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2025年甘肅省平?jīng)鲆恢懈呖紨?shù)學(xué)沖刺壓軸試卷（二）
一、單選題：本題共7小題，每小題5分，共35分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1.若，，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知，是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，且，，，則( )
A. B. C. D.
3.若，則( )
A. B. C. D.
4.中華美食源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，廚師活計(jì)有“站道，站板，雕花，爐火”等分工術(shù)語(yǔ)，現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁、戊這名同學(xué)參加廚師活計(jì)，每人只安排一個(gè)活計(jì)，若“爐火”活計(jì)不安排，其余三項(xiàng)活計(jì)至少有人參加，則不同安排方案的種數(shù)為( )
A. B. C. D.
5.一個(gè)球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直徑被截后，剩下的線段長(zhǎng)叫做球缺的高，球缺曲面部分的面積球冠面積，其中是球的半徑，是球缺的高若球缺的底面面積為，高，球半徑，則該球缺曲面部分的面積為( )
A. B. C. D.
6.設(shè)是邊長(zhǎng)為的等邊及其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的集合，點(diǎn)是的中心，集合，則的取值范圍為( )
A. B. C. D.
7.已知函數(shù)，若，則的最小值為( )
A. B. C. D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。
8.年手機(jī)迎來(lái)發(fā)展新機(jī)遇，國(guó)內(nèi)兩家傳媒公司共同發(fā)起了中國(guó)手機(jī)消費(fèi)行為調(diào)查，下表為根據(jù)調(diào)查得到的年名中國(guó)手機(jī)用戶購(gòu)買(mǎi)手機(jī)價(jià)格頻數(shù)表，同一組中的數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值代表，則( )
價(jià)格千元
頻數(shù)
A. 估計(jì)名用戶購(gòu)買(mǎi)手機(jī)價(jià)格的眾數(shù)為
B. 估計(jì)名用戶購(gòu)買(mǎi)手機(jī)價(jià)格的平均數(shù)為
C. 估計(jì)名用戶購(gòu)買(mǎi)手機(jī)價(jià)格的中位數(shù)不超過(guò)
D. 估計(jì)名用戶購(gòu)買(mǎi)手機(jī)價(jià)格的分位數(shù)不超過(guò)
9.已知函數(shù)，則( )
A. 的最大值為 B. 為的一個(gè)周期
C. 為曲線的一條對(duì)稱軸 D. 在上單調(diào)遞減
10.已知雙曲線，直線與雙曲線右支交于點(diǎn)，在軸上方，在軸下方，與雙曲線漸近線交于點(diǎn)，在軸上方，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則( )
A. 直線的傾斜角范圍為
B.
C. 面積的最小值為
D. 若，則的面積為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
11.頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)在直線上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_____．
12.已知函數(shù)在上只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_____．
13.已知，則的最大值為_(kāi)_____．
四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。
14.本小題分
已知數(shù)列的各項(xiàng)都不為，其前項(xiàng)和為，為不等于的常數(shù)，且．
證明：是等比數(shù)列；
若，，成等差數(shù)列，求的值．
15.本小題分
如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，平面，點(diǎn)在側(cè)棱上端點(diǎn)除外，平面交于點(diǎn)．
求證：四邊形為直角梯形；
若，求直線與平面所成角的正弦值．
16.本小題分
如圖，在中，，，點(diǎn)，在邊上不與，重合，且在，之間，且，．
若，求的值；
試確定的值，使得的面積取得最小值，并求出面積的最小值．
17.本小題分
已知橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)恰好是一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，直線：與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)．
求橢圓的方程及點(diǎn)的坐標(biāo)；
設(shè)是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線，與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，且與直線交于點(diǎn)．
求面積的最大值；
證明：存在常數(shù)，使得，并求出的值．
18.本小題分
若函數(shù)，的圖象與直線分別交于，兩點(diǎn)，與直線分別交于，兩點(diǎn)，且直線，的斜率互為相反數(shù)，則稱，為“相關(guān)函數(shù)”．
，均為定義域上的單調(diào)遞增函數(shù)，證明：不存在實(shí)數(shù)，，使得，為“相關(guān)函數(shù)”；
，，若存在實(shí)數(shù)，使得，為“相關(guān)函數(shù)”，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
參考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.或
12.
13.
14.
15.證明：因?yàn)椋矫妫矫妫?br/>所以平面，
又平面，平面平面，
所以，
因?yàn)椋运倪呅螢樘菪危?br/>因?yàn)槠矫妫矫妫裕?br/>又，，，平面，
所以平面，
又平面，所以，
所以四邊形為直角梯形．
解：法一以為原點(diǎn)，向量的方向分別為軸，軸，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，
所以，
因?yàn)椋?br/>所以，
設(shè)為平面的法向量，則即
取，則，所以，
設(shè)直線與平面所成角為，則，，
所以直線與平面所成角的正弦值為．
法二因?yàn)槠矫妫矫妫云矫嫫矫妫?br/>作，垂足為，
因?yàn)槠矫嫫矫妫矫妫?br/>所以平面，
連接，則為直線與平面所成的角，
在中，因?yàn)椋裕?br/>因?yàn)椋裕?br/>在中，，
由余弦定理，得，
所以，
因?yàn)椋?br/>所以，解得，
因?yàn)椋裕?br/>所以，
在中，，
所以直線與平面所成角的正弦值為．
16.
17.
18.證明：設(shè)，由單調(diào)遞增，則．
則．
同理可得，．
所以直線，的斜率均為正數(shù)，不可能互為相反數(shù)．
即不存在實(shí)數(shù)，，使得，為“相關(guān)函數(shù)”．
解：情況一：當(dāng)時(shí)，，，若，則存在實(shí)數(shù)，使得，為“相關(guān)函數(shù)”，且；
情況二：當(dāng)時(shí)，
因?yàn)椋瑸椤跋嚓P(guān)函數(shù)”，所以有．
因?yàn)椋杂谢颍?br/>聯(lián)立，可得，所以，
則有，，此時(shí)有，滿足題意；
聯(lián)立，可得．
因?yàn)椋苑匠探M，則．
當(dāng)，時(shí)，
因?yàn)椋鶠樯系膯握{(diào)遞增函數(shù)，由知不存在實(shí)數(shù)，，
使得，為“相關(guān)函數(shù)”，所以，
則由，可得，可得，
所以，
同理可得．
則在上存在兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根．
記，則．
記，則，
解，可得．
解，可得，所以在上單調(diào)遞增；
解，可得，所以在上單調(diào)遞減．
所以在處取得極小值．
(ⅰ)當(dāng)時(shí)，，
此時(shí)有，即在單調(diào)遞減．
又，，
則根據(jù)零點(diǎn)存在定理可得，存在唯一，使得，
即有唯一負(fù)根，不符合式；
(ⅱ)當(dāng)時(shí)，．
因?yàn)椋遥校?br/>根據(jù)零點(diǎn)存在定理可得，，使得；，使得，
所以當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)，在上單調(diào)遞減．
，
令，，則，
因?yàn)椋裕裕?br/>所以在上單調(diào)遞增，
所以，所以，
所以．
根據(jù)零點(diǎn)存在定理可知，，使得．
取，即有，符合題意．
綜上所述，的取值范圍是．
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