資源簡介

2024-2025學年廣東省廣州市番禺區仲元中學九年級（下）月考數學試卷（4月份）
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，滿分30分．在每小題給出的四個選項中只有一項正確）
1．（3分）實數﹣2的相反數是（　　）
A．﹣2 B．2 C． D．
2．（3分）廣州市作為國家公交都市建設示范城市，市內公共交通日均客運量已達15233000人次．將15233000用科學記數法表示應為（　　）
A．152.33×105 B．15.233×106
C．1.5233×107 D．0.15233×108
3．（3分）如圖是某個幾何體的展開圖，該幾何體是（　　）
A．三棱柱 B．圓錐 C．四棱柱 D．圓柱
4．（3分）下列計算正確的是（　　）
A． B．（﹣a2）2＝﹣a4
C．3ab﹣ab＝2 D．
5．（3分）一把直尺和一個含30°角的直角三角板按如圖方式放置，若∠1＝25°，則∠2＝（　　）
A．25° B．30° C．35° D．45°
6．（3分）如圖，點A（3，n）在雙曲線上，過點A作AC⊥x軸，垂足為C，線段OA的垂直平分線交OC于點B，則△ABC周長的值是（　　）
A．3 B．4 C．2 D．
7．（3分）下列命題是假命題的是（　　）
A．平行四邊形中相鄰兩角互補
B．矩形對角線相等且互相平分
C．菱形的面積等于對角線長的乘積
D．正方形是中心對稱圖形
8．（3分）明明與妹妹慧慧周六去廣州海珠湖的環湖綠道跑步，綠道一圈路程約為2.5千米．明明的速度是妹妹速度的1.2倍，跑完一圈明明比妹妹少用4min，設妹妹跑步的速度為x km/h，則可列方程為（　　）
A． B．
C． D．
9．（3分）1202年數學家斐波那契在《計算之書》中記載了一列數：1，1，2，3，5，…，這一列數滿足：從第三個數開始，每一個數都等于它的前兩個數之和．則在這一列數的前2024個數中，奇數的個數為（　　）
A．676 B．674 C．1348 D．1350
10．（3分）已知拋物線y＝ax2+bx+c（a、b、c是常數，a＜0）的頂點為（1，2）．小燁同學得出以下結論：①abc＜0；②當x＞1時，y隨x的增大而減小；③若ax2+bx+c＝0的一個根為3，則；④拋物線y＝ax2+2是由拋物線y＝ax2+bx+c向左平移1個單位，再向下平移2個單位得到的．其中一定正確的是（　　）
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，滿分18分．）
11．（3分）若分式有意義，則實數x的取值范圍是 　 　 ．
12．（3分）分解因式：x2y﹣y3＝　 　 ．
13．（3分）不等式組的整數解為 　 　 ．
14．（3分）用一個圓心角為120°，半徑為4的扇形作一個圓錐的側面，這個圓錐的底面圓的直徑為 　 　 ．
15．（3分）明明與慧慧玩一種比數字大小的小游戲：兩人各有三張卡片，明明的卡片上分別標有數字1，3，6，慧慧的卡片上分別標有數字2，4，5，兩人各從自己的卡片中隨機抽一張，則慧慧所抽數字大于明明的概率是 　 　 ．
16．（3分）如圖，AB是⊙O的直徑，M、N是（異于A、B）上兩點，C是上一動點，∠ACB的角平分線交⊙O于點D，∠BAC的平分線交CD于點E．當點C從點M運動到點N時，則C、E兩點的運動路徑長的比是　 　 ．
三、解答題（本大題共9小題，滿分0分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
17．解方程組：．
18．如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，DE∥AC，CE∥BD．求證：四邊形OCED是菱形．
19．已知b3﹣2ab＝0，求的值．
20．中華文化，源遠流長，在文學方面，《西游記》《三國演義》《水滸傳》《紅樓夢》是我國古代長篇小說中的典型代表，被稱為“四大古典名著”，某中學為了了解學生對四大古典名著的閱讀情況，就“四大古典名著你讀完了幾部”的問題在全校學生中進行了抽樣調查，根據調查結果繪制成如圖所示的兩個不完整的統計圖，請結合圖中信息解決下列問題：
