資源簡介

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2.1二元一次方程
學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________
一、單選題
1．某社團計劃購買一些籃球和足球，已知籃球單價是120元，足球單價是150元．若該社團用2400元購買這兩種球（籃球、足球都購買）且2400元恰好用完，則該社團共有幾種購買方案（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．我們知道方程組的解是，現給出另一個方程組，它的解是（ ）
A． B． C． D．
3．若方程是關于、的二元一次方程，則的值為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．已知是方程的一個解，那么的值是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
5．某地突發地震，為了緊急安置名地震災民，需要搭建可容納人或人的帳篷，若所搭建的帳篷恰好既不多也不少能容納這名災民，則不同的搭建方案有（ ）
A．種 B．種 C．種 D．種
6．已知是關于x，y的二元一次方程的解，則代數式的值是（ ）
A．14 B．11 C．7 D．4
7．若方程是二元一次方程，則“ ”可以表示為（ ）
A． B． C． D．
8．如果是關于x，y的二元一次方程的解，那么a的值為（　　）
A． B． C．0 D．1
9．已知是方程的解，則m的值為（ ）
A．7 B． C．1 D．
10．方程的非負整數解的個數是（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
11．已知方程化簡后是關于x，y的二元一次方程，則m，n的取值范圍分別是（ ）
A． B． C． D．
12．“五一”長假前某學校舉行了一年一度的文化藝術節，為表彰?！肮旁娫~吟誦社團”的同學，特購買了單價為5元的筆記本和單價為4元的簽字筆對他們進行獎勵，正好花費64元（兩種都要買），則購買的方案共有（ ）
A．2種 B．3種 C．4種 D．5種
二、填空題
13．若是關于，的二元一次方程，則 ．
14．二元一次方程的正整數解有 ．
15．若關于x的方程是二元一次方程，則 ．
16．寫出一個解是的二元一次方程組： ．
17．的正整數解為 ．
三、解答題
18．下列方程中哪些是二元一次方程？
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．
19．學校組織夏令營活動，需要給52名男生安排宿舍，現有4人間和6人間兩種規格的宿舍，在不造成資源浪費的情況下，共有幾種分配方案？請列舉出所有分配方案．
20．【閱讀理解】我們知道方程2x+3y＝12有無數個解，但在實際問題中往往只需求出其正整數解．
例如：由2x+3y＝12，得：（x、y為正整數）．
要使為正整數，則為正數可知：x為3的倍數，從而x＝3，代入．
所以2x+3y＝12的正整數解為．
(1)【類比探究】請根據材料求出方程3x+2y＝8的正整數解．
(2)【拓展應用】把一根長20米的鋼管截成2米長和3米長兩種規格的鋼管，在不造成浪費的情況下，共有幾種截法？
21．若方程是關于，的二元一次方程，求的值．
22．已知方程與方程有一個相同的解，你能求出的值嗎？
23．是否存在m，使方程是關于x，y的二元一次方程？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．
24．小明用20元錢去買飲料，商店只有可樂和奶茶，已知可樂2元一杯，奶茶3元一杯．如果20元錢剛好用完，有幾種購買方式？每種方式能買可樂和奶茶各多少杯？
《2.1二元一次方程》參考答案
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B A C C B C D A B
題號 11 12
答案 D B
1．C
【分析】本題考查二元一次方程的應用，解題的關鍵是根據題意找到等量關系式．根據題意，設購買了個籃球，購買了個足球，根據題意，列出方程，分類討論即可．
