資源簡介

絕密★啟用前
南通市海門區(qū)東洲國際學校2025學年度九年級三月份第一次月考測試卷
數學·試題卷
試卷類型：A卷
注意事項：
考生在答題前請認真閱讀本注意事項；
1．本試卷共8頁，滿分為150分，考試時間為120分鐘．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．
2．答題前，請務必將自己的姓名、考試證號用0.5毫米黑色字跡的簽字筆填寫在試卷及答題卡上指定的位置．
3．答案必須按要求填涂、書寫在答題卡上，在試卷、草稿紙上答題一律無效．
4．作弊者，本卷按0分處理．
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1. 的相反數的倒數是（ ）
A. B. C. D.
2. 在平面直角坐標系中，點所在的象限是（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 下圖是由一個長方體和一個圓錐組成幾何體，它的主視圖是（ ）
A. B. C. D.
4. 關于x的不等式的解集如圖所示，那么a的值是（ ）
A. B. C. 0 D. 2
5. 下列計算結果正確的是（ ）
A. B. C. D.
6. 如圖，等腰直角三角形中，，以點C為圓心畫弧與斜邊相切于點D，交于點E，交于點F，則圖中陰影部分的面積是（ ）
A B. C. D.
7. 小明同學利用計算機軟件繪制函數（a、b為常數）圖象如圖所示，由學習函數的經驗，可以推斷常數a、b的值滿足（ ）
A. ， B. ， C. ， D. ，
8. 中國古代數學著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一段記載：“ 三百七十八里關，初健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關”其大意是：有人要去某關口，路程里，第一天健步行走，從第二天起，由于腳痛，每天走的路程都為前一天的一半， 一共走了六天才到達目的地．則此人第三天走的路程為（ ）
A 里 B. 里 C. 里 D. 里
9. 已知二次函數（為常數）的圖象與軸有交點，且當時，隨的增大而增大，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
10. 如圖，矩形ABCD中，BD為對角線，將矩形ABCD沿BE、BF所在直線折疊，使點A落在BD上的點M處，點C落在BD上的點N處，連結EF．已知，則EF的長為（ ）
A. 3 B. 5 C. D.
二、填空題（本大題共8小題，第11~12題每小題3分，第13~18題每小題4分，共30分）
11. 近幾年來，我國經濟規(guī)模不斷擴大，綜合國力顯著增強．2019年我國國內生產總值約為991000億元，則數991000用科學記數法可表示為______．
12. 分解因式：x2－9＝______．
13. 在一個布袋里放有1個白球和2個紅球，它們除顏色外其余都相同，從布袋里摸出1個球，記下顏色后放回，攪勻，再摸出1個球．將2個紅球分別記為紅Ⅰ，紅Ⅱ．兩次摸球的所有可能的結果如表所示，
第二次 第一次 白 紅Ⅰ 紅Ⅱ
白 白，白 白，紅Ⅰ 白，紅Ⅱ
紅Ⅰ 紅Ⅰ，白 紅Ⅰ，紅Ⅰ 紅Ⅰ，紅Ⅱ
紅Ⅱ 紅Ⅱ，白 紅Ⅱ，紅Ⅰ 紅Ⅱ，紅Ⅱ
則兩次摸出的球都是紅球的概率是_____．
14. 將直線向上平移3個單位長度，平移后直線的解析式為______．
15. 在平面直角坐標系中，已知A(6，3)、B(6，0)兩點，以坐標原點O為位似中心，相似比為，把線段AB縮小后得到線段，則的長度等于____________．
16. 已知四邊形是矩形，點是矩形的邊上的點，且．若，，則的長是___．
17. 如圖，在中，，，，若是邊上的動點，則的最小值為______．
18. 如圖①，在中，，點E是邊的中點，點P是邊上一動點，設．圖②是y關于x的函數圖象，其中H是圖象上的最低點．．那么的值為_______．