（1）本次調查所得數據的眾數是 　 　 部，中位數是 　 　 部，扇形統計圖中“1部”所在扇形的圓心角為 　 　 度．
（2）請將條形統計圖補充完整；
（3）沒有讀過四大古典名著的兩名學生準備從四大古典名著中各自隨機選擇一部來閱讀，則他們選中同一名著的概率為 　 　 ．
21．如圖，建筑物BC上有一高為8m的旗桿AB，從D處觀測旗桿頂部A的仰角為53°，觀測旗桿底部B的仰角為45°，則建筑物BC的高約為 　 　 m（結果保留小數點后一位）．（參考數據：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）
22．一次函數y＝x+m經過點A（﹣3，0），交反比例函數y＝于點B（n，4）．
（1）求m，n，k．
（2）點C在反比例函數y＝第一象限的圖象上，若S△AOC＜S△AOB，直接寫出C的橫坐標a的取值范圍．
23．如圖，在△ABC中，AB＝AC．
（1）尺規作圖：以AC為直徑作⊙O，交AB于點D，交BC于點E．
（2）求證：BE＝CE；
（3）若BD＝2，BE＝3，求AC的長．
24．在平面直角坐標系xOy中，點P（2，﹣3）在二次函數y＝ax2+bx﹣3（a＞0）的圖象上，記該二次函數圖象的對稱軸為直線x＝m．
（1）求m的值；
（2）若點Q（m，﹣4）在y＝ax2+bx﹣3的圖象上，將該二次函數的圖象向上平移5個單位長度，得到新的二次函數的圖象．當0≤x≤4時，求新的二次函數的最大值與最小值的和；
（3）設y＝ax2+bx﹣3的圖象與x軸交點為（x1，0），（x2，0）（x1＜x2）．若4＜x2﹣x1＜6，求a的取值范圍．
25．如圖，已知正方形ABCD，AB＝5，以頂點B為直角頂點的等腰Rt△BEF在正方形外部繞點B旋轉，BE＝BF＝4．
（1）求點D與點E之間的最大距離；
（2）當∠BCE最大時，連接AF，求△ABF的面積；
（3）在△BEF旋轉過程中，線段AE與線段CF存在交點G，連接DG，若M是CD的中點，P是線段DG上的一個動點，當的值最小時，求MP的值．
2024-2025學年廣東省廣州市番禺區仲元中學九年級（下）月考數學試卷（4月份）
參考答案與試題解析
一．選擇題（共10小題）
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C A D C B C D D B
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，滿分30分．在每小題給出的四個選項中只有一項正確）
1．【解答】解：﹣2的相反數是2．
故選：B．
2．【解答】解：15233000＝1.5233×107，
故選：C．
3．【解答】解：觀察圖形可知，這個幾何體是三棱柱．
故選：A．
4．【解答】解：A、＝2，故該項不正確，不符合題意；
B、（﹣a2）2＝a4，故該項不正確，不符合題意；
C、3ab﹣ab＝2ab，故該項不正確，不符合題意；
D、2﹣2＝，故該項正確，符合題意；
故選：D．
5．【解答】解：如圖，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠ABC＝25°，
∵∠MBC＝60°，
∴∠2＝∠MBC﹣∠ABC＝35°，
故選：C．
6．【解答】解：∵點A（3，n）在雙曲線上，
∴n＝1，
∴A（3，1），
∴OC＝3，AC＝1．
∵OA的垂直平分線交OC于B，
∴AB＝OB，
∴△ABC的周長＝AB+BC+AC＝OB+BC+AC＝OC+AC＝3+1＝4．
故選：B．
7．【解答】解：A、平行四邊形中相鄰兩角互補，是真命題，不符合題意；
B、矩形對角線相等且互相平分，是真命題，不符合題意；
C、菱形的面積等于對角線長的乘積的一半，故本選項命題是假命題，符合題意；
D、正方形是中心對稱圖形，是真命題，不符合題意；
故選：C．
8．【解答】解：設妹妹跑步的速度為x km/h，根據題意得：
，
故選：D．
