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2.5三元一次方程組及其解法
學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________
一、單選題
1．已知方程組的解，使成立，則的值是( )
A．0 B． C．1 D．2
2．購買鉛筆支，作業本本，圓珠筆支共需元；購買鉛筆支，作業本本，圓珠筆支，共需元，則購買鉛筆支，作業本本，圓珠筆支共需（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
3．三元一次方程組消去未知數后，得到的二元一次方程組是（ ）
A． B． C． D．
4．利用兩塊大小一樣的長方體木塊測量一張桌子的高度，首先按圖①方式放置，再交換兩木塊的位置，按圖②方式放置，測量的數據如圖，則桌子的高度是（ ）
A．73cm B．74cm C．75cm D．76cm
5．設“■▲●”分別表示三種不同的物體，如圖所示，前兩架天平保持平衡，若要使第三架天平也平衡，則“？”處應該放“●”（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
6．如圖，“●、■、▲”分別表示三種不同的物體，已知前兩架天平保持平衡，要使第三架也保持平衡，如果在“？”處只放“■”，那么應放“■”（ ）

A．5個 B．4個 C．3個 D．2個
7．《九章算術》是我國古代著名的數學專著，其“方程”章中給出了“遍乘直除”的算法解方程組．比如，對于方程組，將其中數字排成長方形形式，然后執行如下步驟（如圖）；第一步，將第二行的數乘以3，然后不斷地減第一行，直到第二行第一個數變為0；第二步，對第三行做同樣的操作，其余步驟都類似．其本質就是在消元．那么其中的a，b的值分別是（ ）
A．24，4 B．17，4 C．24，0 D．17，0
8．下列不是三元一次方程組的是（ ）
A． B． C． D．
9．在等式中，當時，；當時，；當時，，則的值為（ ）
A．1 B．4 C．9 D．16
10．解方程組，最簡便的消元方法是（ ）
A．先消去x B．先消去y C．先消去z D．先消去常數項
11．三元一次方程組消去一個未知數后，所得二元一次方程組是（ ）
A． B． C． D．
12．已知，且，則的值為（ ）
A． B． C．－12 D．12
二、填空題
13．方程組的解是 ．
14．方程組的解為 ．
15．有甲、乙、丙三種貨物，若購買甲3件、乙2件、丙1件，則需525元；若購買甲2件、乙3件、丙4件，則需675元；若購買甲、乙、丙各1件，則需 元．
16．從A地到B地騎車要走上坡、下坡、平路三個路段，全程．某人上坡每小時行，下坡每小時行，平路每小時行．如圖，他從地到地用了，從地到地用了，則從A地到B地上坡、下坡、平路的路程分別是 ．
17．方程組的解是 ．
三、解答題
18．解下列方程組．
(1)；
(2)．
19．解方程組：
20．三兄弟帶著西瓜到農貿市場去賣：老大帶了個，老二帶了個，老三帶了個．上午他們按同一價格賣了若干個西瓜（西瓜按整個出售，均大于等于個，且均有剩余），過了中午，怕西瓜賣不完，他們降價把所有剩余的西瓜仍按同一價格全部賣掉了，回家后，他們清點賣瓜款后發現，三人賣瓜所得的錢數一樣多，每人都賣得元，問他們的西瓜到底上、下午各按什么價格賣出的？
21．設線段x、y、z滿足，求x、y、z的值．
22．解下列三元一次方程組：
(1)
(2)
23．小明到某服裝商場進行社會調查，了解到該商場為了激勵營業員的工作積極性，實行“月總收入＝基本工資+計件獎金”的方法，并獲得如下信息：
營業員 小麗 小華
