通過延長或旋轉等方式使兩條短邊拼合到一起，從而解決問題.
2）截長或補短后，如果出現的全等三角形或特殊三角形能推動證明，那么輔助線是成功的，否則，就應該換一個截長或補短的方式，甚至換一種解題思路.
1．（2020·安徽·中考真題）如圖1．已知四邊形是矩形．點在的延長線上．與相交于點，與相交于點
求證：；
若，求的長；
如圖2，連接，求證：．
【答案】（1）見解析；（2）；（3）見解析
【分析】（1）由矩形的形及已知證得△EAF≌△DAB，則有∠E=∠ADB，進而證得∠EGB=90 即可證得結論；
（2）設AE=x，利用矩形性質知AF∥BC，則有，進而得到x的方程，解之即可；
（3）在EF上截取EH=DG，進而證明△EHA≌△DGA，得到∠EAH=∠DAG，AH=AG，則證得△HAG為等腰直角三角形，即可得證結論．
【詳解】（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠EAD=90 ，AO=BC，AD∥BC，
在△EAF和△DAB，
，
∴△EAF≌△DAB(SAS)，
∴∠E=∠BDA，
∵∠BDA+∠ABD=90 ，
∴∠E+∠ABD=90 ，
∴∠EGB=90 ，
∴BG⊥EC；
（2）設AE=x，則EB=1+x，BC=AD=AE=x，
∵AF∥BC，∠E=∠E，
∴△EAF∽△EBC，
∴，又AF=AB=1，
∴即，
解得：，（舍去）
即AE=；
（3）在EG上截取EH=DG，連接AH，
在△EAH和△DAG，
，
∴△EAH≌△DAG(SAS)，
∴∠EAH=∠DAG，AH=AG，
∵∠EAH+∠DAH=90 ，
∴∠DAG+∠DAH=90 ，
∴∠HAG=90 ，
∴△GAH是等腰直角三角形，
∴即，
∴GH=AG，
∵GH=EG-EH=EG-DG，
∴．
【點睛】本題主要考查了矩形的性質、全等三角形的判定與性質、等腰三角形的判定與性質、直角定義、相似三角形的判定與性質、解一元二次方程等知識，涉及知識面廣，解答的關鍵是認真審題，提取相關信息，利用截長補短等解題方法確定解題思路，進而推理、探究、發現和計算．
2．（2020九年級·全國·專題練習）在菱形中，射線從對角線所在的位置開始繞著點逆時針旋轉，旋轉角為，點在射線上，．
（1）當時，旋轉到圖①的位置，線段，，之間的數量關系是______；
（2）在（1）的基礎上，當旋轉到圖②的位置時，探究線段，，之間的數量關系，并證明；
（3）將圖②中的改為，如圖③，其他條件不變，請直接寫出線段，，之間的數量關系．

【答案】（1）；（2），證明見解析；（3）
【分析】（1）在射線上截取，連接，首先利用菱形的性質證明，然后利用全等三角形的性質及等邊三角形的性質得出，從而可得出結論；
（2）在上截取，連接，首先利用菱形的性質證明，然后利用全等三角形的性質及等邊三角形的性質得出，從而可得出結論；
（3）在上截取，連接，首先利用正方形的性質證明，然后利用全等三角形的性質及等腰直角三角形的性質得出，從而可得出結論．
【詳解】（1）解：；
如圖①，在射線上截取，連接，
，
．
四邊形是菱形，
．
，
，．
．
是等邊三角形，
．
，
．

（2）．
證明：如圖②，在上截取，連接，
，
．
四邊形是菱形，
．
．
，．
．
是等邊三角形．
．
，
；

（3）．
如圖③，在上截取，連接，
，
．
四邊形是正方形，
．
．
，．
．
是等腰直角三角形．
．
，
．

【點睛】本題主要考查全等三角形的判定及性質，等腰直角三角形和等邊三角形的性質，正方形和菱形的性質，合理的作出輔助線是解題的關鍵．
3．（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）數學老師在課堂上給出了一個問題，讓同學們探究．在中，，點D在直線上，將線段繞點A順時針旋轉得到線段，過點E作，交直線于點F．
（1）當點D在線段上時，如圖①，求證：；
分析問題：某同學在思考這道題時，想利用構造全等三角形，便嘗試著在上截取，連接，通過證明兩個三角形全等，最終證出結論：
推理證明：寫出圖①的證明過程：
探究問題：　　
（2）當點D在線段的延長線上時，如圖②：當點D在線段的延長線上時，如圖③，請判斷并直接寫出線段，，之間的數量關系；
拓展思考：
（3）在（1）（2）的條件下，若，，則______．
【答案】（1）見解析；（2）圖②：，圖③：；（3）10或18
【分析】（1）在邊上截取，連接，根據題意證明出，得到，然后證明出是等邊三角形，得到，進而求解即可；
（2）圖②：在上取點H，使，連接并延長到點G使，連接，首先證明出是等邊三角形，得到，然后求出，然后證明出，得到，，然后證明出是等邊三角形，得到，進而求解即可；
圖③：在上取點H使，同理證明出，得到，，進而求解即可；
（3）根據勾股定理和含角直角三角形的性質求出，，然后結合，分別（1）（2）的條件下求出的長度，進而求解即可．
【詳解】（1）證明：在邊上截取，連接．
在中，．
，
．
又，
．
又，，
．
又，
．
．
．
．
，
．
是等邊三角形．
，
，
；
（2）圖②：當點D在線段的延長線上時，，證明如下：
如圖所示，在上取點H，使，連接并延長到點G使，連接，
∵，
∴是等邊三角形，
∴，
∵線段繞點A順時針旋轉得到線段，
∴，，
∴，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴是等邊三角形，
∴，
∴；
圖③：當點D在線段的延長線上時，，證明如下∶
如圖所示，在上取點H使，
∵，
∴，
∵，
∴是等邊三角形，
∴，
∴，
∵將線段繞點A順時針旋轉得到線段，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴；
（3）如圖所示，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
由（1）可知，，
∴；
如圖所示，當點D在線段的延長線上時，
∵，與矛盾，
∴不符合題意；
如圖所示，當點D在線段的延長線上時，
∵，，
∴，
由（2）可知，，
∵，
∴．
綜上所述，或18．
【點睛】此題考查了全等三角形的性質和判定，勾股定理，等邊三角形的性質和判定，含角直角三角形的性質，解題的關鍵是掌握以上知識點．
題型03 作平行線法
1．（2023貴州黔西模擬）如圖，△ABC是邊長為4的等邊三角形，點P在AB上，過點P作PE⊥AC，垂足為E，延長BC至點Q，使CQ＝PA，連接PQ交AC于點D，則DE的長為（　　）
A．1 B．1.8 C．2 D．2.5
【答案】C
【分析】過作的平行線交于，通過證明≌，得，再由是等邊三角形，即可得出．
【詳解】解：過作的平行線交于，
，
是等邊三角形，
，，
是等邊三角形，
，
∵CQ＝PA，
∴
在中和中，
，
≌，
，
于，是等邊三角形，
，
，
，
，
，
故選：C．
【點睛】本題主要考查了等邊三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，作輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．
2．（2024齊齊哈爾模擬）如圖，在等邊中，點為邊上任意一點，點在邊的延長線上，且．

(1)當點為的中點時（如圖1），則有______（填“”“”或“”）；
(2)猜想如圖2，與的數量關系，并證明你的猜想．
【答案】(1)
(2)，證明見解析
【分析】（1）由是等邊三角形，得到，，由三線合一得到， ，由，得，由外角的性質得到，得到，則，證得；
（2）過作交于，先證明是等邊三角形，得到，再用證明，得到，進而證得猜想
【詳解】（1）∵是等邊三角形，
∴，．
∵E為的中點，
∴， ，
∵，
∴是等腰三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案為：
（2）解：．理由如下：
過E作交于F，

∵是等邊三角形，
∴，．
∴，，即．
∴是等邊三角形．
∴．
∵，
∴，．
∵，
∴．
∴．
在和中，
∴．
∴，即．
【點睛】此題主要考查了等邊三角形的判定和性質、等腰三角形的判定和性質、全等三角形的判定與性質等知識，在等邊三角形中通過作平行線構造全等三角形是解題的關鍵．
3．（2024·山西·模擬預測）綜合與實踐
【問題探究】（1）如圖①，在正方形中，，點E為上的點，，連接，點O為上的點，過點O作交于點M，交于點N，求的長度．
【類比遷移】（2）如圖②，在矩形中，，，連接，過的中點O作交于點M，交于點N，求的長度．
【拓展應用】（3）如圖③，李大爺家有一塊平行四邊形的菜地，記作平行四邊形．測得米，米，．為了管理方便，李大爺沿著對角線開一條小路，過這條小路的正中間，開了另一條垂直于它的小路（小路面積忽略不計）．直接寫出新開出的小路的長度．
【答案】【問題探究】；【類比遷移】；【拓展應用】
【分析】（1）過點作于，交于，證明，根據全等三角形的性質得，再利用勾股定理求解即可；
（2）過點M作于，交于，證明，根據相似三角形的性質得，再利用勾股定理求解即可；
（3）過點作于點，過點作交的延長線于點，解直角三角形求得，，進而求得，再根據勾股定理求得，再證明，根據相似三角形的性質求解即可．
【詳解】（1）解：如圖，過點作于，交于，
，
，
，
， ，，
，
四邊形是正方形，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
在中，，
；
（2）如圖，過點M作于，交于，
，
，
，
，，，
，
四邊形是矩形，
，，，
，
，
在和中，
，
，
，
在中，，
；
（3）如圖，過點作于點，過點作交的延長線于點，
，，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
，
即，
解得：．
【點睛】本題考查了正方形的性質，矩形的性質，平行四邊形的性質，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，解直角三角形，正確構造輔助線是解題的關鍵．
題型04 作垂線法
1．（2024·山東青島·中考真題）如圖，將正方形先向右平移，使點B與原點O重合，再將所得正方形繞原點O順時針方向旋轉，得到四邊形，則點A的對應點的坐標是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題主要考查了坐標與圖形變化—旋轉和平移，全等三角形的性質與判定，先根據題意得到平移方式為向右平移3個單位長度，則可得平移后點A的對應點坐標為；如圖所示，設繞原點O順時針旋轉90度后的對應點為F，分別過E、F作x軸的垂線，垂足分別為G、H，證明，得到，則，即點A的對應點的坐標是．
【詳解】解：由題意得，平移前，
∵將正方形先向右平移，使點B與原點O重合，
∴平移方式為向右平移3個單位長度，
∴平移后點A的對應點坐標為，
如圖所示，設繞原點O順時針旋轉90度后的對應點為F，分別過E、F作x軸的垂線，垂足分別為G、H，
∴，
由旋轉的性質可得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴點A的對應點的坐標是，
故選：A．
2．（2024·內蒙古赤峰·中考真題）如圖，正方形的頂點，在拋物線上，點在軸上．若兩點的橫坐標分別為（），下列結論正確的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了二次函數的圖象與性質、正方形的性質、全等三角形的判定與性質，解題時要熟練掌握并能靈活運用是關鍵．依據題意，連接、交于點，過點作軸于點，過點作于點，先證明．可得，．點、的橫坐標分別為、，可得，．，，，設，則，，，，，．再由，進而可以求解判斷即可．
【詳解】解：如圖，連接、交于點，過點作軸于點，過點作于點，
四邊形是正方形，
、互相平分，，，
，，
．
，，
．
，．
點、的橫坐標分別為、，
，．
，，，
設，則，，
，，，．
又，，
，．
．
．
．
點、在軸的同側，且點在點的右側，
．
．
故選：B．
3．（2024·重慶·中考真題）如圖，在正方形的邊上有一點，連接，把繞點逆時針旋轉，得到，連接并延長與的延長線交于點．則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】過點F作延長線的垂線，垂足為點H，則，證明，則，設，得到，則，故，同理可求，則，因此．
【詳解】解：過點F作延長線的垂線，垂足為點H，則，
由旋轉得，
∵四邊形是正方形，
∴，，，設，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，設，
則，
∴，
∴，而，
∴，
∴，
∵，
∴，
同理可求，
∴，
∴，
故選：A．
【點睛】本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，解直角三角形，旋轉的性質，正確添加輔助線，構造“一線三等角全等”是解題的關鍵．
4．（2023·江蘇南通·中考真題）正方形中，點在邊，上運動（不與正方形頂點重合）．作射線，將射線繞點逆時針旋轉45°，交射線于點．

(1)如圖，點在邊上，，則圖中與線段相等的線段是___________；
(2)過點作，垂足為，連接，求的度數；
(3)在（2）的條件下，當點在邊延長線上且時，求的值．
【答案】(1)
(2)的度數為或
(3)
【分析】（1）根據正方形的性質和已知條件得到，即可得到答案；
（2）當點在邊上時，過點作，垂足為，延長交于點，證明，得到，推出為等腰直角三角形，得到答案；
當點在邊上時，過點作，垂足為，延長交延長線于點，則四邊形是矩形，同理得到，得到為等腰直角三角形得到答案；
（3）由平行的性質得到分線段成比例．
【詳解】（1）．
正方形，
，
，
，
．
（2）解：①當點在邊上時（如圖），
過點作，垂足為，延長交于點．
，
四邊形是矩形．
．
，，
，
為等腰直角三角形，．
．
．
．
，
．
為等腰直角三角形，．
．