【詳解】解：根據題意，設購買了個籃球，購買了個足球，
，
整理得：且，為正整數，
當時，；
當時，；
當時，；
綜上所述，該社團共有3種購買方案．
故選：C．
2．B
【分析】根據題意被求方程組中即相當于原方程組中x、被求方程組中即相當于原方程組中的y，據此可得關于x、y的新方程組，解之可得．
【詳解】解：根據題意知，
解得：，
故選：B．
【點睛】本題主要考查二元一次方程組的解，解題的關鍵是根據已知方程組和所求方程組間的聯系，并據此得出關于x、y的新方程組．
3．A
【分析】根據二元一次方程的定義列出，的方程求解．
【詳解】解：方程是關于、的二元一次方程．
，
，
．
故選：．
【點睛】本題考查二元一次方程的定義，根據定義，列出關于m,n的方程組是求解本題的關鍵．
4．C
【分析】將方程的解代入原方程，可求出的值．
【詳解】解：∵是方程的一個解，
∴，
解得，
故選：C．
【點睛】本題考查了已知方程的解求參數的問題，可將方程的解代入原方程求參數的值，熟知使二元一次方程兩邊值相等的未知數的值即為方程的解是解答本題的關鍵．
5．C
【分析】根據題意，列出滿足題意的方程，求方程的非負整數解即可．
【詳解】解：設搭建可容納人的帳篷個，可容納人的帳篷個，
依題意得：，
又，均為自然數，
或或或，
不同的搭建方案有種．
故選：．
【點睛】本題考查二元一次方程解個數的求解，熟練掌握二元一次方程解得定義是解題的關鍵．
6．B
【分析】本題考查了二元一次方程的解，代數式求值，整體代入的思想是解題的關鍵．把和的值代入方程即可求出與的關系式，然后再整體代入計算即可．
【詳解】解：根據題意，把代入，
得
∴
故選：B．
7．C
【分析】根據二元一次方程的定義（含有兩個未知數，并且所含未知數的項的次數都是1的方程叫做二元一次方程）即可得．
【詳解】解：A、只含有一個未知數，不是二元一次方程，則此項不符合題意；
B、中的是分式，不是二元一次方程，則此項不符合題意；
C、是二元一次方程，則此項符合題意；
D、中的次數是2，不是二元一次方程，則此項不符合題意；
故選：C．
【點睛】本題考查了二元一次方程的定義，熟記定義是解題關鍵．
8．D
【分析】把x與y的值代入方程計算即可求出a的值．
【詳解】解：把代入方程得：，
解得：，
故選：D．
【點睛】此題考查了二元一次方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數的值．
9．A
【分析】把代入計算即可．
【詳解】∵是方程的解，
∴
解得：，
故選：A．
【點睛】本題考查二元一次方程的解，理解方程的解是解題的關鍵．
10．B
【分析】把x看作已知數表示出y，確定出非負整數x與y的值即可．
【詳解】解：方程，
解得：，
當時，；時，，
則二元一次方程的非負整數解有2個．
故選：B．
【點睛】此題考查了二元一次方程的解，用x表示出y是解本題的關鍵．
11．D
【分析】本題考查二元一次方程的概念，理解含有兩個未知數，含未知數的項的次數最高為1的整式方程為二元一次方程是解題關鍵．
根據二元一次方程的定義進行解答即可．
【詳解】解：方程可化為，
∵方程是關于、的二元一次方程，
∴，
∴，
故選：D．
12．B
【分析】設購買筆記本x本，簽字筆y支．根據題意列方程．整理得．根據x、y的實際意義確定方程的解即可．
【詳解】設購買筆記本x本，簽字筆y支．根據題意，
得．
整理得．
∵x，y為正整數，
∴當時，；當時，；當時，．
∴有3種購買方案．
故選：B．
【點睛】此題考查了二元一次方程的實際應用，二元一次方程的解，正確理解題意列得方程及確定方程的整數解是解題的關鍵．
13．2
【分析】根據二元一次方程的定義，方程有兩個未知數，那么未知數的系數不能為0，求出k的取值范圍．
本題主要考查了二元一次方程的定義，二元一次方程必須符合以下三個條件：（1）方程中只含有2個未知數；（2）含未知數項的最高次數為一次；（3）方程是整式方程．
【詳解】解：由題意知：，，，
解得，
故答案為：2．
14．，
【分析】將x看做已知數求出y，即可確定出正整數解．
【詳解】解：方程，
解得：，
當時，；時，，
則方程的正整數解為 ,
故答案為：，．