三、解答題（本大題共8小題，共90分．解答時應寫出必要的計算過程、推演步驟或文字說明）
19. 計算
（1）解不等式組，并求出該不等式組的最小整數解．
（2）先化簡：，然后選擇一個合適的x值代入求值．
（3）解方程：．
20. 我國新冠疫情防控取得了階段性勝利．學生們返校學習后，某數學興趣小組對本校同學周末參加體育運動的情況進行抽樣調查，在校園內隨機抽取男女生各人，調查情況如下表：
是否參加體育運動 男生 女生 總數
是
否
對男女生是否參加體育運動的人數繪制了條形統(tǒng)計圖如圖（1）．在這次調查中，對于參加體育運動的同學，同時對其參加的主要運動項目也進行了調查，并繪制了扇形統(tǒng)計圖如圖（2）．
根據以上信息解答下列問題：（1）______，______，_______；
（2）將圖（1）所示的條形統(tǒng)計圖補全；
（3）這次調查中，參加體育運動，且主要運動項目是球類的共有______人；
（4）在這次調查中，共有名男生未參加體育運動，分別是甲、乙、丙、丁四位同學，現在從他們中選出兩位同學參加“我運動，我健康”的知識講座，求恰好選出甲和乙去參加講座的概率．（用列表或樹狀圖解答）
21. 如圖，AB是圓O的直徑，點D在直徑AB上（D與A，B不重合），CD⊥AB，且CD=AB，連接CB與圓O交于點F，在CD上取一點E，使得EF=EC．
（1）求證：EF是圓O的切線；
（2）若D是OA的中點，AB=4，求CF的長．
22. 端午節(jié)前夕，某商鋪用620元購進50個肉粽和30個蜜棗粽，肉粽的進貨單價比蜜棗粽的進貨單價多6元．
（1）肉粽和蜜棗粽的進貨單價分別是多少元？
（2）由于粽子暢銷，商鋪決定再購進這兩種粽子共300個，其中肉粽數量不多于蜜棗粽數量的2倍，且每種粽子的進貨單價保持不變，若肉粽的銷售單價為14元，蜜棗粽的銷售單價為6元，試問第二批購進肉粽多少個時，全部售完后，第二批粽子獲得利潤最大？第二批粽子的最大利潤是多少元？
23. 脫貧攻堅工作讓老百姓過上了幸福的生活．如圖①是政府給貧困戶新建的房屋，如圖②是房屋的側面示意圖，它是一個軸對稱圖形，對稱軸是房屋的高所在的直線．為了測量房屋的高度，在地面上點測得屋頂的仰角為，此時地面上點、屋檐上點、屋頂上點三點恰好共線，繼續(xù)向房屋方向走到達點時，又測得屋檐點的仰角為，房屋的頂層橫梁，，交于點（點，，在同一水平線上）．（參考數據：，，，）
（1）求屋頂到橫梁的距離；
（2）求房屋的高（結果精確到）．
24. 如圖，在平面直角坐標系中，拋物線交軸于，兩點，交軸于點，且，點是第三象限內拋物線上的一動點．
（1）求此拋物線的表達式；
（2）若，求點的坐標；
（3）連接，求面積的最大值及此時點的坐標．
25. △ABC為等邊三角形，AB=8，AD⊥BC于點D，E為線段AD上一點，AE= ．以AE為邊在直線AD右側構造等邊三角形AEF，連接CE，N為CE的中點．
（1）如圖1，EF與AC交于點G，連接NG ，求線段NG的長；
（2）如圖2，將△AEF繞點A逆時針旋轉，旋轉角為α，M為線段EF的中點，連接DN，MN．當30°＜α＜120°時，猜想∠DNM的大小是否為定值，并證明你的結論；
（3）連接BN．在△AEF繞點A逆時針旋轉過程中，當線段BN最大時，請直接寫出△ADN的面積．
26. 四邊形是邊長為的正方形，是的中點，連結，點是射線上一動點(不與點重合)，連結，交于點．
（1）如圖1，當點是邊的中點時，求證：；
（2）如圖2，當點與點重合時，求長；
（3）在點運動的過程中，當線段為何值時，？請說明理由．
參考答案
一、選擇題
1.C．
2. D．
3. C．
4.C．
5. D．
6. A．
7. C
8. B
9. D．
10.C．
二、填空題
11. 9.91×105．
12. （x+3）（x-3）.
13.．
14.．
15. ．
16. 或
17. 3．
18. 7.