9．【解答】解：這列數為：1，1，2，3，5，8，13，21，34， ，可以發現每3個數為一組，每一組前2個數為奇數，第3個數為偶數，
∵2024÷3＝674…2，
即前2024個數共有674組，且余2個數，奇數有：674×2+2＝1350（個），
故選：D．
10．【解答】解：∵頂點為（1，2），
∴，
∴b＝﹣2a，
∵a＜0，
∴b＞0，
∵a+b+c＝2，
∴c＝2﹣a﹣b＝2﹣a﹣（﹣2a）＝2+a，
∴c無法判斷，故①錯誤；
∵a＜0，
∴拋物線開口向下，
∵對稱軸為直線x＝1，
∴當x＞1時，y隨x的增大而減小，故②正確；
∵b＝﹣2a，c＝2+a，
∴y＝ax2﹣2ax+2+a，
∵當x＝3時，y＝0，
∴0＝9a﹣6a+2+a，
∴a＝，故③正確；
∵y＝ax2+bx+c＝a（x﹣1）2+2，
∴將拋物線向左平移1個單位，再向下平移2個單位得到y＝a（x﹣1+1）2+2﹣2＝ax2，故④錯誤；
故選：B．
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，滿分18分．）
11．【解答】解：由題意得：x﹣2≠0，
解得：x≠2，
故答案為：x≠2．
12．【解答】解：x2y﹣y3
＝y（x2﹣y2）
＝y（x+y）（x﹣y）．
故答案為：y（x+y）（x﹣y）．
13．【解答】解：由2x﹣1＞0，得：x＞，
由3x﹣1＜x+4，得：x＜，
則不等式組的解集為＜x＜，
所以不等式組的整數解為1和2．
故答案為：1和2．
14．【解答】解：，解得r＝．
∴底面圓的直徑為：，
故答案為：．
15．【解答】解：樹狀圖如下，
，
由上可得，一共9種等可能性，其中慧慧所抽數字大于明明的可能性有5種，
∴慧慧所抽數字大于明明的概率為，
故答案為：．
16．【解答】解：如圖，連接EB，設OA＝r，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ACB的角平分線交⊙O于點D，∠BAC的平分線交CD于點E．
∴E是△ACB的內心，
∴∠AEB＝135°，
作等腰直角三角形ADB，AD＝DB，∠ADB＝90°，
則點E在以D為圓心DA為半徑的弧上運動，運動軌跡是，
點C的運動軌跡是，由題意∠MON＝2∠GDF，
設∠GDF＝α，則∠MON＝2α，
∴弧MN的長度：弧GF的長度＝＝．
故答案為：．
三、解答題（本大題共9小題，滿分0分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
17．【解答】解：，
②﹣①得，4y＝8，解得y＝2，
把y＝2代入①得，x﹣2＝1，解得x＝3，
故原方程組的解為．
18．【解答】證明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四邊形OCED是平行四邊形，
∵矩形ABCD，
∴AO＝OC＝OB＝OD＝AC＝BD，
∴四邊形OCED是菱形．
19．【解答】解：∵b3﹣2ab＝0，
∴b（b2﹣2a）＝0，
∴b＝0或b2﹣2a＝0，
∵b＝0時，分母為0，分式無意義，舍去，
∴b2﹣2a＝0，即b2＝2a，
∴＝＝＝．
20．【解答】解：（1）調查的總人數為：10÷25%＝40，
∴1部對應的人數為40﹣2﹣10﹣8﹣6＝14，
∴本次調查所得數據的眾數是1部，
∵2+14+10＝26＞21，2+14＜20，
∴中位數為2部，
扇形統計圖中“1部”所在扇形的圓心角為：×360°＝126°；
故答案為：1，2，126；
（2）條形統計圖如圖所示，
（3）將《西游記》《三國演義》《水滸傳》《紅樓夢》分別記作A，B，C，D，
畫樹狀圖可得：
共有16種等可能的結果，其中選中同一名著的有4種，
故P（兩人選中同一名著）＝＝．
故答案為：．
21．【解答】解：在Rt△BCD中，∠BDC＝45°，
則BC＝CD，
設BC＝CD＝x，則AC＝x+8，
在Rt△ACD中，tan∠ADC＝＝，
則x+8＝x tan53°，
∴x+8＝1.33x，
∴x≈24.2（m），
故建筑物BC的高約為24.2m，
故答案為：24.2．
22．【解答】解：（1）由題意得：﹣3+m＝0，n+m＝4，k＝4n，