②當點在邊上時（如圖），
過點作，垂足為，延長交延長線于點，則四邊形是矩形，
同理，．
．
為等腰直角三角形，．
．

綜上，的度數為45°或135°．
（3）解：當點在邊延長線上時，點在邊上（如圖），
設，則．
．
．
，
．
【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，平行線的性質，熟練掌握平行線的分線段成比例以及全等三角形的判定和性質是解題的關鍵．
類型二 角平分線模型
方法 角平分線+垂一邊 角平分線+分垂線
條件 已知BD平分∠ABC，PE⊥BC 已知BD平分∠ABC，PE⊥BD
圖示
方法 過點P作PF⊥AB于點F(作垂法) 延長PE,交AB于點F(延長法)
結論
題型01 角平分線+垂一邊
1．（2024·西藏·中考真題）如圖，在中，，以點B為圓心，適當長為半徑作弧，分別交，于點D，E，再分別以點D，E為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧在的內部相交于點P，作射線交于點F．已知，，則的長為 ．
【答案】
【分析】本題考查了作圖基本作圖：作角平分線，角平分線的性質定理，勾股定理及全等三角形的判定與性質等知識．根據基本作圖可判斷平分，過F作于G，再利用角平分線的性質得到，根據勾股定理求出，證明，得出，設，則，，根據勾股定理得出，求出，根據勾股定理求出．
【詳解】解：過F作于G，
由作圖得：平分，，，
∴，
在中根據勾股定理得：，
，，
，
，
設，則，，
在中，根據勾股定理得：
，
即：，
解得：，
，
在中根據勾股定理得：．
故答案為：．
2．（2023·四川·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，已知點，點，點在軸上，且點在點右方，連接，，若，則點的坐標為 ．

【答案】
【分析】根據已知條件得出，根據等面積法得出，設，則，進而即可求解．
【詳解】解：∵點，點，
∴，
，
∵，
∴，
過點作于點，

∵，是的角平分線，
∴
∵
∴
設，則，
∴
解得：或（舍去）
∴
故答案為：．
【點睛】本題考查了正切的定義，角平分線的性質，勾股定理，熟練掌握角平分線的定義是解題的關鍵．
3．（2024·內蒙古·中考真題）如圖，，平分，．
(1)求證：四邊形是平行四邊形；
(2)過點B作于點G，若，請直接寫出四邊形的形狀．
【答案】(1)證明見詳解
(2)四邊形為正方形
【分析】（1）由角平分線的定義可得出，由平行線的性質可得出，等量代換可得出，利用證明 ，由全等三角形的性質得出，結合已知條件可得出四邊形是平行四邊形．
（2）由已知條件可得出，由平行四邊形的性質可得出，，根據平行線的性質可得出，，由全等三角形的性質可得出，等量代換可得出， 即可得出四邊形為正方形．
【詳解】（1）證明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
由∵，
∴四邊形是平行四邊形．
（2）四邊形是正方形．
過點B作于點G，
∴，
∵四邊形是平行四邊形．
∴，，
∴，，
∴，，
由（1），
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四邊形是正方形．
【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定以及性質，平行四邊形的性質和判定，正方形的判定，以及平行線的性質，掌握全等三角形的判定以及性質，平行四邊形的性質和判定，正方形的判定定理是解題的關鍵．
題型02 角平分線+分垂線
1．（2021九年級·全國·專題練習）如圖1，在平面直角坐標系中，直線分別交x軸、y軸于兩點，且滿足，且是常數，直線平分，交x軸于點D．
（1）若的中點為M，連接交于點N，求證：；
（2）如圖2，過點A作，垂足為E，猜想與間的數量關系，并證明你的猜想．
【答案】（1）見解析；（2）,證明見解析．
【分析】（1）由已知條件可得，進而得，由直線平分及直角三角形斜邊上中線的性質得，再由三角形的外角定理，分別求得，根據角度的等量代換，即可得，最后由等角對等邊的性質即可得證；
（2）如圖，延長交軸于點，先證明，得，再證明，即可得．
【詳解】（1） ，
，
，
，
直線平分，
，
為的中點，
，
，
，
，
，
，
，
．
（2），
證明：如圖，延長交軸于點，
直線平分，，
，，
又 ，
（ASA），
，
，
，
即，
，
又，
（ASA），
，
即．
【點睛】本題考查了平面直角坐標系的定義，非負數之和為零，三角形角平分線的定義，三角形中線的性質，三角形外角定理，三角形全等的性質與判定，等角對等邊，熟練掌握以上知識，添加輔助線是解題的關鍵．
2．（24-25八年級上·湖北省直轄縣級單位·階段練習）如圖1，在平面直角坐標系中，已知點，，且，滿足．
(1)求的面積；
(2)如圖1，以為斜邊構造等腰直角，當點在直線上方時，請直接寫出點的坐標；
(3)如圖2，已知等腰直角中，，，點是腰上的一點（不與，重合），連接，過點作，垂足為點．
①若是的角平分線，求證：；
②探究：如圖3，連接，當點在線段上運動時（不與，重合），的大小是否發生變化？若改變，求出它的最大值；若不改變，求出這個定值．
【答案】(1)
(2)
(3)①證明見解析②的大小不變，總為，理由見解析
【分析】（1）根據絕對值的非負性及平方的非負性可得，，進而可得，，再利用三角形的面積公式即可求解．
（2）當點C在上方時，作為等腰直角三角形，過點作軸于F，軸于E，利用全等三角形的判定及性質即可求解．
（3）①延長，，它們相交于點，利用全等三角形的判定及性質及等腰三角形的性質即可求解；
②作，，垂足分別是，，利用全等三角形的判定及性質及角平分線的性質即可求解．
【詳解】（1）解：，
，，
解得：，．
，，
的面積．
（2）解：當點C在上方時：
作為等腰直角三角形，過點作軸于F，軸于E，如圖：

∴，
∵，
，，
，，
，
在和中，
，
，
，，
∵，
，即：，
解得：，
，，
．
（3）解：①延長，，它們相交于點，如圖：
等腰直角中，，，且，
，
又，
，
在和中，
，
，
．
是的角平分線，
，
，
，
在和中，
，
，
即，
．
②的大小不變，總為，理由如下：
作，，垂足分別是，，如圖：
，
由①可知：，，
在和中，
，
，
，
是的角平分線，
．
【點睛】本題考查了坐標與圖形、全等三角形的判定及性質、等腰直角三角形的性質、角平分線的性質及絕對值和平方的非負性，熟練掌握基礎知識，借助適當的輔助線解決問題是解題的關鍵．
方法 角平分線+截線 角平分線+平行線
條件 已知BD平分∠ABC，點E是AB上一點 已知BD平分∠ABC，點P在BD上
圖示
方法 在BC上截取BF=BE,連接PF(截取法) 過點P作PE∥BC交AB于點E(平行法)
結論
題型03 角平分線+截線
1．（2024·內蒙古通遼·中考真題）【實際情境】
手工課堂上，老師給每個制作小組發放一把花折傘和制作花折傘的材料及工具．同學們認真觀察后，組裝了花折傘的骨架，粘貼了彩色傘面，制作出精美的花折傘．
【模型建立】
（1）如圖1，從花折傘中抽象出“傘形圖”．，．求證：．
【模型應用】
（2）如圖2，中，的平分線交于點．請你從以下兩個條件：
①；②中選擇一個作為已知條件，另一個作為結論，并寫出結論成立的證明過程．（注：只需選擇一種情況作答）
【拓展提升】
（3）如圖3，為的直徑，，的平分線交于點，交于點，連接．求證：．
【答案】（1）見解析；（2）選擇②為條件，①為結論或選擇①為條件，②為結論；證明見解析；（3）見解析
【分析】本題主要考查了全等三角形的判定和性質，圓周角定理，等腰三角形的判定和性質，直角三角形斜邊上的中線性質，三角形的外角性質等：
（1）利用證明，即可；
（2）選擇②為條件，①為結論：在取點N，使，連接，證明，可得，，再由，可得，從而得到，即可；選擇①為條件，②為結論：在取點N，使，連接，證明，可得，，再由，可得，從而得到，即可；
（3）連接，取的中點F，連接，根據圓周角定理可得，從而得到，再由為的直徑，可得，從而得到，然后根據，可得，可證明，從而得到，即可．
【詳解】解：（1）在和中，
∵，，，
∴，
∴；
（2）解：選擇②為條件，①為結論
如圖，在取點N，使，連接，
∵平分，
∴，
在和中，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
選擇①為條件，②為結論
如圖，在取點N，使，連接，
∵平分，
∴，
在和中，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）如圖，連接，取的中點F，連接，
∵的平分線，
∴，
∴，
∴，
∵為的直徑，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
2．（2024·河南信陽·一模）數學興趣小組利用角平分線構造全等模型開展探究活動，請仔細閱讀完成相應的任務．
活動1：用尺規作已知角的平分線、如圖1所示，則由，可得．
活動2：如圖2，在中，，是的平分線，在上截取，則．
完成以下任務：
(1)在活動1和2中，判定三角形全等的依據分別是________（填序號）；
① ② ③ ④ ⑤
(2)如圖3，在中，，是的兩條角平分線，且交于點P，試猜想與之間的數量關系，并說明理由；
(3)如圖4，在四邊形中，，，的平分線和的平分線恰好交于邊上的點P，若，，當有一個內角是時，請直接寫出的長：________．
【答案】(1)④①
(2)，理由見解析
(3)6或
【分析】（1）活動1：根據判斷；活動2根據可判斷；
（2）由，，則；在上截取，連接，先證明，得，，所以，再證明，得，所以；
（3）證明，延長，交于點，根據三角函數的定義求得，，分三種情況討論，由角平分線的性質和銳角三角函數可求解．
【詳解】（1）解：活動1：由作圖知，，又，
∴，
∴；
活動2：由作圖知，
∵是的平分線，
∴，又，
∴，
故答案為：④①；
（2）解：，理由如下：
如圖③，在上截取，連接，
，
，
，是的兩條角平分線，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
；
（3）解：∵，
，
的平分線和的平分線交于邊上點，
，，
，
，
，
∵，，
∴，
，
，
，．
如圖，延長，交于點，
∵，
，
，
，
，
若時，則，
（不合題意舍去）；
若時，則，
過點作于，于，
，
，
，
∴，
∴；
若時，
過點作于，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
，
∴；
綜上，的長為6或．
故答案為：6或．
【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質，角平分線的性質，等腰三角形的判定和性質，勾股定理，銳角三角函數等知識，添加恰當輔助線構造全等三角形是本題的關鍵．
題型04 角平分線+平行線
1．（2022·內蒙古鄂爾多斯·中考真題）如圖，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于點D，EC⊥OB，垂足為C．若EC＝2，則OD的長為（　　）
A．2 B．2 C．4 D．4+2
【答案】C
【分析】過點E作EH⊥OA于點H，根據角平分線的性質可得EH＝EC，再根據平行線的性質可得∠ADE的度數，再根據含30°角的直角三角形的性質可得DE的長度，再證明OD＝DE，即可求出OD的長．
【詳解】解：過點E作EH⊥OA于點H，如圖所示：
∵OE平分∠AOB，EC⊥OB，
∴EH＝EC，
∵∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，
∴∠AOC＝2∠AOE＝30°，
∵DE∥OB，
∴∠ADE＝30°，
∴DE＝2HE＝2EC，
∵EC＝2，
∴DE＝4，
∵∠ADE＝30°，∠AOE＝15°，
∴∠DEO＝15°，
∴∠AOE＝∠DEO，
∴OD＝DE＝4，
故選：C．
【點睛】本題考查了角平分線的性質，含30°角的直角三角形的性質，平行線的性質等，熟練掌握這些性質是解題的關鍵．
2．（2022·四川南充·中考真題）如圖，在中，的平分線交于點D，DE//AB，交于點E，于點F，，則下列結論錯誤的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據角平分線的性質得到CD=DF=3，故B正確；根據平行線的性質及角平分線得到AE=DE=5，故C正確；由此判斷D正確；再證明△BDF∽△DEC，求出BF，故A錯誤．
【詳解】解：在中，的平分線交于點D，，
∴CD=DF=3，故B正確；
∵DE=5，
∴CE=4，
∵DE//AB，
∴∠ADE=∠DAF，
∵∠CAD=∠BAD，
∴∠CAD=∠ADE，
∴AE=DE=5，故C正確；
∴AC=AE+CE=9，故D正確；
∵∠B=∠CDE，∠BFD=∠C=90°，
∴△BDF∽△DEC，
∴,
∴，故A錯誤；
故選：A．
【點睛】此題考查了角平分線的性質定理，平行線的性質，等邊對等角證明角相等，相似三角形的判定及性質，熟記各知識點并綜合應用是解題的關鍵．
3．（2024·陜西咸陽·模擬預測）如圖，在四邊形中，連接，已知，，，，則（ ）
A． B．5 C． D．2
【答案】A
【分析】本題主要考查了勾股定理，角平分線的性質，全等三角形的性質與判定，等邊對等角等等，過點C作交的延長線于點E，先由等邊對等角和平行線的性質證明，即平分．再由角平分線的性質得到，則可證明得到，則，再利用勾股定理求解即可．
【詳解】解：如圖，過點C作交的延長線于點E．
∵，
．
∵，
，
，即平分．
∵，即，且，
．
∴
，
．
在中，由勾股定理得，
．
故選A．
4．（2023·山東·中考真題）已知：射線平分為上一點，交射線于點，交射線于點，連接．

(1)如圖1，若，試判斷四邊形的形狀，并說明理由；
(2)如圖2，過點作，交于點；過點作，交于點．求證：．
【答案】(1)四邊形是菱形，理由見解析
(2)見解析
【分析】（1）過點A作于F，于G，先由角平分線性質得，再證明，得，證明，得，從而得出，再根據平行線性質與角平分線定義證明，得，從而得，即可得出結論；
（2）連接，過點A作于H，作于G，證明，得，證明，得，證明，得，從而得，根據平行線等分線段定理即可得出結論．
【詳解】（1）解：四邊形是菱形，理由如下：
過點A作于F，于G，如圖1，