月銷售件數（件） 200 150
月總收入（元） 1400 1250
假設營業員的月基本工資為x元，銷售每件服裝獎勵y元．
(1)求x、y的值；
(2)如果在商場購買甲3件，乙2件，丙1件共需315元；如果購買甲1件，乙2件，丙3件共需285元．某顧客想購買甲、乙、丙各一件共需多少元？
24．在等式中，當時，；當時，；當與時，y的值相等，求的值．
《2.5三元一次方程組及其解法》參考答案
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B A D C A A B D B
題號 11 12
答案 A C
1．D
【分析】先利用方程組得出用含m的代數式表示x、y，再把x、y的值代入到，解方程即可得到m的值．
【詳解】解：由題意可知，①，②，
由①+②并化簡，可得，
由②×2-①并化簡，可得，
將，的值代入，可解得．
故選：D．
【點睛】本題主要考查了解三元一次方程組的知識，解題關鍵是熟練掌握加減消元法和代入消元法．
2．B
【分析】設鉛筆的單件為元，作業本的單價為元，圓珠筆的單價為元，根據題意列方程解方程即可解答．
【詳解】解：設鉛筆的單價為元，作業本的單價為元，圓珠筆的單價為元，購買鉛筆支，作業本本，圓珠筆支共需元，
根據題意可得，
由②①得，，
由②①得，，
由⑤④③得，，
解得：，
故選：B．
【點睛】本題考查了利用三元一次不定方程組解實際問題的運用，熟練三元一次方程組的解法是解題的關鍵．
3．A
【分析】根據解三元一次方程組的方法可以解答本題．
【詳解】解：
得，，
得：，
∴三元一次方程組消去未知數后，得到的二元一次方程組是，
故選A．
【點睛】本題考查解三元一次方程組，解題的關鍵是明確題意，會用消元法解方程組．
4．D
【分析】設桌子的高度為hcm，第一個長方體的長為xcm，第二個長方體的寬為ycm，建立關于h，x，y的方程組求解．
【詳解】解：設桌子的高度為hcm，第一個長方體的長為xcm，第二個長方體的寬為ycm，
由第一個圖形可知桌子的高度為：h-y+x=80，
由第二個圖形可知桌子的高度為：h-x+y=72，
兩個方程相加得：（h-y+x）+（h-x+y）=152，
解得：h=76cm．
故選 D．
【點睛】此題主要考查了方程思想、整體思想的應用及觀察圖形的能力．關鍵是看懂圖的意思，找出圖中所表示的等量關系．
5．C
【分析】設■，▲，●，由題可得，則可求解．
【詳解】解：設■，▲，●，
，
，
又，
，
，
，
故選：C．
【點睛】題目主要考查三元一次方程的應用，理解題意，列出方程得出未知數的關系是解題關鍵．
6．A
【分析】可設●、■、▲分別為x，y，z，由（1）（2）的等量關系可列出方程，用y分別表示出x和z即可得出結論．
【詳解】解：設●、■、▲分別為x，y，z，由（1）（2）可知：
，
解得：，
∴，
即■的個數為5個．
故選：A．
【點睛】本題主要考查方程組的應用，根據題意列出符合條件的方程組是解題的關鍵．
7．A
【分析】根據題意逐步求解三元一次方程即可
【詳解】解：
由，得，
由，得，
由，得，
∴，
由，得，
由，得，
∴，
故選：A．
【點睛】本題考查解三元一次方程組，解題的關鍵是根據題干信息將方程組中的數字與圖一一對應．
8．B
【分析】本題主要考查了三元一次方程組的定義，根據三元一次方程組必須滿足“三元”和“一次”兩個要素來求解．
【詳解】解：A、方程組中含有三個未知數，且含未知數的項的次數都是一次，是三元一次方程組，不符合題意；
B、方程組中含有三個未知數，但含未知數的項的最高次數是2，不是三元一次方程組，符合題意．
C、方程組中含有三個未知數，且含未知數的項的次數都是一次，是三元一次方程組，不符合題意；