解得：m＝3，n＝1，k＝4；
（2）∵S△AOC＜S△AOB，
∴點B到x軸的距離大于點C到x軸的距離，
∴點C位于點B的右側，
∴a＞1．
23．【解答】（1）解：如圖，作線段AC的垂直平分線，交AC于點O，再以點O為圓心，OA的長為半徑畫圓，
則⊙O即為所求．
（2）證明：連接AE，
∵AB＝AC，
∴△ABC為等腰三角形．
∵AC為⊙O的直徑，
∴∠AEC＝90°，
∴AE⊥BC，
∴AE為△ABC的中線，
∴BE＝CE．
（3）解：連接CD，
∵AC為⊙O的直徑，
∴∠ADC＝90°，
∵BE＝CE，
∴BC＝2BE＝6．
在Rt△BCD中，由勾股定理得，CD＝＝＝．
設AC＝AB＝x，則AD＝x﹣2，
在Rt△ACD中，由勾股定理得，AC2＝CD2+AD2，
即，
解得x＝9，
∴AC的長為9．
24．【解答】解：（1）∵點P（2，﹣3）在二次函數y＝ax2+bx﹣3（a＞0）的圖象上，
∴4a+2b﹣3＝﹣3，
解得：b＝﹣2a，
∴拋物線為：y＝ax2﹣2ax﹣3，
∴拋物線的對稱軸為直線，
∴m＝1；
（2）∵點Q（1，﹣4）在y＝ax2﹣2ax﹣3的圖象上，
∴a﹣2a﹣3＝﹣4，
解得：a＝1，
∴拋物線為y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
將該二次函數的圖象向上平移5個單位長度，得到新的二次函數為：
y＝（x﹣1）2﹣4+5＝（x﹣1）2+1，
∵0≤x≤4，
∴當x＝1時，函數有最小值為1，
當x＝4時，函數有最大值為（4﹣1）2+1＝10
∴新的二次函數的最大值與最小值的和為11；
（3）∵y＝ax2﹣2ax﹣3的圖象與x軸交點為（x1，0），（x2，0）（x1＜x2）．
∴x1+x2＝2，，
∵，
∴，
∵4＜x2﹣x1＜6，
∴即，
解得：．
解法二：∵4＜x2﹣x1＜6，拋物線對稱軸是直線x＝1，
∴2＜x2﹣1＜3，
∴3＜x2＜4，
∴當x＝3時，y＜0，x＝4時，y＞0，
∴
解得：．
25．【解答】解：（1）如圖，連接DE，DB，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴BD＝AB＝5，
∵BE＝BF＝4，
∴點E在以點B為圓心，BE為半徑的圓上運動，
∴當點E在線段DB的延長線上時，DE有最大值，
∴點D與點E之間的最大距離為5+4；
（2）如圖，過點E作EH⊥BC于H，過點F作FN⊥直線AB于N，
∵點E在以點B為圓心，BE為半徑的圓上運動，
∴當CE與⊙B相切時，∠BCE最大，
∴∠CEB＝90°，
∴CE＝＝＝3，
∵sin∠CBE＝，
∴，
∴HE＝，
∵EH⊥BC，FN⊥AB，
∴∠EHB＝90°＝∠FNB＝∠EBF，
∴∠HBE+∠EBN＝90°＝∠EBN+∠FBN，
∴∠HBE＝∠FBN，
又∵BE＝BF，
∴△BEH≌△BFN（AAS），
∴EH＝FN＝，
∴S△ABF＝×AB FN＝×5×＝6；
（3）如圖，連接AC，過點P作PH⊥AE于H，
∵∠ABC＝∠EBF＝90°，
∴∠ABE＝∠CBF，
又∵AB＝BC，EB＝FB，
∴△ABE≌△CBF（SAS），
∴∠AEB＝∠CFB，
∴∠EBF＝∠EGF＝90°，
∴∠ADC+∠AGC＝180°，
∴點A，點G，點C，點D四點共圓，
∴∠AGD＝∠ACD＝45°，
∵PH⊥AG，
∴△PHG的等腰直角三角形，
∴PG＝PH，
∴MP+PG＝MP+PH＝（MP+PH），
∴當點P，點M，點H三點共線時， MP+PE有最小值為MH的長，
∵點G在以AC的直徑的圓上，
∴當點G與點E重合時，MH有最小值，
如圖，過點B作BQ⊥CF于Q，
∵BE＝BF＝4，∠EBF＝90°，BQ⊥EF，
∴EF＝4，BQ＝EQ＝FQ＝2，
∵CQ＝＝＝，
∴CE＝CQ﹣EQ＝﹣2，
∵MH⊥AE，CE⊥AE，
∴MH∥CE，
∴，
又∵M是CD的中點，
∴DC＝2DM，
∴MP＝CE＝．

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