∵平分，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∵平分，
∴
∵
∴
∴
∴
∴，
∴四邊形是菱形．
（2）證明：連接，過點A作于H，作于G，如圖2，

∵平分，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∵， ，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴．
【點睛】本題考查角平分線性質，菱形的判定，全等三解形的判定與性質，垂直定理，平行線等分線段定理，熟練掌握相關性質與判定是解題的關鍵．
【大招總結】遇到角平分線問題時，牢記以下做輔助線的口訣:
1）圖中有角平分線，可向兩邊做垂直； 2）圖中有角平分線，對折一看關系現；
3）角平分線加垂線，三線合一試試看；4）角平分線平行線，可得等腰三角形.
類型三 一線三等角模型
題型01 一線三垂直模型
已知 ∠ABC=∠ACE=∠CDE=90°，AC=CE ∠ABC=∠ACE=∠CDE=90°，AC=CE
圖示
結論
1．（2024·山東煙臺·中考真題）在等腰直角中，，，D為直線上任意一點，連接．將線段繞點D按順時針方向旋轉得線段，連接．
【嘗試發現】
（1）如圖1，當點D在線段上時，線段與的數量關系為________；
【類比探究】
（2）當點D在線段的延長線上時，先在圖2中補全圖形，再探究線段與的數量關系并證明；
【聯系拓廣】
（3）若，，請直接寫出的值．
【答案】（1）；（2），補圖及證明見解析；（3）或
【分析】本題考查三角形全等的判定與性質，三角函數，掌握一線三垂直全等模型是解題的關鍵．
（1）過點作延長線于點，利用一線三垂直全等模型證明，再證明即可；
（2）同（1）中方法證明，再證明即可；
（3）分兩種情況討論：過點作延長線于點，求出，即可．
【詳解】解：（1）如圖，過點作延長線于點，
由旋轉得，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案為：；
（2）補全圖形如圖：
，理由如下：
過點作交于點，
由旋轉得，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）如圖，當在的延長線上時，過點作于點，連接，
由（2）得，，
∴，
∴，
∴．
當在的延長線上時，過點作于點，如圖，連接，
同理可得：，
∴，，
∴，
∴，
∴；
綜上：或
2．（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）綜合與實踐：如圖1，這個圖案是3世紀我國漢代的趙爽在注解《周髀算經》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”，受這幅圖的啟發，數學興趣小組建立了“一線三直角模型”．如圖2，在中，，將線段繞點順時針旋轉得到線段，作交的延長線于點．

(1)【觀察感知】如圖2，通過觀察，線段與的數量關系是______；
(2)【問題解決】如圖3，連接并延長交的延長線于點，若，，求的面積；
(3)【類比遷移】在(2)的條件下，連接交于點，則______；
(4)【拓展延伸】在(2)的條件下，在直線上找點，使，請直接寫出線段的長度．
【答案】(1)
(2)10
(3)
(4)或
【分析】（1）根據旋轉的性質可得，，進而證明，即可求解；
（2）根據（1）的方法證明，進而證明，求得，則，然后根據三角形的面積公式，即可求解．
（3）過點作于點，證明得出，證明，設，則，代入比例式，得出，進而即可求解；
（4）當在點的左側時，過點作于點，當在點的右側時，過點作交的延長線于點，分別解直角三角形，即可求解．
【詳解】（1）解：∵將線段繞點順時針旋轉得到線段，作交的延長線于點．
，
，
，
，
，
又且
，
；
（2）解：，
，
，
，
，
又且，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如圖所示，過點作于點，

∵，
∴
∴，
即，即，
又∵
∴
∴，
設，則，
解得：
∴；
（4）解：如圖所示，當在點的左側時，過點作于點

∵
∴，設，則，
又∵，
∴，
∴
∴
∴
∴，
解得：
在中，
∴
∴
如圖所示，當在點的右側時，過點作交的延長線于點，

∵
∴
∵
∴
設，則，，
∵，
∴
解得：
∴
∴
綜上所述， 或．
【點睛】本題考查了全等三角形的性質與判定，相似三角形的性質與判定，解直角三角形，旋轉的性質，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．
3．（2023·河南周口·三模）（1）問題發現：如圖1，在中，，將邊繞點C順時針旋轉得到線段，在射線上取點D，使得，線段與的數量關系是______；
（2）類比探究：如圖2，若，作，且，其他條件不變，寫出變化后線段與的數量關系，并給出證明；
（3）拓展延伸：如圖3，正方形的邊長為6，點E是邊上一點，且，把線段逆時針旋轉得到線段，連接，直接寫出線段的長．
【答案】（1）；（2），證明見解析；（3）
【分析】（1）結合“一線三等角”推出，從而證得結論即可；
（2）利用條件證明，然后根據相似三角形的性質證明即可；
（3）作延長線于點，過點作，交于點，交于點，結合“一線三垂直”證明，從而利用全等三角形的性質求出和，最后利用勾股定理計算即可．
【詳解】（1）解：∵將邊繞點C順時針旋轉得到線段，
∴，
∵，，
∴．
在和中，
∴，
∴．
故答案為：
（2）．
證明：同（1）可得，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（3）如圖所示，作延長線于點，過點作，交于點，交于點，
則，，，
由（1）同理可證，，
∴，，
∴，，
∴．
【點睛】本題考查旋轉的性質，全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，勾股定理等知識點，掌握一線三等角全等和相似模型，并熟練運用是解題關鍵．
4．（21-22九年級上·黑龍江佳木斯·期中）在中，，，直線經過點，且于，于．

(1)當直線繞點旋轉到圖1位置時，求證：；
(2)當直線繞點旋轉到圖2位置時，試問：、、有怎樣的等量關系？請寫出這個等量關系，并加以證明；
(3)當直線繞點旋轉到圖3位置時，、、之間的等量關系是___（直接寫出答案，不需證明）．
【答案】(1)見解析
(2)，證明見解析
(3)
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質．余角的性質，解題的關鍵在于找出證明三角形全等的條件．
（1）先用證明，得，，進而得出；
（2）先用證明，可得，，進而得出；
（3）證明過程同（2），進而可得．
【詳解】（1）證明：由題意知，，，
∴，，
∴，
在和中，
∵ ，
∴，
∴，，
∴，
∴．
（2）解：．
證明：∵，，
∴，
∴，，
∴，
在和中，
∵ ，
∴，
∴，，
又∵,
∴．
（3）解：．
證明：∵于，于，
∴，
∴，，
∴∠ACD＝∠EBC，
在和中，
∵，
∴，
∴，，
又∵，
∴．
5．（2023洛陽市模擬）綜合與實踐
數學活動課上，老師讓同學們以“過等腰三角形頂點的直線”為主題開展數學探究．
(1)操作發現：如圖甲，在中，，且，直線l經過點A．小華分別過B、C兩點作直線l的垂線，垂足分別為點D、E．易證，此時，線段、、的數量關系為： ；
(2)拓展應用：
如圖乙，為等腰直角三角形，，已知點C的坐標為，點B的坐標為．請利用小華的發現直接寫出點A的坐標： ；
(3)遷移探究：
①如圖丙，小華又作了一個等腰，，且，她在直線l上取兩點D、E，使得，請你幫助小華判斷（1）中線段、、的數量關系是否變化，若不變，請證明；若變化，寫出它們的關系式并說明理由；
②如圖丁，中，，，點D、E在直線上，且，請直接寫出線段、、的數量關系．
【答案】(1)
(2)
(3)①，理由見解析；②
【分析】（1）由全等得到邊長關系即可．
（2）分別按照（1）中情形過A、B做出軸垂線，得到三角形全等后根據邊長關系得到點A坐標．
（3）①將（1）中互余的角度變成計算關系，仍可得角度相等，從而得到全等的三角形，進而得到邊長關系．
②根據①可證全等，然后根據全等三角形的性質得到邊長關系．
【詳解】（1）由等腰直角得，，
又 ，
又，
，
（2）
過A、B作出軸垂線，，由（1）可得，，
又 得，，，
，
（3）①
又，
，
②
與①中同理可得
分別取，中點，連接．
，
,
又
又
在與中
，
【點睛】本題考查一線三等角模型，注重模仿推理能力，結合一個示范作遷移應用，需要大膽參考示范進行相同位置圖像的關系論證．對知識點的充分理解和遷移是解題的關鍵．
題型02 一線三等角模型
已知 ∠D=∠ACB=∠E，AC=BC
圖示
結論
1．（2023·山東聊城·中考真題）如圖，在四邊形中，點E是邊上一點，且，．

(1)求證：；
(2)若，時，求的面積．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）由求出，然后利用證明，可得，再由等邊對等角得出結論；
（2）過點E作于F，根據等腰三角形的性質和含直角三角形的性質求出和，然后利用勾股定理求出，再根據三角形面積公式計算即可．
【詳解】（1）證明：∵，
∴，即，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：過點E作于F，
由（1）知，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴．

【點睛】本題考查了三角形內角和定理，全等三角形的判定和性質，等腰三角形的性質，含直角三角形的性質以及勾股定理等知識，正確尋找證明三角形全等的條件是解題的關鍵．
2．（2023·廣西·中考真題）如圖，是邊長為4的等邊三角形，點D，E，F分別在邊，，上運動，滿足．

(1)求證：；
(2)設的長為x，的面積為y，求y關于x的函數解析式；
(3)結合（2）所得的函數，描述的面積隨的增大如何變化．
【答案】(1)見詳解
(2)
(3)當時，的面積隨的增大而增大，當時，的面積隨的增大而減小
【分析】（1）由題意易得，，然后根據“”可進行求證；
（2）分別過點C、F作，，垂足分別為點H、G，根據題意可得，，然后可得，由（1）易得，則有，進而問題可求解；
（3）由（2）和二次函數的性質可進行求解．
【詳解】（1）證明：∵是邊長為4的等邊三角形，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：分別過點C、F作，，垂足分別為點H、G，如圖所示：

在等邊中，，，
∴，
∴，
設的長為x，則，，
∴，
∴，
同理（1）可知，
∴，
∵的面積為y，
∴；
（3）解：由（2）可知：，
∴，對稱軸為直線，
∴當時，y隨x的增大而增大，當時，y隨x的增大而減小；
即當時，的面積隨的增大而增大，當時，的面積隨的增大而減小．
【點睛】本題主要考查銳角三角函數、二次函數的綜合及等邊三角形的性質，熟練掌握銳角三角函數、二次函數的綜合及等邊三角形的性質是解題的關鍵．
3．（2024江蘇南京·模擬預測）已知，在中，，三點都在直線m上，且．