D、方程組中含有三個未知數，且含未知數的項的次數都是一次，是三元一次方程組，不符合題意；
故選：B．
9．D
【分析】本題主要考查三元一次方程組，把當時，；當時，；當時，代入中，解出的值即可求出結果．
【詳解】解：根據題意：，
解得：，
∴，
故選：D．
10．B
【解析】略
11．A
【分析】本題考查了三元一次方程組以及加減消元法，運用加減消元法消去c即可得到答案，熟練掌握加減消元法是解題的關鍵．
【詳解】解：，
②﹣①，得，即④
②×3+③，得，即⑤
由④⑤可知，A選項正確，
故選：A．
12．C
【分析】根據代入法解三元一次方程組即可求解．
【詳解】解：，且，
由①得，,
將代入②得,
即,
,
故選C．
【點睛】本題考查了解三元一次方程組，掌握代入法是解題的關鍵．
13．
【分析】直接利用代入消元法求解即可．
【詳解】解：，
由②得，④，
由③得，⑤，
將④⑤代入①得，，
解得：，
將代入④得，，
將代入⑤得，，
∴方程組的解為，
故答案為：．
【點睛】本題考查了解三元一次方程組，觀察方程組，選用合適的方法解方程組是解題的關鍵．
14．
【分析】根據三元一次方程組的解法求解即可．
【詳解】解：
由①得：④，
由③得：⑤，
把④和⑤代入到②得：，解得，
把代入④得：，
把代入⑤得：，
∴方程組的解為，
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了解三元一次方程組，熟知解三元一次方程組的方法是解題的關鍵．
15．240
【分析】本題考查三元一次方程組的應用．設購甲、乙、丙三種貨物各1件，分別需要元，元，元，根據題意列出三元一次方程組，再利用加減法求出的值即可．
【詳解】解：設購甲、乙、丙三種貨物各1件，分別需要元，元，元，
根據題意，得，
得：，
整理，得．
∴購買甲、乙、丙各1件，則需240元；
故答案為：240．
16．、、
【分析】本題考查三元一次方程組的應用，設地到地，上坡、下坡、平路分別是千米，千米，千米，根據“全程，地到地用了，從地到地用了”分別列出方程，組成方程組，再求解即可．解題的關鍵是找出題目中的等量關系，列出方程組，用代入消元法或加減消元法求出方程組的解．
【詳解】解：設地到地，上坡、下坡、平路分別是千米，千米，千米，根據題意得：
解得：，
答：從A地到B地上坡、下坡、平路的路程分別是、、．
故答案為：、、．
17．
【分析】先計算得：，然后再用，，，進行計算即可解答.
【詳解】解：，
得，，
即，
得，；
得，；
得，，
∴原方程組的解為：，
故答案為：.
【點睛】本題考查了解三元一次方程組，先計算得：是解題的關鍵.
18．(1)
(2)
【分析】（1）用代入消元法把三元一次方程組化簡為二元一次方程組求解即可；
（2）用加減消元法把三元一次方程組化簡為二元一次方程組求解即可．
【詳解】（1）解：
把①代入②得：，
化簡得：，
把①代入③得：，
化簡得：，
解得：，
把代入④得：，
把，代入①得：，
∴原方程的解為
（2）解：
得：，
得：，
把代入②得：，
把，代入①得：，
∴原方程的解為
【點睛】本題考查了解三元一次方程組，掌握加減消元法、代入消元法是解題關鍵．
19．
【分析】利用加減法消掉一個未知數，將三元一次方程組轉化為二元一次方程組，再進行解答．
【詳解】由得：④
由得：⑤
由得：
將代入④得：
將，代入①得：
所以，原方程組的解為．
【點睛】本題考查了解三元一次方程組，需要對三元一次方程組的定義有一個深刻的理解．方程組有三個未知數，每個方程的未知項的次數都是1，并且一共有三個方程，像這樣的方程組，叫三元一次方程組．通過解方程組，了解把“三元”轉化為“二元”、把“二元”轉化為“一元”的消元的思想方法，從而進一步理解把“未知”轉化為“已知”和把復雜問題轉化為簡單問題的思想方法．解三元一次方程組的關鍵是消元．解題之前先觀察方程組中的方程的系數特點，認準易消的未知數，消去未知數，得到由另外兩個未知數組成的二元一次方程組．