三、解答題
19. (1)解：，
解不等式①，，
得：，
解不等式②，，
得：，
則不等式組的解集為，
∴不等式組的最小整數解為；
(2)解：
；
∵且且，
∴當時，
原式．
(3)解：，
去分母得：，
解得：，
檢驗，把代入，
∴原方程的解為：；
20. 解：(1)m=21+19=40,
n=4+6=10,
a=100－45－7.5－7.5=40．
故答案為:40,10,40．
(2)如圖所示:
(3)40×45%=18(人)．
故答案:18．
(4)
P(恰好選出甲和乙參加講座)=．
21. 解：(1)連接OF和AF，設AF與DC相交于點G，如下圖所示：
∵OA=OF，
∴∠A=∠OFA，
∵AB為圓O的直徑，∴∠AFB=∠AFC=90°，
∴∠C+∠CGF=90°，∠GFE+∠EFC=90°
又EC=EF，∴∠C=∠EFC，
∴∠CGF=∠GFE,
又∠CGF=∠AGD，
∴∠GFE=∠AGD
∴∠OFE=∠OFA+∠GFE=∠A+∠AGD=180°-∠ADG=180°-90°=90°，
∴OF⊥EF，
∴EF是圓O的切線．
(2)如下圖所示，
∵D是OA的中點，且AB=4，
∴DO=1，BD=BO+DO=3，
又AB=CD=4，
∴在Rt△BCD中，BC =BD +CD =3 +4 =5 ，
∴BC=5，
又∠BDC=∠BFA=90°，且∠B=∠B，
∴△ABF∽△CBD，
∴，代入數據后得：，
∴，
∴，
故答案為：．
22. 解：（1）設肉粽和蜜棗粽的進貨單價分別為x、y元，則根據題意可得：
.
解此方程組得：.
答：肉粽得進貨單價為10元，蜜棗粽得進貨單價為4元；
（2）設第二批購進肉粽t個，第二批粽子得利潤為W，則
，
∵k=2>0，
∴W隨t的增大而增大，
由題意，解得，
∴當t=200時，第二批粽子由最大利潤，最大利潤,
答：第二批購進肉粽200個時，全部售完后，第二批粽子獲得利潤最大，最大利潤為1000元.
23. 解：（1）∵房屋的側面示意圖是軸對稱圖形，所在直線是對稱軸，，
∴，，．
在中，，，
∵，，．
∴（米）
答：屋頂到橫梁的距離約是4.2米．
（2）過點作于點，設，
在中，，，
∵，∴，
在中，，，
∵，∴．
∵，
∴，
∵，，
解得．
∴（米）
答：房屋的高約是14米．
24. 解：（1）在拋物線中，
令，則，
∴點C的坐標為（0，），
∴OC=2，
∵，
∴，，
∴點A為（，0），點B為（，0），
則把點A、B代入解析式，得
，解得：，
∴；
（2）由題意，∵，點C為（0，），
∴點P的縱坐標為，
令，則，
解得：，，
∴點P的坐標為（，）；
（3）設直線AC的解析式為，則
把點A、C代入，得
，解得：，
∴直線AC的解析式為；
過點P作PD∥y軸，交AC于點D，如圖：
設點P 為（，），則點D為（，），
∴，
∵OA=4，
∴，
∴，
∴當時，取最大值8；
∴，
∴點P的坐標為（，）．
25. 解：（1）∵△ABC為等邊三角形，AB=8，AD⊥BC于點D，
∴∠DAC=30°,CD=，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵三角形AEF是等邊三角形，
∴
∴
∵N為CE的中點
∴．
（2）∠DNM的為定值120°．
連CF，BE，BE交AC于H，DN交AC于G，如圖，
∵D、N、M分別為BC、CE、EF中點，
∴DN、MN分別為△BCE、ECF中位線，
∴BE∥DN，MN∥CF，
∵△ABC、△AEF都是等邊三角形，
∴AB=AC,AE=AF,
∴
∴△ABE≌△ACF．
∴∠DGC=∠BHC，∠ENM=∠ECF，∠ABE=∠ACF
又∵∠BHC=∠ABE+∠BAH=∠ABE+60°，
∴∠DGC=∠ABE+60°=∠ACF+60°
又∵∠DGC=∠DNC+∠GCN=∠DNC+∠ACF-∠ECF，∴∠DNC=60°+∠ECF=60°+∠ENM，
∴∠DNE=180°-∠DNC=120°-∠ENM，
∴∠DNM=∠DNE+∠ENM=120°．
（3）△AND的面積為，
如圖，取AC中點P，因為BP+PN≥BN，所以當B、P、N在一直線上，BN最大．
∴BN=BP+PN=BP+AE=
設BP與AD交于O，NQ⊥AD于Q，如圖，
∴BO=BP=，ON=，BD=4，
由題意得△ONQ∽△OBD，
∴NQ=，
∴△AND的面積為：×AD×NQ=．
26. 解：(1)證明:四邊形是正方形，
，
點分別是的中點，
，
，
.
(2)在正方形中，，
，
，
，
，
即，
．
故答案為：．
(3)當時，.理由如下:
由(2)知，當點與重合(即)時，
，
點應在的延長線上(即)，
如圖所示，設交于點，
若使，
則有，
，
又，
，
，
在中，，
即，
，
，
，
，
，
即，
∴，
∴當時，．
故答案：．

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