(1)如圖①，若，則與的數量關系為 ___________，與的數量關系為 ___________；
(2)如圖②，判斷并說明線段，與的數量關系；
(3)如圖③，若只保持，點A在線段上以的速度由點D向點E運動，同時，點C在線段上以的速度由點E向點F運動，它們運動的時間為．是否存在x，使得與全等？若存在，求出相應的t的值；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）利用平角的定義和三角形內角和定理得，再利用證明得；
（2）由（1）同理可得，得，可得答案；
（3）分或兩種情形，分別根據全等三角形的性質可解決問題．
【詳解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案為：；
（2），
由（1）同理可得，
∴，
∴；
（3）存在，當時，
∴，
∴，此時；
當時，
∴
∴，，
綜上：或．
【點睛】本題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質，熟練掌握一線三等角基本模型是解題的關鍵，同時滲透了分類討論的數學思想．
4．（2023·湖北荊州·中考真題）如圖1，點是線段上與點，點不重合的任意一點，在的同側分別以，，為頂點作，其中與的一邊分別是射線和射線，的兩邊不在直線上，我們規定這三個角互為等聯角，點為等聯點，線段為等聯線．
(1)如圖2，在個方格的紙上，小正方形的頂點為格點、邊長均為1，為端點在格點的已知線段．請用三種不同連接格點的方法，作出以線段為等聯線、某格點為等聯點的等聯角，并標出等聯角，保留作圖痕跡；
(2)如圖3，在中，，，延長至點，使，作的等聯角和．將沿折疊，使點落在點處，得到，再延長交的延長線于，連接并延長交的延長線于，連接．
①確定的形狀，并說明理由；
②若，，求等聯線和線段的長（用含的式子表示）．
【答案】(1)見解析
(2)①等腰直角三角形，見解析；②；
【分析】（1）根據新定義，畫出等聯角；
（2）①是等腰直角三角形，過點作交的延長線于．由折疊得，，，證明四邊形為正方形，進而證明，得出即可求解；
②過點作于，交的延長線于，則．證明，得出，在中，，，進而證明四邊形為正方形，則，由，得出，根據相似三角形的性質得出，根據即可求解．
【詳解】（1）解：如圖所示（方法不唯一）
（2）①是等腰直角三角形．理由為：
如圖，過點作交的延長線于．
由折疊得，，
，，
四邊形為正方形
又，
，而，
是等腰直角三角形．
②過點作于，交的延長線于，則．
，
，
由是等腰直角三角形知：，
，
，，而，
，
在中，，，
，
，
，
由，，
∴四邊形為正方形，，
由，得：，
∴，
，而，
即，解得：，
由①知：，，
．
【點睛】本題考查了幾何新定義，正方形的性質與判定，折疊問題，全等三角形的性質與判定，相似三角形的性質與判定，勾股定理，理解新定義，掌握正方形的性質是解題的關鍵．
類型四 手拉手模型
常見模型種類：
等腰三角形
手拉手模型 等邊三角形
手拉手模型 等腰直角三角形
手拉手模型 正方形 手拉手模型
【小結】
1）頭頂頭，左手拉左手，右手拉右手，那么，頭左左≌頭右右.
2）左手拉左手等于右手拉右手，即BD=CE或GD=BE.
1．（2020·湖北鄂州·中考真題）如圖，在和中，，，，．連接、交于點，連接．下列結論：
①；②；③平分；④平分
其中正確的結論個數有（ ）個．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】由SAS證明△AOC≌△BOD，得到∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性質得：∠AMB＋∠OBD＝∠AOB＋∠OAC，得出∠AMB＝∠AOB＝36°，①正確；
根據全等三角形的性質得出∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，②正確；
作OG⊥AC于G，OH⊥BD于H，如圖所示：則∠OGC＝∠OHD＝90°，由AAS證明△OCG≌△ODH（AAS），得出OG＝OH，由角平分線的判定方法得出MO平分，④正確；
由∠AOB＝∠COD，得出當∠DOM＝∠AOM時，OM才平分∠BOC，假設∠DOM＝∠AOM，由△AOC≌△BOD得出∠COM＝∠BOM，由MO平分∠BMC得出∠CMO＝∠BMO，推出△COM≌△BOM，得OB＝OC，而OA＝OB，所以OA＝OC，而，故③錯誤；即可得出結論．
【詳解】∵∠AOB＝∠COD＝36°，
∴∠AOB＋∠BOC＝∠COD＋∠BOC，
即∠AOC＝∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，②正確；
∴∠OAC＝∠OBD，
由三角形的外角性質得：∠AMB＋∠OBD＝∠AOB＋∠OAC，
∴∠AMB＝∠AOB＝36°，②正確；
作OG⊥AC于G，OH⊥BD于H，如圖所示：
則∠OGC＝∠OHD＝90°，
在△OCG和△ODH中，
，
∴△OCG≌△ODH（AAS），
∴OG＝OH，
∴平分，④正確；
∵∠AOB＝∠COD，
∴當∠DOM＝∠AOM時，OM才平分∠BOC，
假設∠DOM＝∠AOM
∵△AOC≌△BOD，
∴∠COM＝∠BOM，
∵MO平分∠BMC，
∴∠CMO＝∠BMO，
在△COM和△BOM中，
，
∴△COM≌△BOM（ASA），
∴OB＝OC，
∵OA＝OB
∴OA＝OC
與矛盾，
∴③錯誤；
正確的有①②④；
故選B．
【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質、三角形的外角性質、角平分線的判定等知識；證明三角形全等是解題的關鍵．
2．（2022·山東煙臺·中考真題）
(1)【問題呈現】如圖1，△ABC和△ADE都是等邊三角形，連接BD，CE．求證：BD＝CE．
(2)【類比探究】如圖2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．連接BD，CE．請直接寫出的值．
(3)【拓展提升】如圖3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．連接BD，CE．
①求的值；
②延長CE交BD于點F，交AB于點G．求sin∠BFC的值．
【答案】(1)見解析
(2)
(3)①；②
【分析】（1）證明△BAD≌△CAE，從而得出結論；
（2）證明△BAD∽△CAE，進而得出結果；
（3）①先證明△ABC∽△ADE，再證得△CAE∽△BAD，進而得出結果；
②在①的基礎上得出∠ACE＝∠ABD，進而∠BFC＝∠BAC，進一步得出結果．
【詳解】（1）證明：∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，
∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝60°，
∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）解：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
，∠DAE＝∠BAC＝45°，
∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD∽△CAE，
；
（3）解：①，∠ABC＝∠ADE＝90°，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，，
∴∠CAE＝∠BAD，
∴△CAE∽△BAD，
；
②由①得：△CAE∽△BAD，
∴∠ACE＝∠ABD，
∵∠AGC＝∠BGF，
∴∠BFC＝∠BAC，
∴sin∠BFC．
【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質等知識，解決問題的關鍵是熟練掌握“手拉手”模型及其變形．
3．（2023·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）綜合與實踐
數學模型可以用來解決一類問題，是數學應用的基本途徑．通過探究圖形的變化規律，再結合其他數學知識的內在聯系，最終可以獲得寶貴的數學經驗，并將其運用到更廣闊的數學天地．

(1)發現問題：如圖1，在和中，，，，連接，，延長交于點．則與的數量關系：______，______；
(2)類比探究：如圖2，在和中，，，，連接，，延長，交于點．請猜想與的數量關系及的度數，并說明理由；
(3)拓展延伸：如圖3，和均為等腰直角三角形，，連接，，且點，，在一條直線上，過點作，垂足為點．則，，之間的數量關系：______；
(4)實踐應用：正方形中，，若平面內存在點滿足，，則______．
【答案】(1)，
(2)，，證明見解析
(3)
(4)或
【分析】（1）根據已知得出，即可證明，得出，，進而根據三角形的外角的性質即可求解；
（2）同（1）的方法即可得證；
（3）同（1）的方法證明，根據等腰直角三角形的性質得出，即可得出結論；
（4）根據題意畫出圖形，連接，以為直徑,的中點為圓心作圓，以點為圓心，為半徑作圓，兩圓交于點，延長至，使得，證明，得出，勾股定理求得，進而求得，根據相似三角形的性質即可得出，勾股定理求得，進而根據三角形的面積公式即可求解．
【詳解】（1）解：∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
設交于點，

∵
∴，
故答案為：，．
（2）結論：，；
證明：∵，
∴，即，
又∵，，
∴
∴，
∵，，
∴，
∴，
（3），理由如下，
∵，
∴，
即，
又∵和均為等腰直角三角形
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴；
（4）解：如圖所示，

連接，以為直徑,的中點為圓心作圓，以點為圓心，為半徑作圓，兩圓交于點，
延長至，使得，
則是等腰直角三角形，

∵,
∴ ，
∵，
∴
∴，
∴，
∵，
在中，，
∴
∴
過點作于點，
設，則，
在中，，
在中，
∴
∴
解得：，則，
設交于點，則是等腰直角三角形，
∴
在中，
∴
∴
又，
∴
∴
∴，
∴
∴，
在中，，
∴，
綜上所述， 或
故答案為：或．
【點睛】本題考查了全等三角形的性質與判定，相似三角形的性質與判定，正方形的性質，勾股定理，直徑所對的圓周角是直角，熟練運用已知模型是解題的關鍵．
4．（2023·湖北黃岡·中考真題）【問題呈現】
和都是直角三角形，，連接，，探究，的位置關系．

(1)如圖1，當時，直接寫出，的位置關系：____________；
(2)如圖2，當時，（1）中的結論是否成立？若成立，給出證明；若不成立，說明理由．
【拓展應用】
(3)當時，將繞點C旋轉，使三點恰好在同一直線上，求的長．
【答案】(1)
(2)成立；理由見解析
(3)或
【分析】（1）根據，得出，，證明，得出，根據，求出，即可證明結論；
（2）證明，得出，根據，求出，即可證明結論；
（3）分兩種情況，當點E在線段上時，當點D在線段上時，分別畫出圖形，根據勾股定理求出結果即可．
【詳解】（1）解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
，
∴，
∴；
故答案為：．

（2）解：成立；理由如下：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
，
∴，
∴；

（3）解：當點E在線段上時，連接，如圖所示：

設，則，
根據解析（2）可知，，
∴，
∴，
根據解析（2）可知，，
∴，
根據勾股定理得：，
即，
解得：或（舍去），
∴此時；
當點D在線段上時，連接，如圖所示：

設，則，
根據解析（2）可知，，
∴，
∴，
根據解析（2）可知，，
∴，
根據勾股定理得：，
即，
解得：或（舍去），
∴此時；
綜上分析可知，或．
【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，三角形內角和定理的應用，勾股定理，解題的關鍵是熟練掌握三角形相似的判定方法，畫出相應的圖形，注意分類討論．
類型五 夾半角模型
解題方法：1）過公共點作旋轉，2）截長補短的方法構造全等解題.
常見類型：
類型 正方形內含型半角 等腰直角三角形內含型半角
條件 正方形ABCD，∠EAF=45° ∠BAC=90°,AB=AC，∠EAF=45°
圖示
輔助線作法 延長BC至點G，使DE=GB,連接AG 過點B作BD⊥BC,且BD=EC,連接AD,DF
結論 1）旋轉全等 2）對稱全等 3）EF=DE+BF 1）旋轉全等 2）對稱全等 3）在Rt△DBF中， 即
【說明】
1)“半角”模型的核心識別條件是“共端點的等線段”和“共頂點的倍、半角”，也可以拓展到鄰邊相等且對角互補的四邊形中.
2) “半角”模型結論在證明過程中有兩次重要全等:一次是旋轉型全等:一次是對稱型全等.只有將兩次全等證明完畢，才能繼續向下推進.
1．（2024·四川宜賓·中考真題）如圖，正方形的邊長為1，M、N是邊、上的動點．若，則的最小值為 ．
【答案】/
【分析】將順時針旋轉得到，再證明，從而得到，再設設，，得到，利用勾股定理得到，即，整理得到，從而利用完全平方公式得到 ，從而得解．
【詳解】解：∵正方形的邊長為1，
∴，，
將順時針旋轉得到，則，
∴，，，，
∴點P、B、M、C共線，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
設，，則，，
∴，
∵，
∴，即，
整理得：，
∴
，
當且僅當，即，也即時，取最小值，
故答案為：．
【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質，正方形的性質，勾股定理，二次根式的運算，完全平方公式等知識，證明和得到是解題的關鍵．
2．（2024·四川樂山·中考真題）在一堂平面幾何專題復習課上，劉老師先引導學生解決了以下問題：
【問題情境】
如圖1，在中，，，點D、E在邊上，且，，，求的長．
解：如圖2，將繞點A逆時針旋轉得到，連接．

由旋轉的特征得，，，．
∵，，
∴．
∵，
∴，即．
∴．
在和中，
，，，
∴___①___．
∴．
又∵，
∴在中，___②___．
∵，，

∴___③___．
【問題解決】
上述問題情境中，“①”處應填：______；“②”處應填：______；“③”處應填：______．
劉老師進一步談到：圖形的變化強調從運動變化的觀點來研究，只要我們抓住了變化中的不變量，就能以不變應萬變．
【知識遷移】
如圖3，在正方形中，點E、F分別在邊上，滿足的周長等于正方形的周長的一半，連結，分別與對角線交于M、N兩點．探究的數量關系并證明．

【拓展應用】
如圖4，在矩形中，點E、F分別在邊上，且．探究的數量關系：______（直接寫出結論，不必證明）．

【問題再探】
如圖5，在中，，，，點D、E在邊上，且．設，，求y與x的函數關系式．

【答案】【問題解決】①；②；③5；【知識遷移】，見解析；【拓展應用】；【問題再探】
【分析】【問題解決】根據題中思路解答即可；
【知識遷移】如圖，將繞點逆時針旋轉，得到．過點作交邊于點，連接．由旋轉的特征得．結合題意得．證明，得出．根據正方形性質得出．結合，得出．證明，得出．證明．得出．在中，根據勾股定理即可求解；
【拓展應用】如圖所示，設直線交延長線于點，交延長線于點，將繞著點順時針旋轉，得到，連接．則．則，，根據，證明，得出，過點H作交于點O，過點H作交于點M，則四邊形為矩形．得出，證明是等腰直角三角形，得出，，在中，根據勾股定理即可證明；
【問題再探】如圖，將繞點逆時針旋轉，得到，連接．過點作，垂足為點，過點作，垂足為．過點作，過點作交于點、交于點．由旋轉的特征得．根據，得出，證明，得出，根據勾股定理算出，根據，表示出，證明，根據相似三角形的性質表示出，，同理可得．，證明四邊形為矩形．得出，，在中，根據勾股定理即可求解；
【詳解】【問題解決】解：如圖2，將繞點A逆時針旋轉得到，連接．

由旋轉的特征得，，，．
∵，，
∴．
∵，
∴，即．
∴．
在和中，，，，
∴①．
∴．
又∵，
∴在中，②．
∵，，
∴③．
【知識遷移】．
證明：如圖，將繞點逆時針旋轉，得到．
過點作交邊于點，連接．

由旋轉的特征得．
由題意得，
∴．
在和中，，
∴．
∴．
又∵為正方形的對角線，
∴．
∵，
∴．
在和中，，
∴，
∴．
在和中，，
∴．
∴．
在中，，
∴．
【拓展應用】．
證明：如圖所示，設直線交延長線于點，交延長線于點，

將繞著點順時針旋轉，得到，連接．
則．
則，，
，
，
在和中
，
，
∴，
過點H作交于點O，過點H作交于點M，則四邊形為矩形．
∴，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
在中，，，
∴，
即，
又∴，
∴，
即，
【問題再探】如圖，將繞點逆時針旋轉，得到，連接．過點作，垂足為點，過點作，垂足為．過點作，過點作交于點、交于點．

由旋轉的特征得．
，
，
，即，
在和中，，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，即，
，
同理可得．
，
，
，
又∵，
∴四邊形為矩形．
，
，
在中，．
，
解得．
【點睛】本題是四邊形的綜合題，考查的是旋轉變換的性質、矩形的性質和判定、正方形的性質和判定、勾股定理、等腰直角三角形的性質和判定、全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，靈活運用旋轉變換作圖，掌握以上知識點是解題的關鍵．
類型六 夾半角模型
3．（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）已知是等腰三角形，，，在的內部，點M、N在上，點M在點N的左側，探究線段之間的數量關系．