20．上午每個西瓜賣 元，下午每個西瓜賣 元
【分析】設老大、老二、老三上午賣掉的西瓜個數分別為 ，，，（，，均為正整數），下午賣掉的西瓜個數依次為 ，，．上午每個西瓜賣 元，下午每個西瓜賣 元．根據題意可得出關于x、y、z、m、n的方程組，結合，， 均為整數，且 ，以及整數的特性討論求解即可．
【詳解】設老大、老二、老三上午賣掉的西瓜個數分別為 ，，，（，，均為正整數），下午賣掉的西瓜個數依次為 ，，．上午每個西瓜賣 元，下午每個西瓜賣 元．（）
則 ，
，
，
，， 均為整數，且 ，
， 都是正整數，可設 ，（ 為正整數），
，．
，
，，，．
，
解得 ；
上午每個西瓜賣 元，下午每個西瓜賣 元．
【點睛】本題考查了方程組的應用，正確理解題意、結合所設相關未知數為正整數討論求解是關鍵．
21．．
【分析】設＝＝＝k，從而可得x+y＝2k，z+x＝3k，y+z＝4k，進而可得x+y+z＝k，然后根據x+y+z＝18，求出k的值，從而求出x+y＝8，z+x＝12，y+z＝16，最后進行計算即可解答．
【詳解】解：設＝＝＝k，
∴x+y＝2k，z+x＝3k，y+z＝4k，
∴x+y+z+x+y+z＝9k，
∴2x+2y+2z＝9k，
∴x+y+z＝k，
∵x+y+z＝18，
∴k＝18，
∴k＝4，
∴x+y＝8，z+x＝12，y+z＝16，
∴z＝10，y＝6，x＝2，
∴原方程組的解為：．
【點睛】本題考查解三元一次方程組，解題的關鍵是令＝＝＝k，并求出k值．
22．(1)
(2)
【詳解】5.（1）
①＋②，得4x＋z＝5，④
③＋④，得5x＝10，解得x＝2
把x＝2代入①，得2×2－y＝4，解得y＝0
把x＝2代入③，得2－z＝5，解得z＝－3
所以原方程組的解為．
（2）
①＋②，得x＋z＝2，④
②＋③，得5x－8z＝36，⑤
④×5－⑤，得13z＝－26，解得z＝－2
把z＝－2代入④，得x＝4
把x＝4，z＝－2代入②，得y＝0
所以原方程組的解是．
23．(1)x的值為800，y的值為3
(2)購買一件甲、一件乙、一件丙共需150元
【分析】（1）通過理解題意可知此題存在兩個等量關系，即小麗的基本工資+提成=1400元，小華的基本工資+提成=1250元，列方程組求解即可；
（2）理解題意可知，計算出甲、乙、丙各購買4件共多少錢，即可求解．
【詳解】（1）解：設營業員的基本工資為x元，買一件的獎勵為y元．
由題意得，
解得，
即x的值為800，y的值為3；
（2）解：設一件甲為x元，一件乙為y元，一件丙為z元．
則可列方程組：，
將兩等式相加得4x+4y+4z=600，則x+y+z=150，
答：購買一件甲、一件乙、一件丙共需150元．
【點睛】解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據題目給出的條件，找出合適的等量關系，列出方程組，再求解．
24．37
【分析】由當與時，y的值相等，得出a和b的關系，再將x與y的2對值代入等式，得出關于a，b，c的方程組求解即可．
【詳解】解：∵當與時，y的值相等，
∴，即，
把當時，；當時，代入等式得
，
①-②得：，即，
將代入③得：，
將代入①得：，
∴，
∴．
【點睛】此題考查了解三元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．
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