【點睛】考查解二元一次方程，掌握二元一次方程組正整數解的概念是解題的關鍵．
15．
【分析】直接利用二元一次方程的定義進而分析得出答案．
【詳解】解：根據題意得，且，
所以．
故答案為：．
【點睛】此題主要考查了二元一次方程的定義，正確把握定義是解題關鍵．
16．（答案不唯一）
【分析】根據，列出方程組即可．
【詳解】解：根據題意得：，
故答案為：（答案不唯一）．
【點睛】此題考查了二元一次方程組的解，方程組的解即為能使方程組中兩方程成立的未知數的值．
17．
【分析】本題是求不定方程的整數解，先將方程做適當變形，然后列舉出適合條件的所有整數值，再求出另一個未知數的值．
要求二元一次方程的正整數解，首先將方程做適當變形，確定其中一個未知數的取值范圍，分析解的情況．
【詳解】解：由已知，得．
要使都是正整數，必須滿足：，是3的倍數．
根據以上兩個條件可知，合適的只能是．
故答案為：．
18．（1）（5）
【分析】本題考查二元一次方程的定義，含有兩個未知數，且含未知數的項的次數是1的整式方程是二元一次方程，逐個判斷即可．
【詳解】解：（1）方程是二元一次方程；
（2）方程中的項的次數為2，所以該方程不是二元一次方程；
（3）方程中的項的次數為2，所以該方程不是二元一次方程；
（4）方程不是整式方程，所以該方程不是二元一次方程；
（5）方程是二元一次方程．
綜上所述，（1）；（5）是二元一次方程．
19．共5種分配方案，第一種：13間4人間；第二種：10間4人間，2間6人間；第三種：7間4人間，4間6人間；第四種：4間4人間，6間6人間；第五種：1間4人間，8間6人間
【分析】本題考查二元一次方程的實際應用，設分配4人間x間，6人間y間，根據一共有52人，列出二元一次方程，再根據為非負整數，即可解答．
【詳解】解：設分配4人間x間，6人間y間，根據題意：
，即，
解得：或或或或，
答：共5種分配方案，第一種：13間4人間；第二種：10間4人間，2間6人間；第三種：7間4人間，4間6人間；第四種：4間4人間，6間6人間；第五種：1間4人間，8間6人間．
20．(1)
(2)共有3種截法
【分析】（1）根據二元一次方程的解得定義求出即可；
（2）設截成2米長的x段，截成3米長的y段，則根據題意得：2x＋3y＝20，其中x、y均為自然數，解該二元一次方程即可．
【詳解】（1）解：由，得：（x，y為正整數），
要使為正整數，則為整數可知：x為2的倍數，
從而，代入，
所以方程的正整數解為．
（2）解：設截成2米長的鋼管x段，3米長的鋼管y段，
依題意，得：，
∴，
又∵x，y均為正整數，
∴，，，
∴共有3種截法．
【點睛】本題考查了二元一次方程的解的應用，能靈活運用知識點求出特殊解是解此題的關鍵．
21．5
【分析】根據二元一次方程的定義，列出關于，的方程或不等式，求出，的值，代入所求代數式進行計算即可．
【詳解】根據題意，得
，
．
【點睛】本題主要考查了二元一次方程的定義，根據二元一次方程的定義列出關于，的方程或不等式是解本題的關鍵．
22．1
【分析】本題考查同解方程、二元一次方程組的解．把相同的解分別代入兩個方程，求出m、n的值，再將m、n的值代入即可．
【詳解】解：把代入，得；
把代入，得．
∴．
故答案為：1．
23．存在，
【詳解】解：存在．
∵方程是關于x，y的二元一次方程，
∴，，，解得．
故當時，方程是關于x，y的二元一次方程．
24．有4種購買方式：方式1：買10杯可樂；方式2：買7杯可樂，2杯奶茶；方式3：買4杯可樂，4杯奶茶;方式4：買1杯可樂，6杯奶茶．
【分析】本題主要考查二元一次方程的應用，設購買可樂x杯，奶茶y杯，根據總價=單價×數量，即可得出關于x，y的二元一次方程，結合x，y均為正整數即可得出各購買方案；
【詳解】解：設買可樂和奶茶分別為x杯、y杯．
根據題意，得，
所以.
要使x為非負整數，y的取值必是偶數，且，
所以；
把y的值分別代入，得
，，，
故有4種購買方式：
方式1：買10杯可樂；
方式2：買7杯可樂，2杯奶茶；
方式3：買4杯可樂，4杯奶茶；
方式4：買1杯可樂，6杯奶茶．
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