（1）如圖①，當時，探究如下：
由，可知，將繞點A順時針旋轉，得到，則且，連接，易證，可得，在中，，則有．
（2）當時，如圖②：當時，如圖③，分別寫出線段之間的數量關系，并選擇圖②或圖③進行證明．
【答案】圖②的結論是：；圖③的結論是：；證明見解析
【分析】本題主要考查等邊三角形的性質，全等三角形的判定與性質，30度角所對的直角邊等于斜邊的一半，勾股定理等知識 ，選②，以點B為頂點在外作，在上截取，連接，過點Q作，垂足為H，構造全等三角形，得出，，再證明，得到；在中由勾股定理得，即，整理可得結論；選③方法同②
【詳解】解：圖②的結論是：
證明：∵
∴是等邊三角形，
∴，
以點B為頂點在外作，在上截取，連接，過點Q作，垂足為H，
，，
，
又
即
又，
，
；
∵
∴，
∴
，
∴，
在中,可得：
即
整理得
圖③的結論是：
證明：以點B為頂點在外作，在上截取，連接，過點Q作，垂足為H，
，，
，
又
即
又，
，
在中，，
，
，
在中,可得：
即
整理得
4．（20-21九年級上·廣西南寧·期中）如圖①，四邊形是正方形，，分別在邊、上，且，我們稱之為“半角模型”，在解決“半角模型”問題時，旋轉是一種常用的方法，如圖①，將繞點順時針旋轉，點與點重合，連接、、．
(1)試判斷，，之間的數量關系；
(2)如圖②，點、分別在正方形的邊、的延長線上，，連接，請寫出、、之間的數量關系，并寫出證明過程．
(3)如圖③，在四邊形中，，，，點，分別在邊，上，，請直接寫出，，之間數量關系．
【答案】(1)
(2)，證明見解析
(3)
【分析】本題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質，旋轉的性質，全等三角形的判定與性質，利用旋轉構造全等三角形是解題的關鍵．
（1）首先利用證明，得，從而得出答案；
（2）在上取,連接，首先由，得，，再利用證明，得，即可證明結論；
（3）將繞點逆時針旋轉得，由旋轉的性質得點、、共線，由（1）同理可得，得，從而解決問題．
【詳解】（1）解：，證明如下：
四邊形是正方形，
，
由旋轉的性質可得：，，，，
，
點、、共線，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
（2）解：，
證明如下：
如圖，在上取，連接，
四邊形是正方形，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
；
（3）解：如圖，將繞點逆時針旋轉得，
，，，
，
，
點、、共線，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
．
5．（2024南京市模擬預測）在等邊的兩邊、所在直線上分別有兩點、，為外一點，且，，．探究：當、分別在直線、上移動時，、、之間的數量關系及的周長與等邊的周長的關系．

(1)如圖1，當點、在邊、上，且時，、、之間的數量關系是　　；此時　　；
(2)如圖2，點、在邊、上，且當時，猜想（1）問的兩個結論還成立嗎？若成立請直接寫出你的結論；若不成立請說明理由．
(3)如圖3，當、分別在邊、的延長線上時，探索、、之間的數量關系如何？并給出證明．
【答案】(1)，
(2)（1）問的兩個結論仍然成立，證明見解析
(3)，證明見解析
【分析】（1）先證是等邊三角形，再證，然后根據特殊直角三角形的性質即可求出、、之間的數量關系；
（2）在的延長線上截取，可證，可得，再證，由全等三角形的性質可得結論仍成立；
（3）在上截取，連接，可證，可得，然后證得，可證，即可得出．
【詳解】（1）解：、、之間的數量關系，
此時，
理由如下：，，
是等邊三角形，
是等邊三角形，
，
，，
，
，
，，
，
，，
，，，
，是等邊三角形，
，
，
，
；
（2）解：猜想：結論仍然成立，
證明：如圖，在的延長線上截取，連接，
，，，
，
，，，
，，
，
，
，
的周長為：，
；
（3）證明：如圖，在上截取，連接，

同（2）可證，
，
，，
，
，
又，，
，
，
，
．
【點睛】本題考查等邊三角形的判定和性質，含30度角的直角三角形的性質，等腰三角形的性質以及全等三角形的判定與性質等，綜合性強，難度較大，解題的關鍵是掌握輔助線的作法．
類型六 對角互補模型
模型1 兩90°的等鄰邊對角互補模型
1.基礎類型
條件：如圖，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，CD＝CE
結論：①OC平分∠AOB，②OD＋OE＝OC，③.
【注意】已知角平分線、鄰邊相等（非對稱）和對角互補中的兩個，可推導出第三個.
2.模型引申
條件：如圖，已知∠DCE的一邊與AO的延長線交于點D，∠AOB＝∠DCE＝90°，CD＝CE
提示：借助“8字模型”可推得∠ODC=∠CEF
結論：①OC平分∠AOB，②OE－OD＝OC，③.
模型2. 含120°、60°的等鄰邊對角互補模型
1.基礎類型
條件：如圖，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，CD＝CE.
結論：①OC平分∠AOB，②OD＋OE＝OC，③.
2.模型引申
條件：如圖，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，CD＝CE，∠DCE的一邊與BO的延長線交于點D，
結論：①OC平分∠AOB，②OD－OE＝OC，③.
1．（2024·甘肅·中考真題）【模型建立】
（1）如圖1，已知和，，，，．用等式寫出線段，，的數量關系，并說明理由．
【模型應用】
（2）如圖2，在正方形中，點E，F分別在對角線和邊上，，．用等式寫出線段，，的數量關系，并說明理由．
【模型遷移】
（3）如圖3，在正方形中，點E在對角線上，點F在邊的延長線上，，．用等式寫出線段，，的數量關系，并說明理由．
【答案】（1），理由見詳解，（2），理由見詳解，（3），理由見詳解
【分析】（1）直接證明，即可證明；
（2）過E點作于點M，過E點作于點N，先證明，可得，結合等腰直角三角形的性質可得：， ，即有，，進而可得，即可證；
（3）過A點作于點H，過F點作，交的延長線于點G，先證明，再結合等腰直角三角形的性質，即可證明．
【詳解】（1），理由如下：
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（2），理由如下：
過E點作于點M，過E點作于點N，如圖，
∵四邊形是正方形，是正方形的對角線，
∴，平分，，
∴，
即，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，，
∴四邊形是正方形，
∴是正方形對角線，，
∴， ，
∴，，
∴，即，
∵，
∴，
即有；
（3），理由如下，
過A點作于點H，過F點作，交的延長線于點G，如圖，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵在正方形中，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【點睛】本題主要考查了正方形的性質，等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定與性質，角平分線的性質等知識，題目難度中等，作出合理的輔助線，靈活證明三角形的全等，并準確表示出各個邊之間的數量關系，是解答本題的關鍵．
2．（20-21九年級上·廣西南寧·期中）如圖①，四邊形是正方形，，分別在邊、上，且，我們稱之為“半角模型”，在解決“半角模型”問題時，旋轉是一種常用的方法，如圖①，將繞點順時針旋轉，點與點重合，連接、、．
(1)試判斷，，之間的數量關系；
(2)如圖②，點、分別在正方形的邊、的延長線上，，連接，請寫出、、之間的數量關系，并寫出證明過程．
(3)如圖③，在四邊形中，，，，點，分別在邊，上，，請直接寫出，，之間數量關系．
【答案】(1)
(2)，證明見解析
(3)
【分析】本題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質，旋轉的性質，全等三角形的判定與性質，利用旋轉構造全等三角形是解題的關鍵．
（1）首先利用證明，得，從而得出答案；
（2）在上取,連接，首先由，得，，再利用證明，得，即可證明結論；
（3）將繞點逆時針旋轉得，由旋轉的性質得點、、共線，由（1）同理可得，得，從而解決問題．
【詳解】（1）解：，證明如下：
四邊形是正方形，
，
由旋轉的性質可得：，，，，
，
點、、共線，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
（2）解：，
證明如下：
如圖，在上取，連接，
四邊形是正方形，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
；
（3）解：如圖，將繞點逆時針旋轉得，
，，，
，
，
點、、共線，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
．
3．（2024·江蘇揚州·二模）當幾何圖形中，兩個共頂點的角所在角度是公共大角一半的關系，我們稱之為“半角模型”，通常用“旋轉的觀點”看待圖形的幾何變換，使得兩個分散的角變換成為一個三角形，相當于構造出兩個三角形全等．
【問題初探】
（1）如圖1，在四邊形中，，，、分別是、邊上的點，且，求出圖中線段，，之間的數量關系．
①如圖1，從條件出發：將繞著點逆時針旋轉到位置，根據“旋轉的性質”分析與之間的關系，再通過全等的性質得到線段之間的數量關系，可證得結論．
【類比分析】
（2）如圖2，在四邊形中，，，，且，，，求的長．
【學以致用】
（3）如圖3，在四邊形中，，與互補，點、分別在射線、上，且．當，，時，求出的周長．
【答案】（1），理由見解答；（2）；（3）
【分析】本題考查三角形的知識，解題的關鍵是掌握全等三角形的判定和性質，勾股定理，等腰直角三角形的性質，旋轉的性質，學會用旋轉法添加輔助線，構造全等三角形，即可．
（1）繞點旋轉得到，則，推出，，，根據，，全等三角形的判定和性質，則，即可；
（2）在上取點，使得，根據四邊形的內角和，則，得到，根據全等三角形的判定和性質，則，得到，，再根據全等三角形的判定和性質，則，設，得到，，根據勾股定理解出即可；
（3）（3）在上取點，使得，根據四邊形的內角和，與互補，得到，根據等量代換，推出，根據全等三角形的判定和性質，則，推出，，再根據角之間的運算，得到，再根據全等三角形的判定和性質，則，，根據三角形的周長，即可．
【詳解】（1），理由如下：
∵在四邊形中，，，
∴繞點旋轉得到，
∴，
∴，，，，，三點共線，
∵，
∴，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴；
（2）在上取點，使得，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
設，
∵，，，
∴，，
∴在中，，
∴，
解得：，
∴．
（3）在上取點，使得，
∵與互補，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴．
4．（23-24八年級上·湖北黃石·期中）（1）特例探究：如圖①，在正方形中，E，F分別為，上的點，，探究，，之間的數量關系．小明是這么思考的：延長，截取，連接，易證，從而得到，再由“”證明，從而得出結論：__________________________．
（2）一般探究：如圖②，在四邊形中，，與互補，E，F分別是，上的點，且滿足，探究，，之間的數量關系．
（3）實際應用：如圖③，在四邊形中，，，，則四邊形的面積為 ．

【答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）根據題意已知，，，即可得到，從而可得；
（2）同理，再在延長線上取一點，使，連接，證得，結合再證得，即可得出；
（3）同理，在的延長線上取一點，使，連接，證得，即可得出，，求出即可解題．
【詳解】解：（1）四邊形為正方形，
，，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
故答案為：；
（2）如圖，在延長線上取一點，使，連接，
，與互補，
，
，，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
；
（3）如圖，在的延長線上取一點，使，連接，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
故答案為：．
【點睛】本題考查了全等三角形的性質與判定，正方形的性質，補角的定義，線段的和差關系，解題的關鍵是作輔助線從而構造三角形全等．
類型七 其它模型
題型01 等邊三角形雞爪模型
條件 等邊 ABC，點D在 ABC內部 等邊 ABC，點D在 ABC外部
圖示
作法 將 ABD繞點A逆時針旋轉60°，得到 AEC，連接DE 將 ACD繞點A逆時針旋轉60°，得到 AEC，連接DE
結論
1．（2024連云港市模擬預測）實驗學校數學興趣小組對特殊三角形外一點與該三角形三個頂點所形成的線段數量關系展開探究：
(1)如圖①，已知等邊三角形邊的延長線上一點P，且滿足，求線段、、的數量關系，馬超同學一眼看出結果為，，你是否同意，請聰明的你說明理由；
(2)在探究過程中，小組同學們發現，當點P不在任意邊的延長線上時，所形成的圖形形似“雞爪”，于是興趣小組同學們對“雞爪”圖形的特點展開深入探究：如圖②，為等邊三角形，，（1）中的結論是否仍成立？小孫同學是這樣做的：首先將線段朝外作等邊三角形，連接，……，請沿著小孫同學的思路嘗試著走下去看看結論是否符合（1）中的結論；
(3)如圖③，“雞爪”圖形中，是等腰直角三角形，，，請簡述線段、、的數量關系；
(4)如圖④，“雞爪”圖形中，是等腰直角三角形，，，若，，請直接寫出的長．
【答案】(1)同意，證明見解析；
(2)成立，證明見解析；
(3)
(4)
【分析】（1）證明，，由勾股定理即可得出結論；
（2）線段朝外作等邊，連接，證明得出，再證明，由勾股定理即可得出結論；
（3）線段朝外作等腰直角，同（2）的方法證明，在由即可得出結論；
（4）過點A作，交延長線于點D，得是等腰直角三角形，再證明得出，得出，進而求出.
【詳解】（1）同意，
理由如下：∵在等邊三角形中，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，即，
（2）（1）的結論成立，
證明：如圖，線段朝外作等邊三角形，連接，
在等邊，等邊中，，，，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
（3）如圖，線段朝外作等腰直角三角形，連接，，，
在等腰直角，等腰直角中，，，，
∴，，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即.
（4）過點A作，交延長線于點D，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
又∵，
∴
∴，
∵，，
∴，
∴
【點睛】本題考查三角形全等的判定和性質和勾股定理，利用旋轉構造全等三角形，將三條線段轉化到同一個三角形中求解是解題關鍵．
題型02 婆羅摩及多模型
題目特征 共直角頂點的正方形或等腰直角三角形，出現中點. 共直角頂點的正方形或等腰直角三角形，出現垂直.
條件 四邊形ABCD、CEFG為正方形，連接BE、DG，I、C、H三點共線,點I為DG中點 四邊形ABCD、CEFG為正方形，連接BE、DG，I、C、H三點共線,CH⊥BE
圖示
作法 延長IC到點P，使PI=IC，連接PG 分別過點D、G作DM⊥CI與點M，NG⊥CI于點N
結論 CH⊥BE(知中點得垂直) BE=2IC DI=IG(知垂直得中點) BE=2IC
1．（2023滁州市模擬預測）婆羅摩笈多（Brahmagupta）約公元598年生，約660年卒，在數學、天文學方面有所成就． 婆羅摩笈多是印度印多爾北部烏賈因地方人，原籍可能為巴基斯坦的信德． 婆羅摩笈多的一些數學成就在世界數學史上有較高的地位． 例如下列模型就被稱為“婆羅摩笈多模型”：如圖1，2，3，△ABC中，分別以AB，AC為邊作Rt△ABE和Rt△ACD，AB＝AE，AC＝AD，∠BAE＝∠CAD＝90°，則有下列結論：
①圖1中S△ABC＝S△ADE；
②如圖2中，若AM是邊BC上的中線，則ED＝2AM；
③如圖3中，若AM⊥BC，則MA的延長線平分ED于點N．
（1）上述三個結論中請你選擇一個感興趣的結論進行證明，寫出證明過程；
（2）能力拓展：將上述圖形中的某一個直角三角形旋轉到如圖4所示的位置：△ABC與△ADE均為等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，連接BD，CE，若F為BD的中點，連接AF，求證：2AF＝CE．
【答案】（1）①證明見詳解；②證明見詳解；③證明見詳解；（2）證明見詳解．
【分析】（1）①取DE中點F，過E作EG∥AD，交射線AF于G，先證△GEF≌△ADF（AAS），得出S△EAD=S△GEA，再證△GEA≌△CAB（SAS）即可；
②取DE中點F，過E作EG∥AD，交射線AF于G，先證△GEF≌△ADF（AAS），得出∠BAC =∠GEA，再證△GEA≌△CAB（SAS），得出∠EAG=∠ABC，AC=AG，由AM是邊BC上的中線，得出BM=CM=，三證△EAF≌△ABM（SAS）即可；
③過E作EP⊥MN交MN延長線于O，過D作DO⊥MN于O，先證∠ABM=∠EAP，∠MCA=∠OAD，證明△EAP≌△ABM（AAS），再證△CAM≌△ADO（AAS），三證△EPN≌△DON（AAS）即可．
（2）延長AF，使FQ=AF，連接DQ，將△ACE繞點A逆時針旋轉90°，得△ARD，由點F為BD中點，可得DF=BF，先證△DQF≌△BAF（SAS），DQ=BA=AC，∠FDQ=∠FBA，可證DQ∥BA，根據△ACE繞點A逆時針旋轉90°得△ARD，可得AR=AC=AB=QD，RD=CE，證明R、A、B三點共線，再證△DQA≌△ARD（SAS），即可．
【詳解】（1）①圖1中S△ABC＝S△ADE；
證明：取DE中點F，過E作EG∥AD，交射線AF于G，
∵點F為DE中點，
∴EF=DF，
∵EG∥AD，
∴∠GEF=∠ADF，∠GEA+∠EAD=180°，
在△GEF和△ADF中，
，
∴△GEF≌△ADF（AAS），
∴GE=AD，∠G=∠DAF，
∴S△GEF=S△ADF，
∴S△EAD=S△GEA，
∵∠BAE＝∠CAD＝90°，
∴∠BAC+∠EAD=360°-∠BAE-∠CAD=180°
∴∠BAC+∠EAD=∠GEA+∠EAD=180°
∴∠BAC =∠GEA，
∴GE=AD=AC，
在△GEA和△CAB中，
，
∴△GEA≌△CAB（SAS），
∴S△ABC＝S△GEA=S△ADE；
②如圖2中，若AM是邊BC上的中線，則ED＝2AM；
證明：取DE中點F，過E作EG∥AD，交射線AF于G，
∵點F為DE中點，
∴EF=DF，
∵EG∥AD，
∴∠GEF=∠ADF，∠GEA+∠EAD=180°，
在△GEF和△ADF中，
，
∴△GEF≌△ADF（AAS），
∴GE=AD，GF=AF=
∵∠BAE＝∠CAD＝90°，
∴∠BAC+∠EAD=360°-∠BAE-∠CAD=180°
∴∠BAC+∠EAD=∠GEA+∠EAD=180°
∴∠BAC =∠GEA，
∴GE=AD=AC，
在△GEA和△CAB中，
，
∴△GEA≌△CAB（SAS），
∴∠EAG=∠ABC，AC=AG，
∵AM是邊BC上的中線，
∴BM=CM=，
在△EAF和△ABM中，
，
∴△EAF≌△ABM（SAS），
∴EF=AM，
∵點F為DE中點，
∴DE=2EF=2AM，
③如圖3中，若AM⊥BC，則MA的延長線平分ED于點N．
證明：過E作EP⊥MN交MN延長線于O，過D作DO⊥MN于O，
∵∠BAE=90°，∠DAC=90°，
∴∠BAM+∠EAP=90°，∠MAC+∠DAO=90°，
∵AM⊥BC，
∴∠ABM+∠BAM=90°，∠MCA+∠MAC=90°
∴∠ABM=∠EAP，∠MCA=∠OAD，
∵EP⊥MN，
∴∠EPA=90°
在△EAP和△ABM中，
，
∴△EAP≌△ABM（AAS），
∴EP=AM，
∵DO⊥MN，
∴∠AOD=90°，
在△CAM和△ADO中，
，
∴△CAM≌△ADO（AAS）
∴AM=DO，
∴EP=DO=AM，
在△EPN和△DON中，
∴△EPN≌△DON（AAS），
∴EN=DN，
∴MA的延長線平分ED于點N．
（2）延長AF，使FQ=AF，連接DQ，將△ACE繞點A逆時針旋轉90°，得△ARD
∵點F為BD中點，
∴DF=BF，
在△DQF和△BAF中，
∴△DQF≌△BAF（SAS），
∴DQ=BA=AC，∠FDQ=∠FBA，
∴DQ∥BA，
∵△ACE繞點A逆時針旋轉90°得△ARD
∴△ACE≌△ARD，∠RAC=90°，
∴AR=AC=AB=QD，RD=CE，
∵∠CAB=90°，
∴∠RAB=∠RAC+∠CAB=90°+90°=180°，
∴R、A、B三點共線，
∵DQ∥BA，
∴∠QDA=∠RAD，
在△DQA和△ARD中，
∴△DQA≌△ARD（SAS），
∴AQ=DR，
∴2AF=AG=DR=CE，
∴2AF=CE．
【點睛】本題考查三角形全等判定與性質，三角形面積，中線加倍，三角形中線性質，等腰直角三角形性質，圖形旋轉變換性質，三點共線，掌握以上知識，尤其是利用輔助線作出準確圖形是解題關鍵．
題型03 平行8字模型
1．（2023·江蘇揚州·二模）【閱讀材料】
教材習題 如圖，、相交于點，是中點，，求證：是中點．
問題分析 由條件易證，從而得到，即點是的中點
方法提取 構造“平行字型”全等三角形模型是證明線段相等的一種常用方法

請運用上述閱讀材料中獲取的經驗和方法解決下列問題．
【基礎應用】已知中，，點在邊上，點在邊的延長線上，連接交于點．
(1)如圖1，若，，求證：點是的中點；
(2)如圖2，若，，探究與之間的數量關系；
【靈活應用】如圖3，是半圓的直徑，點是半圓上一點，點是上一點，點在延長線上，，，，當點從點運動到點，點運動的路徑長為______，掃過的面積為______．
【答案】(1)見解析；(2)；【靈活應用】，
【分析】（1）過點作，證，即可得點是的中點；
（2）過點作，可證，得，由，，得，再證，可得，由平行線分線段成比例得，由，可得，，即可得出；
[靈活應用]：由題意可得，過點作，則，可得，進而可得，證，可知，過點作，則，，可得點在以為直徑的半圓上運動，可求得運動的路徑長度，過點作，則，，則點在以為直徑的半圓上運動，可知掃過的面積為以為直徑的半圓與以為直徑的半圓的面積之差，即可求得答案．
【詳解】解：（1）證明：，，
，
過點作，則，，

是等腰直角三角形，則，
，
，
，
，
又，
，
，
點是的中點；
（2）過點作，則，

，，則，
，
，
，，
，
又，
，
，
，
，
則，
，
；
[靈活應用]：
是半圓的直徑，點是半圓上一點，
，
過點作，則，

，
，
，
，
，
又，
，
，
過點作，則，，
，
，，
，則 ，
，
點在以為直徑的半圓上運動，
運動的路徑長為：
過點作，則，，

，
，
點在以為直徑的半圓上運動，
則掃過的面積為以為直徑的半圓與以為直徑的半圓的面積之差，
即：掃過的面積為
故答案為：，．
【點睛】本題考查全等三角形的判定及性質，相似三角形的判定及性質，平行線分線段成比例，圓周角定理，動點的運動路徑，添加輔助線構造全等三角形是解決問題的關鍵．
2．（2023·吉林長春·三模）【閱讀理解】構造“平行八字型”全等三角形模型是證明線段相等的一種方法，我們常用這種方法證明線段的中點問題．
例如：如圖，是邊上一點，是的中點，過點作，交的延長線于點，則易證是線段的中點．

【經驗運用】
請運用上述閱讀材料中所積累的經驗和方法解決下列問題．

（1）如圖1，在正方形中，點在上，點在的延長線上，且滿足，連接交于點．
求證：①是的中點；
②CG與BE之間的數量關系是：____________________________；
【拓展延伸】
（2）如圖2，在矩形中，，點在上，點在的延長線上，且滿足，連接交于點．探究和之間的數量關系是：____________________________；
【答案】（1）①見解析②
（2）
【分析】（1）①過點作交于點，證明，得出即可；
②由等腰直角三角形的性質得出，由平行線得出，證出，由全等三角形的性質得出，即可得出結論；
（2）作 交于點，由三角函數證出，得出，證，得出，，設，則，求出，則，得出，即可得出結果．
【詳解】解：證明：①過點作交于點，如圖1所示：
四邊形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
在和中，，
，
，
是的中點；
②在中，，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
即．
（2）解：和之間的數量關系為：；理由如下：

過點作 交于點，如圖2所示：
四邊形是矩形，
，，，
在和中，，，
，
，
，
，
，
，，
在和中，，
，
，，
設，則，
在中，，
，，
即，
，
，
，
，
，
．
【點睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質、矩形的性質、勾股定理、三角函數、全等三角形的判定與性質、平行線的性質、相似三角形的判定與性質等知識；作輔助線構建全等三角形與相似三角形是解題的關鍵．第四章 三角形
重難點11 幾何壓軸題一 全等模型
（16種模型題型匯總+專題訓練+13種模型解析）
【題型匯總】
類型一 構造輔助線
題型01 倍長中線法
模型 倍長中線模型 倍長類中線模型
條件 延長AD至點E，使AD=DE，連接BE 在△ABC中，D是BC的中點
圖示
方法 延長AD至點E，使AD=DE，連接BE 延長FD至點E，使FD=DE，連接CE
結論 ,AC=BE且AC∥BE , BF=CE且BF∥CE
【總結】
1）口決：見中線（或中點），可倍長，得全等，轉邊、角；
2）倍長中線后，具體連接哪兩點，可根據需要轉化的邊、角來判斷；
3）倍長中線后，將兩邊都連接可構成平行四邊形，可將三角形問題轉化為平行四邊形問題，再借助平行四邊形的相關性質解題.
1．（2024·重慶渝北·模擬預測）如圖， 在中，， 若，為的中線， 點E在邊上(不與端點重合)，與交于點 F， 若， 則 ．
2．（2024·山東菏澤·二模）【方法回顧】
如圖1，在中，D，E分別是邊的中點，小明在證明“三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半”時，通過延長到點F，使，連接，證明，再證四邊形是平行四邊形即得證．
（1）上述證明過程中：
①證明的依據是（_____）
A． B． C． D．
②證明四邊形是平行四邊形的依據是_______；
【類比遷移】
（2）如圖2，是的中線，交于點E，交于點F，且，求證：．小明發現可以類比材料中的思路進行證明．
證明：如圖2，延長至點G，使，連接，請根據小明的思路完成證明過程；
【理解運用】
（3）如圖3，四邊形與四邊形均為正方形，連接，點P是的中點，連接．請判斷線段與的數量關系及位置關系．（不要求證明）
3．（2024·四川達州·模擬預測）[問題背景]在中，，求邊上的中線的取值范圍，小組內經過合作交流，得到了如下的解決方法（如圖1）：延長到E，使得，再連接，把集中在中．
(1)利用上述方法求出的取值范圍是_________；
(2)[探究]如圖2，在中，為邊上的中線，點D在的延長線上，且，與相交于點O，若四邊形的面積為20，求的面積；
(3)[拓展]如圖3，在四邊形中，，E為的中點，G、F分別為邊上的點，若，，，求的長．
4．（2024·貴州遵義·模擬預測）輔助線是解決幾何圖形問題的利劍，合理添加輔助線，會使問題變得簡單，下表給出了三角形中幾個常見利用中點添加輔助線的模型，請根據要求解決問題．
題眼 1．普通三角形+中點 2．等腰三角形+底邊中點 3．直角三角形+斜邊中點 4．兩個中點
大致圖形
輔助線名稱 倍長中線 三線合一 斜邊中線 中位線
具體做法 延長到點E， 使，連接 連接 連接 連接
產生效果 ① ②
(1)請在①，②中任選擇一個填空：
你選擇的是_______，產生效果是_______．（產生效果寫一個或兩個）
(2)如圖①，在三角形中，是的一條中線，，求的長．
(3)如圖②，在中，，點是邊上兩個不同的動點，以為邊在內部（包括邊界）作等邊三角形，點，F分別是的中點，當的周長取最大值時，求線段的長．
題型02 截長補短法
方法 截長法 補短法
條件 在△ABC中AD平分∠BAC,∠C=2∠B,求證：AB=AC+CD
圖示
方法 在AB上截取AE=AC,連接DE 延長AC到點E，使CD=CE,連接DE
結論 △DEB是等腰三角形 △CDE是等腰三角形
【總結】
1）“截長補短法”是初中幾何題中一種添加輔助線的方法，也是把幾何題化難為易的一種靠略，截長就是在長邊上截取一條線段與某一短邊相等，補短就是通過延長或旋轉等方式使兩條短邊拼合到一起，從而解決問題.
2）截長或補短后，如果出現的全等三角形或特殊三角形能推動證明，那么輔助線是成功的，否則，就應該換一個截長或補短的方式，甚至換一種解題思路.
1．（2020·安徽·中考真題）如圖1．已知四邊形是矩形．點在的延長線上．與相交于點，與相交于點
求證：；
若，求的長；
如圖2，連接，求證：．
2．（2020九年級·全國·專題練習）在菱形中，射線從對角線所在的位置開始繞著點逆時針旋轉，旋轉角為，點在射線上，．
（1）當時，旋轉到圖①的位置，線段，，之間的數量關系是______；
（2）在（1）的基礎上，當旋轉到圖②的位置時，探究線段，，之間的數量關系，并證明；
（3）將圖②中的改為，如圖③，其他條件不變，請直接寫出線段，，之間的數量關系．

3．（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）數學老師在課堂上給出了一個問題，讓同學們探究．在中，，點D在直線上，將線段繞點A順時針旋轉得到線段，過點E作，交直線于點F．
（1）當點D在線段上時，如圖①，求證：；
分析問題：某同學在思考這道題時，想利用構造全等三角形，便嘗試著在上截取，連接，通過證明兩個三角形全等，最終證出結論：
推理證明：寫出圖①的證明過程：
探究問題：　　
（2）當點D在線段的延長線上時，如圖②：當點D在線段的延長線上時，如圖③，請判斷并直接寫出線段，，之間的數量關系；
拓展思考：
（3）在（1）（2）的條件下，若，，則______．
題型03 作平行線法
1．（2023貴州黔西模擬）如圖，△ABC是邊長為4的等邊三角形，點P在AB上，過點P作PE⊥AC，垂足為E，延長BC至點Q，使CQ＝PA，連接PQ交AC于點D，則DE的長為（　　）
A．1 B．1.8 C．2 D．2.5
2．（2024齊齊哈爾模擬）如圖，在等邊中，點為邊上任意一點，點在邊的延長線上，且．

(1)當點為的中點時（如圖1），則有______（填“”“”或“”）；
(2)猜想如圖2，與的數量關系，并證明你的猜想．
3．（2024·山西·模擬預測）綜合與實踐
【問題探究】（1）如圖①，在正方形中，，點E為上的點，，連接，點O為上的點，過點O作交于點M，交于點N，求的長度．
【類比遷移】（2）如圖②，在矩形中，，，連接，過的中點O作交于點M，交于點N，求的長度．
【拓展應用】（3）如圖③，李大爺家有一塊平行四邊形的菜地，記作平行四邊形．測得米，米，．為了管理方便，李大爺沿著對角線開一條小路，過這條小路的正中間，開了另一條垂直于它的小路（小路面積忽略不計）．直接寫出新開出的小路的長度．
題型04 作垂線法
1．（2024·山東青島·中考真題）如圖，將正方形先向右平移，使點B與原點O重合，再將所得正方形繞原點O順時針方向旋轉，得到四邊形，則點A的對應點的坐標是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·內蒙古赤峰·中考真題）如圖，正方形的頂點，在拋物線上，點在軸上．若兩點的橫坐標分別為（），下列結論正確的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024·重慶·中考真題）如圖，在正方形的邊上有一點，連接，把繞點逆時針旋轉，得到，連接并延長與的延長線交于點．則的值為（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·江蘇南通·中考真題）正方形中，點在邊，上運動（不與正方形頂點重合）．作射線，將射線繞點逆時針旋轉45°，交射線于點．

(1)如圖，點在邊上，，則圖中與線段相等的線段是___________；
(2)過點作，垂足為，連接，求的度數；
(3)在（2）的條件下，當點在邊延長線上且時，求的值．
類型二 角平分線模型
方法 角平分線+垂一邊 角平分線+分垂線
條件 已知BD平分∠ABC，PE⊥BC 已知BD平分∠ABC，PE⊥BD
圖示
方法 過點P作PF⊥AB于點F(作垂法) 延長PE,交AB于點F(延長法)
結論
題型01 角平分線+垂一邊
1．（2024·西藏·中考真題）如圖，在中，，以點B為圓心，適當長為半徑作弧，分別交，于點D，E，再分別以點D，E為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧在的內部相交于點P，作射線交于點F．已知，，則的長為 ．
2．（2023·四川·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，已知點，點，點在軸上，且點在點右方，連接，，若，則點的坐標為 ．

3．（2024·內蒙古·中考真題）如圖，，平分，．
(1)求證：四邊形是平行四邊形；
(2)過點B作于點G，若，請直接寫出四邊形的形狀．
題型02 角平分線+分垂線
1．（2021九年級·全國·專題練習）如圖1，在平面直角坐標系中，直線分別交x軸、y軸于兩點，且滿足，且是常數，直線平分，交x軸于點D．
（1）若的中點為M，連接交于點N，求證：；
（2）如圖2，過點A作，垂足為E，猜想與間的數量關系，并證明你的猜想．
2．（24-25八年級上·湖北省直轄縣級單位·階段練習）如圖1，在平面直角坐標系中，已知點，，且，滿足．
(1)求的面積；
(2)如圖1，以為斜邊構造等腰直角，當點在直線上方時，請直接寫出點的坐標；
(3)如圖2，已知等腰直角中，，，點是腰上的一點（不與，重合），連接，過點作，垂足為點．
①若是的角平分線，求證：；
②探究：如圖3，連接，當點在線段上運動時（不與，重合），的大小是否發生變化？若改變，求出它的最大值；若不改變，求出這個定值．
方法 角平分線+截線 角平分線+平行線
條件 已知BD平分∠ABC，點E是AB上一點 已知BD平分∠ABC，點P在BD上
圖示
方法 在BC上截取BF=BE,連接PF(截取法) 過點P作PE∥BC交AB于點E(平行法)
結論
題型03 角平分線+截線
1．（2024·內蒙古通遼·中考真題）【實際情境】
手工課堂上，老師給每個制作小組發放一把花折傘和制作花折傘的材料及工具．同學們認真觀察后，組裝了花折傘的骨架，粘貼了彩色傘面，制作出精美的花折傘．
【模型建立】
（1）如圖1，從花折傘中抽象出“傘形圖”．，．求證：．
【模型應用】
（2）如圖2，中，的平分線交于點．請你從以下兩個條件：
①；②中選擇一個作為已知條件，另一個作為結論，并寫出結論成立的證明過程．（注：只需選擇一種情況作答）
【拓展提升】
（3）如圖3，為的直徑，，的平分線交于點，交于點，連接．求證：．
2．（2024·河南信陽·一模）數學興趣小組利用角平分線構造全等模型開展探究活動，請仔細閱讀完成相應的任務．
活動1：用尺規作已知角的平分線、如圖1所示，則由，可得．
活動2：如圖2，在中，，是的平分線，在上截取，則．
完成以下任務：
(1)在活動1和2中，判定三角形全等的依據分別是________（填序號）；
① ② ③ ④ ⑤
(2)如圖3，在中，，是的兩條角平分線，且交于點P，試猜想與之間的數量關系，并說明理由；
(3)如圖4，在四邊形中，，，的平分線和的平分線恰好交于邊上的點P，若，，當有一個內角是時，請直接寫出的長：________．
題型04 角平分線+平行線
1．（2022·內蒙古鄂爾多斯·中考真題）如圖，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于點D，EC⊥OB，垂足為C．若EC＝2，則OD的長為（　　）
A．2 B．2 C．4 D．4+2
2．（2022·四川南充·中考真題）如圖，在中，的平分線交于點D，DE//AB，交于點E，于點F，，則下列結論錯誤的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·陜西咸陽·模擬預測）如圖，在四邊形中，連接，已知，，，，則（ ）
A． B．5 C． D．2
4．（2023·山東·中考真題）已知：射線平分為上一點，交射線于點，交射線于點，連接．

(1)如圖1，若，試判斷四邊形的形狀，并說明理由；
(2)如圖2，過點作，交于點；過點作，交于點．求證：．
【大招總結】遇到角平分線問題時，牢記以下做輔助線的口訣:
1）圖中有角平分線，可向兩邊做垂直； 2）圖中有角平分線，對折一看關系現；
3）角平分線加垂線，三線合一試試看；4）角平分線平行線，可得等腰三角形.
類型三 一線三等角模型
題型01 一線三垂直模型
已知 ∠ABC=∠ACE=∠CDE=90°，AC=CE ∠ABC=∠ACE=∠CDE=90°，AC=CE
圖示
結論
1．（2024·山東煙臺·中考真題）在等腰直角中，，，D為直線上任意一點，連接．將線段繞點D按順時針方向旋轉得線段，連接．
【嘗試發現】
（1）如圖1，當點D在線段上時，線段與的數量關系為________；
【類比探究】
（2）當點D在線段的延長線上時，先在圖2中補全圖形，再探究線段與的數量關系并證明；
【聯系拓廣】
（3）若，，請直接寫出的值．
2．（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）綜合與實踐：如圖1，這個圖案是3世紀我國漢代的趙爽在注解《周髀算經》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”，受這幅圖的啟發，數學興趣小組建立了“一線三直角模型”．如圖2，在中，，將線段繞點順時針旋轉得到線段，作交的延長線于點．

(1)【觀察感知】如圖2，通過觀察，線段與的數量關系是______；
(2)【問題解決】如圖3，連接并延長交的延長線于點，若，，求的面積；
(3)【類比遷移】在(2)的條件下，連接交于點，則______；
(4)【拓展延伸】在(2)的條件下，在直線上找點，使，請直接寫出線段的長度．
3．（2023·河南周口·三模）（1）問題發現：如圖1，在中，，將邊繞點C順時針旋轉得到線段，在射線上取點D，使得，線段與的數量關系是______；
（2）類比探究：如圖2，若，作，且，其他條件不變，寫出變化后線段與的數量關系，并給出證明；
（3）拓展延伸：如圖3，正方形的邊長為6，點E是邊上一點，且，把線段逆時針旋轉得到線段，連接，直接寫出線段的長．
4．（21-22九年級上·黑龍江佳木斯·期中）在中，，，直線經過點，且于，于．

(1)當直線繞點旋轉到圖1位置時，求證：；
(2)當直線繞點旋轉到圖2位置時，試問：、、有怎樣的等量關系？請寫出這個等量關系，并加以證明；
(3)當直線繞點旋轉到圖3位置時，、、之間的等量關系是___（直接寫出答案，不需證明）．
5．（2023洛陽市模擬）綜合與實踐
數學活動課上，老師讓同學們以“過等腰三角形頂點的直線”為主題開展數學探究．
(1)操作發現：如圖甲，在中，，且，直線l經過點A．小華分別過B、C兩點作直線l的垂線，垂足分別為點D、E．易證，此時，線段、、的數量關系為： ；
(2)拓展應用：
如圖乙，為等腰直角三角形，，已知點C的坐標為，點B的坐標為．請利用小華的發現直接寫出點A的坐標： ；
(3)遷移探究：
①如圖丙，小華又作了一個等腰，，且，她在直線l上取兩點D、E，使得，請你幫助小華判斷（1）中線段、、的數量關系是否變化，若不變，請證明；若變化，寫出它們的關系式并說明理由；
②如圖丁，中，，，點D、E在直線上，且，請直接寫出線段、、的數量關系．
題型02 一線三等角模型
已知 ∠D=∠ACB=∠E，AC=BC
圖示
結論
1．（2023·山東聊城·中考真題）如圖，在四邊形中，點E是邊上一點，且，．

(1)求證：；
(2)若，時，求的面積．
2．（2023·廣西·中考真題）如圖，是邊長為4的等邊三角形，點D，E，F分別在邊，，上運動，滿足．

(1)求證：；
(2)設的長為x，的面積為y，求y關于x的函數解析式；
(3)結合（2）所得的函數，描述的面積隨的增大如何變化．
3．（2024江蘇南京·模擬預測）已知，在中，，三點都在直線m上，且．

(1)如圖①，若，則與的數量關系為 ___________，與的數量關系為 ___________；
(2)如圖②，判斷并說明線段，與的數量關系；
(3)如圖③，若只保持，點A在線段上以的速度由點D向點E運動，同時，點C在線段上以的速度由點E向點F運動，它們運動的時間為．是否存在x，使得與全等？若存在，求出相應的t的值；若不存在，請說明理由．
4．（2023·湖北荊州·中考真題）如圖1，點是線段上與點，點不重合的任意一點，在的同側分別以，，為頂點作，其中與的一邊分別是射線和射線，的兩邊不在直線上，我們規定這三個角互為等聯角，點為等聯點，線段為等聯線．
(1)如圖2，在個方格的紙上，小正方形的頂點為格點、邊長均為1，為端點在格點的已知線段．請用三種不同連接格點的方法，作出以線段為等聯線、某格點為等聯點的等聯角，并標出等聯角，保留作圖痕跡；
(2)如圖3，在中，，，延長至點，使，作的等聯角和．將沿折疊，使點落在點處，得到，再延長交的延長線于，連接并延長交的延長線于，連接．
①確定的形狀，并說明理由；
②若，，求等聯線和線段的長（用含的式子表示）．
類型四 手拉手模型
常見模型種類：
等腰三角形
手拉手模型 等邊三角形
手拉手模型 等腰直角三角形
手拉手模型 正方形 手拉手模型
【小結】
1）頭頂頭，左手拉左手，右手拉右手，那么，頭左左≌頭右右.
2）左手拉左手等于右手拉右手，即BD=CE或GD=BE.
1．（2020·湖北鄂州·中考真題）如圖，在和中，，，，．連接、交于點，連接．下列結論：
①；②；③平分；④平分
其中正確的結論個數有（ ）個．
A．4 B．3 C．2 D．1
2．（2022·山東煙臺·中考真題）
(1)【問題呈現】如圖1，△ABC和△ADE都是等邊三角形，連接BD，CE．求證：BD＝CE．
(2)【類比探究】如圖2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．連接BD，CE．請直接寫出的值．
(3)【拓展提升】如圖3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．連接BD，CE．
①求的值；
②延長CE交BD于點F，交AB于點G．求sin∠BFC的值．
3．（2023·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）綜合與實踐
數學模型可以用來解決一類問題，是數學應用的基本途徑．通過探究圖形的變化規律，再結合其他數學知識的內在聯系，最終可以獲得寶貴的數學經驗，并將其運用到更廣闊的數學天地．

(1)發現問題：如圖1，在和中，，，，連接，，延長交于點．則與的數量關系：______，______；
(2)類比探究：如圖2，在和中，，，，連接，，延長，交于點．請猜想與的數量關系及的度數，并說明理由；
(3)拓展延伸：如圖3，和均為等腰直角三角形，，連接，，且點，，在一條直線上，過點作，垂足為點．則，，之間的數量關系：______；
(4)實踐應用：正方形中，，若平面內存在點滿足，，則______．
4．（2023·湖北黃岡·中考真題）【問題呈現】
和都是直角三角形，，連接，，探究，的位置關系．

(1)如圖1，當時，直接寫出，的位置關系：____________；
(2)如圖2，當時，（1）中的結論是否成立？若成立，給出證明；若不成立，說明理由．
【拓展應用】
(3)當時，將繞點C旋轉，使三點恰好在同一直線上，求的長．
類型五 夾半角模型
解題方法：1）過公共點作旋轉，2）截長補短的方法構造全等解題.
常見類型：
類型 正方形內含型半角 等腰直角三角形內含型半角
條件 正方形ABCD，∠EAF=45° ∠BAC=90°,AB=AC，∠EAF=45°
圖示
輔助線作法 延長BC至點G，使DE=GB,連接AG 過點B作BD⊥BC,且BD=EC,連接AD,DF
結論 1）旋轉全等 2）對稱全等 3）EF=DE+BF 1）旋轉全等 2）對稱全等 3）在Rt△DBF中， 即
【說明】
1)“半角”模型的核心識別條件是“共端點的等線段”和“共頂點的倍、半角”，也可以拓展到鄰邊相等且對角互補的四邊形中.
2) “半角”模型結論在證明過程中有兩次重要全等:一次是旋轉型全等:一次是對稱型全等.只有將兩次全等證明完畢，才能繼續向下推進.
1．（2024·四川宜賓·中考真題）如圖，正方形的邊長為1，M、N是邊、上的動點．若，則的最小值為 ．
2．（2024·四川樂山·中考真題）在一堂平面幾何專題復習課上，劉老師先引導學生解決了以下問題：
【問題情境】
如圖1，在中，，，點D、E在邊上，且，，，求的長．
解：如圖2，將繞點A逆時針旋轉得到，連接．
由旋轉的特征得，，，．
∵，，
∴．
∵，
∴，即．
∴．
在和中，
，，，
∴___①___．
∴．
又∵，
∴在中，___②___．
∵，，

∴___③___．
【問題解決】
上述問題情境中，“①”處應填：______；“②”處應填：______；“③”處應填：______．
劉老師進一步談到：圖形的變化強調從運動變化的觀點來研究，只要我們抓住了變化中的不變量，就能以不變應萬變．
【知識遷移】
如圖3，在正方形中，點E、F分別在邊上，滿足的周長等于正方形的周長的一半，連結，分別與對角線交于M、N兩點．探究的數量關系并證明．

【拓展應用】
如圖4，在矩形中，點E、F分別在邊上，且．探究的數量關系：______（直接寫出結論，不必證明）．

【問題再探】
如圖5，在中，，，，點D、E在邊上，且．設，，求y與x的函數關系式．

類型六 夾半角模型
3．（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）已知是等腰三角形，，，在的內部，點M、N在上，點M在點N的左側，探究線段之間的數量關系．

（1）如圖①，當時，探究如下：
由，可知，將繞點A順時針旋轉，得到，則且，連接，易證，可得，在中，，則有．
（2）當時，如圖②：當時，如圖③，分別寫出線段之間的數量關系，并選擇圖②或圖③進行證明．
4．（20-21九年級上·廣西南寧·期中）如圖①，四邊形是正方形，，分別在邊、上，且，我們稱之為“半角模型”，在解決“半角模型”問題時，旋轉是一種常用的方法，如圖①，將繞點順時針旋轉，點與點重合，連接、、．
(1)試判斷，，之間的數量關系；
(2)如圖②，點、分別在正方形的邊、的延長線上，，連接，請寫出、、之間的數量關系，并寫出證明過程．
(3)如圖③，在四邊形中，，，，點，分別在邊，上，，請直接寫出，，之間數量關系．
5．（2024南京市模擬預測）在等邊的兩邊、所在直線上分別有兩點、，為外一點，且，，．探究：當、分別在直線、上移動時，、、之間的數量關系及的周長與等邊的周長的關系．

(1)如圖1，當點、在邊、上，且時，、、之間的數量關系是　　；此時　　；
(2)如圖2，點、在邊、上，且當時，猜想（1）問的兩個結論還成立嗎？若成立請直接寫出你的結論；若不成立請說明理由．
(3)如圖3，當、分別在邊、的延長線上時，探索、、之間的數量關系如何？并給出證明．
類型六 對角互補模型
模型1 兩90°的等鄰邊對角互補模型
1.基礎類型
條件：如圖，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，CD＝CE
結論：①OC平分∠AOB，②OD＋OE＝OC，③.
【注意】已知角平分線、鄰邊相等（非對稱）和對角互補中的兩個，可推導出第三個.
2.模型引申
條件：如圖，已知∠DCE的一邊與AO的延長線交于點D，∠AOB＝∠DCE＝90°，CD＝CE]
提示：借助“8字模型”可推得∠ODC=∠CEF
結論：①OC平分∠AOB，②OE－OD＝OC，③.
模型2. 含120°、60°的等鄰邊對角互補模型
1.基礎類型
條件：如圖，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，CD＝CE.
結論：①OC平分∠AOB，②OD＋OE＝OC，③.
2.模型引申
條件：如圖，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，CD＝CE，∠DCE的一邊與BO的延長線交于點D，
結論：①OC平分∠AOB，②OD－OE＝OC，③.
1．（2024·甘肅·中考真題）【模型建立】
（1）如圖1，已知和，，，，．用等式寫出線段，，的數量關系，并說明理由．
【模型應用】
（2）如圖2，在正方形中，點E，F分別在對角線和邊上，，．用等式寫出線段，，的數量關系，并說明理由．
【模型遷移】
（3）如圖3，在正方形中，點E在對角線上，點F在邊的延長線上，，．用等式寫出線段，，的數量關系，并說明理由．
2．（20-21九年級上·廣西南寧·期中）如圖①，四邊形是正方形，，分別在邊、上，且，我們稱之為“半角模型”，在解決“半角模型”問題時，旋轉是一種常用的方法，如圖①，將繞點順時針旋轉，點與點重合，連接、、．
(1)試判斷，，之間的數量關系；
(2)如圖②，點、分別在正方形的邊、的延長線上，，連接，請寫出、、之間的數量關系，并寫出證明過程．
(3)如圖③，在四邊形中，，，，點，分別在邊，上，，請直接寫出，，之間數量關系．
3．（2024·江蘇揚州·二模）當幾何圖形中，兩個共頂點的角所在角度是公共大角一半的關系，我們稱之為“半角模型”，通常用“旋轉的觀點”看待圖形的幾何變換，使得兩個分散的角變換成為一個三角形，相當于構造出兩個三角形全等．
【問題初探】
（1）如圖1，在四邊形中，，，、分別是、邊上的點，且，求出圖中線段，，之間的數量關系．
①如圖1，從條件出發：將繞著點逆時針旋轉到位置，根據“旋轉的性質”分析與之間的關系，再通過全等的性質得到線段之間的數量關系，可證得結論．
【類比分析】
（2）如圖2，在四邊形中，，，，且，，，求的長．
【學以致用】
（3）如圖3，在四邊形中，，與互補，點、分別在射線、上，且．當，，時，求出的周長．
4．（23-24年級上·湖北黃石·期中）（1）特例探究：如圖①，在正方形中，E，F分別為，上的點，，探究，，之間的數量關系．小明是這么思考的：延長，截取，連接，易證，從而得到，再由“”證明，從而得出結論：__________________________．
（2）一般探究：如圖②，在四邊形中，，與互補，E，F分別是，上的點，且滿足，探究，，之間的數量關系．
（3）實際應用：如圖③，在四邊形中，，，，則四邊形的面積為 ．

類型七 其它模型
題型01 等邊三角形雞爪模型
條件 等邊 ABC，點D在 ABC內部 等邊 ABC，點D在 ABC外部
圖示
作法 將 ABD繞點A逆時針旋轉60°，得到 AEC，連接DE 將 ACD繞點A逆時針旋轉60°，得到 AEC，連接DE
結論
1．（2024連云港市模擬預測）實驗學校數學興趣小組對特殊三角形外一點與該三角形三個頂點所形成的線段數量關系展開探究：
(1)如圖①，已知等邊三角形邊的延長線上一點P，且滿足，求線段、、的數量關系，馬超同學一眼看出結果為，，你是否同意，請聰明的你說明理由；
(2)在探究過程中，小組同學們發現，當點P不在任意邊的延長線上時，所形成的圖形形似“雞爪”，于是興趣小組同學們對“雞爪”圖形的特點展開深入探究：如圖②，為等邊三角形，，（1）中的結論是否仍成立？小孫同學是這樣做的：首先將線段朝外作等邊三角形，連接，……，請沿著小孫同學的思路嘗試著走下去看看結論是否符合（1）中的結論；
(3)如圖③，“雞爪”圖形中，是等腰直角三角形，，，請簡述線段、、的數量關系；
(4)如圖④，“雞爪”圖形中，是等腰直角三角形，，，若，，請直接寫出的長．
題型02 婆羅摩及多模型
題目特征 共直角頂點的正方形或等腰直角三角形，出現中點. 共直角頂點的正方形或等腰直角三角形，出現垂直.
條件 四邊形ABCD、CEFG為正方形，連接BE、DG，I、C、H三點共線,點I為DG中點 四邊形ABCD、CEFG為正方形，連接BE、DG，I、C、H三點共線,CH⊥BE
圖示
作法 延長IC到點P，使PI=IC，連接PG 分別過點D、G作DM⊥CI與點M，NG⊥CI于點N
結論 CH⊥BE(知中點得垂直) BE=2IC DI=IG(知垂直得中點) BE=2IC
1．（2023滁州市模擬預測）婆羅摩笈多（Brahmagupta）約公元598年生，約660年卒，在數學、天文學方面有所成就． 婆羅摩笈多是印度印多爾北部烏賈因地方人，原籍可能為巴基斯坦的信德． 婆羅摩笈多的一些數學成就在世界數學史上有較高的地位． 例如下列模型就被稱為“婆羅摩笈多模型”：如圖1，2，3，△ABC中，分別以AB，AC為邊作Rt△ABE和Rt△ACD，AB＝AE，AC＝AD，∠BAE＝∠CAD＝90°，則有下列結論：
①圖1中S△ABC＝S△ADE；
②如圖2中，若AM是邊BC上的中線，則ED＝2AM；
③如圖3中，若AM⊥BC，則MA的延長線平分ED于點N．
（1）上述三個結論中請你選擇一個感興趣的結論進行證明，寫出證明過程；
（2）能力拓展：將上述圖形中的某一個直角三角形旋轉到如圖4所示的位置：△ABC與△ADE均為等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，連接BD，CE，若F為BD的中點，連接AF，求證：2AF＝CE．
題型03 平行8字模型
1．（2023·江蘇揚州·二模）【閱讀材料】
教材習題 如圖，、相交于點，是中點，，求證：是中點．
問題分析 由條件易證，從而得到，即點是的中點
方法提取 構造“平行字型”全等三角形模型是證明線段相等的一種常用方法

請運用上述閱讀材料中獲取的經驗和方法解決下列問題．
【基礎應用】已知中，，點在邊上，點在邊的延長線上，連接交于點．
(1)如圖1，若，，求證：點是的中點；
(2)如圖2，若，，探究與之間的數量關系；
【靈活應用】如圖3，是半圓的直徑，點是半圓上一點，點是上一點，點在延長線上，，，，當點從點運動到點，點運動的路徑長為______，掃過的面積為______．
2．（2023·吉林長春·三模）【閱讀理解】構造“平行八字型”全等三角形模型是證明線段相等的一種方法，我們常用這種方法證明線段的中點問題．
例如：如圖，是邊上一點，是的中點，過點作，交的延長線于點，則易證是線段的中點．

【經驗運用】
請運用上述閱讀材料中所積累的經驗和方法解決下列問題．

（1）如圖1，在正方形中，點在上，點在的延長線上，且滿足，連接交于點．
求證：①是的中點；
②CG與BE之間的數量關系是：____________________________；
【拓展延伸】
（2）如圖2，在矩形中，，點在上，點在的延長線上，且滿足，連接交于點．探究和之間的數量關系是：____________________________；

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